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2018-2019年考研数学一真题及答案

2018考研数学一真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．若函数1cos 0(),0xx f x b x ⎧->⎪=⎪≤⎩在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xx f x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）3．函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为（A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】22,,2f f fxy x z x y z∂∂∂===∂∂∂，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为()014,1,0(1,2,2)23f gradf n n∂=⋅=⋅=∂应该选（D ）４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（）（A ）010t = （B ）01520t <<（C ）025t = （D ）025t >【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，21()()T T S t v t dt =⎰表示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆（B ）TE αα+不可逆（C ）2TE αα+不可逆（D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）． 6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似（B ）,A C 相似，,B C 不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似（D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B 是两个随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(/)(/)P A B P A B >的充分必要条件是（A ）(/)(/)P B A P B A > （B ）(/)(/)P B A P B A < （C ）(/)(/)P B A P B A > （D ）(/)(/)P B A P B A <【详解】由乘法公式：()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论：()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇔>=⇔>- 类似，由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->⇔>=⇔>- 所以可知选择（A ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（）（A ）21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布（B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．已知函数21()1f x x=+，则(3)(0)f = ．解：由函数的马克劳林级数公式：()0(0)()!n nn f f x x n ∞==∑，知()(0)!n n f n a =，其中n a 为展开式中nx 的系数．由于[]24221()1(1),1,11n n f x x x x x x==-+-+-+∈-+，所以(3)(0)0f =．10．微分方程230y y y '''++=的通解为．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程2230r r ++=有一对共共轭的根1r =-，所以通解为12()x y e C C -=+ 11．若曲线积分221L xdx aydy x y -+-⎰在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则a = .【详解】设 2222(,),(,)11x ay P x y Q x y x y x y -==+-+-，显然 (,),(,)P x y Q x y 在区域内具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有1Q Pa x y∂∂≡⇒=-∂∂ 12．幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑在区间(1,1)-内的和函数为【详解】111121111(1)(1)()(1)1(1)n n n nn n n n n x nxx x x x ∞∞∞----===''⎛⎫⎛⎫'-=-=-== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 所以21(),(1,1)(1)s x x x =∈-+13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的分布函数4()0.5()0.52x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【详解】随机变量X 的概率密度为4()()0.5()0.25()2x f x F x x ϕϕ-'==+，所以 4()()0.5()0.25()240.25()0.252(24)()22()2x E X xf x dx x x dx x dx x x dx t t dt t dt ϕϕϕϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞-==+-==⨯+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、解答题15．（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0|x dy dx=，202|x d y dx =．【详解】12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-，01|(1,1)x dyf dx='=； 2111122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d ye f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+2011122|(1,1)(1,1)(1,1)x d yf f f dx=''''=+-．16．（本题满分10分）求21limln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰17．（本题满分10分）已知函数()y x 是由方程333320x y x y +-+-=．【详解】在方程两边同时对x 求导，得2233330x y y y ''+-+= （1）在（1）两边同时对x 求导，得2222()0x y y y y y '''''+++=也就是222(())1x y y y y'+''=-+令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y =；当21x =-时，20y = 当11x =时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =；当21x =-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =． 18．（本题满分10分）设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x-→<，证明：（1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim 0x f x x-→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ⋅<，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x ξ∈⊂，使得()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim 0x f x x-→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．19．（本题满分10分）设薄片型S 是圆锥面z =被柱面22z x =所割下的有限部分，其上任一点的密度为μ=C ．（1）求C 在xOy 布上的投影曲线的方程；（2）求S 的质量.M【详解】（1）交线C的方程为22z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩z ，得到222x y x +=．所以C 在xOy 布上的投影曲线的方程为222.0x y xz ⎧+=⎨=⎩（2）利用第一类曲面积分，得222222(,,)1864SSx y xx y xM x y z dS μ+≤+≤=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度．【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量；（3）求参数σ最大似然估计量．【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量122ni i Z nσ===∑．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=2019考研数学一真题及答案一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(yxy x Q =，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X PA.与μ无关，而与2σ有关.B.与μ有关，而与2σ无关.C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S . 12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若 21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.（1）求b a ,；（2）求曲面222by ax z ++=（0≥z ）的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…）（2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的一个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?23.（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来自总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量参考答案1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos + 10.23-xe 11.x cos 12.332 13. ，T)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解：（1）)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰，又0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xe x y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e，)3,3(23-e .16. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a（2）dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性，2,0==y x ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.（2）()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ，，，，则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，.21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()zF z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. （II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭，121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解：（I ）由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =2012t e dt +∞-==⎰，从而A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，当,1,2,,i x i nμ≥=时，取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.。

考研真题【2018考研数学(一)真题+答案解析】2018年考研数学一真题及答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x =(B)()f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】（D）【解析】根据导数的定义：（A）sin limlim0,x x x x x x x x→→== 可导；（B）0,x x →→==可导；（C）1cos 12limlim0,x x xx xx→→--==可导；（D）000122lim lim,x x x xx x→→→-==极限不存在，故选D。

（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（）(A)01z x y z =+-=与(B)022z x y z =+-=与2(C)1x y x y z =+-=与(D)22x y x y z =+-=与2【答案】（B）【解析】()()221,0,0,0,1,0=0z z x y =+过的已知曲面的切平面只有两个，显然与曲面相切，排除C 、D22z x y =+曲面的法向量为(2x,2y,-1),111(1,1,1),,22x y z x y +-=-==对于A选项,的法向量为可得221.z x y x y z z A B =++-=代入和中不相等，排除，故选（3）()()23121!nn n n ∞=+-=+∑（）(A)sin1cos1+(B)2sin1cos1+(C)2sin12cos1+(D)2sin13cos1+【答案】（B）【解析】00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn nn n n n n n n n ∞∞∞===++-=-+-+++∑∑∑0012=(1)(1)cos 2sin1(2)!(21)!nn n n l n n ∞∞==-+-=++∑∑故选B.（4）设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（）(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M>>【答案】（C）【解析】22222222222(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11xx xxx e x N dx dx Meeπππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx M πππππ--+>==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。

2018年考研数学(一)真题与答案解析(完整版)

2018年考研数学一试题与答案解析（完整版)1.下列函数中不可导的是（）。

A.()sin()f x x x =B.()f x x =C.()cos f x x=D.()f x =【答案】D 【解析】【解析】A 可导：()()()()-0000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''=====B 可导：()()-000sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''=====C 可导：()()22-000011cos -1cos -1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x--+++→→→→--''=====D 不可导：()()()()()-000-11-11220lim lim 0lim lim -2200x x x x x x f f x x f f --+++→→→→+--''====''≠2.过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为A.0z =与1x y z +-= B.0z =与222x y z +-=一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.C.y x =与1x y z +-=D.y x =与222x y z +-=【答案】B【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故C 、D 排除，22(2,2,1),(1,0,0)2(1)20(0,1,0)z x y x y x X yY Z x y=+--+-==曲面的法向量为因为平面过，则平面方程为，又因为平面过，故由此，取特殊值；令x=1,则法向量为(2,2,1)-，故B 选项正确。

2018考研数学一

2018考研数学一
2018年考研数学一真题及答案详解如下：
1. 首先，使用定义法计算出一条正规法线，对曲面进行求导，即得到切平面法线，然后代入一点进行计算。

2. 进行幂级数的展开。

3. 比较定积分的大小。

4. 考察相似的必要条件：两个矩阵的特征向量个数必须相同。

5. 若C=AB，则C的列向量可由A的列向量线性表示，即R(A,C) = R （A），即R(A,AB)=R(A)。

6. 考察自然对数的计算，这是送分题。

7. 分部积分与导数的几何意义相结合，这也是送分题。

8. 考察轮换对称性，例如计算表达式 xy+yz+xz / 3. （x+y+z）^2-
(x^2+y^2+z^2) 的值。

9. 考察行列式的计算，例如给定两个特征向量是1和-1，求行列式的值。

10. 考察条件概率的计算，代入具体数值进行计算。

11. 考察条件极值的计算，注意运算顺序和边界条件的考虑。

12. 常规题目，画图并使用高斯公式进行计算。

13. 应用拉格朗日中值定理解决数列极限问题。

14. 求二次型等于0的解，让各项都等于0，列出齐次方程组求解，并对a
进行分情况讨论。

以上就是2018年考研数学一的部分真题及解析，如需获取更多真题及解析，建议到相关学习网站查询或请教专业老师。

2018年考研数学一试题及答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）下列函数中,在0x =处不可导是（）()()()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x xC f x xD f x x====【答案】D(2)过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为（A ）01z x y z =+-=与（B ）022z x y z =+-=与2（C ）1y x x y z =+-=与（D ）22y x x y z =+-=与2【答案】B （3）23(1)(21)!nn n n ∞=+-=+∑（A ）sin1cos1+（B ）2sin1cos1+（C ）2sin12cos1+ （D ）3sin12cos1+ 【答案】B（4）设2222(1)1x M dx x ππ-+=+⎰,221x xN dx e ππ-+=⎰,22(1cos )K x dx ππ-=+⎰,则,,M N K 的大小关系为（A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >>【答案】C 【解析】（5）下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为 111()011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()011001B -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111()010001C -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()010001D -⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭【答案】A全国统一服务热线：400—668—2155 精勤求学自强不息(6) 设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则（A ）()()r A AB r A = （B ）()()r A BA r A = （C ）()max{(),()}r A B r A r B = （D ）()()T T r A B r A B =【答案】A（7）设随机变量X 的概率密度函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=- ，且2()0.6,f x dx =⎰则{0}P X <=（）（A ）0.2 （B ）0.3 （C ）0.4 （D ）0.5【答案】 A 【解析】（8）设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，据样本检测：假设：0010:,:H H μμμμ=≠则（）(A)如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (B) 如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H (C) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (D) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H 【答案】A二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1sin 01tan lim 1tan kxx x e x →-⎛⎫=⎪+⎝⎭则k=___-2____(10) 设函数()f x 具有2阶连续导数，若曲线()f x 过点（0,0）且与曲线2xy =在点（1，2）处相切，则1()xf x dx ''=⎰_____【答案】2ln22-(11) 设(,,)F x y z xyi yzj zxk =-+则(1,1,0)rotF =_____【答案】(1,0,1)-(12)曲线S 由2221x y z ++=与0x y z ++=相交而成,求Sxyds ⎰【答案】0（13）设2阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，且满足21212()A αααα+=+则A =【答案】-1.（14）设随机事件A 与B 相互独立，A 与C 相互独立，BC =∅，若11()(),()24P A P B P AC AB C ==⋃=，则()P C = ．【答案】1/4三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求不定积分21x xe e dx -⎰（16）（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

2018考研数一【解析版】【无水印】

2018考研数学一答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

（1）【答案】D【解答】由定义得0112lim lim 2x x xx ++→→-==-；112lim lim 2x x xx --→→-==. （2）【答案】B【解答】已知平面过（1,0,0）（0,1,0）两点，可得切平面内一向量（1，-1,0）,曲面22z x y =+的切平面法向量为（2,2,1x y -）220x y ∴-=即x y =.（3）【答案】B00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn nn n n n n n n n ∞∞∞===++-=-+-+++∑∑∑ 0012(1)(1)2sin1cos1(22)!(21)!nn n n n n ∞∞===-+-=+++∑∑.（4）【答案】C22222212d d 1x xM x x x πππππ--++===+⎰⎰; -22221d (1)d x x xN x x e x e ππππ--+==+⎰⎰;22,K x K M πππ-=>∴>⎰.（5）【答案】AA 的特征值为1231λλλ===，而()()2r E A r E A λ-=-=. （6）【答案】C由秩的定义，可知C 正确（7）【答案】A已知(1)(1)f x f x +=-可得()f x 图像关于1x =对称，2()d 0.6f x x =⎰从而(0)0.2P x ≤=(8)【答案】选D .【解答】若显著性水平0.05α=时接受0H ，可知检验统计量0.025Z U ≤，此时0.005Z U ≤，选D .(9)【答案】2k =-【解答】1sin 001tan 11tan lim(),lim (1)1,1tan sin 1tan kx x x x xe x kx x →→--=∴-=++ 012tan 2lim1, 2.1tan x x k kx x k →-∴⋅=-=∴=-+ (10)【答案】2ln 22-【解答】111100''()d d '()'()'()d xf x x x f x xf x f x x ==-⎰⎰⎰10'(1)()f f x -2ln 2(1)(0)2ln 22f f =-+=-.(11)【答案】(1,0,1)-【解答】(1,1,0)(,,)(1,0,1)ij krotF y z x x y z xyyzxz∂∂∂==--=-∂∂∂-. 【解答】1sin 001tan 11tan lim(),lim (1)1,1tan sin 1tan kx x x x xe x kx x→→--=∴-=++ (12)【答案】3π-【解答】2222211:,d [()]d 2L L x y z L xy s x y s x y z ⎧++==-+⎨++=⎩⎰⎰， 121[]d 22363L s ππ-=-⋅=-⎰. (13)【答案】【解答】111222121122,,()A A A αλααλαααλαλα==+=+221122112212(),A λαλαλαλααα+=+=+2212121,1,1,1A λλλλ∴==∴=±=±∴=-（14）【答案】14【解答】[()()]()()()()()()p AC AB C p ABC AC p AC AB C p AB C p AB p C p ABC ⋃⋃⋃==⋃+-1()()112,()1144()()44p C p AC p C p C p C ===∴=++.三、解答证明题（15）2212x x e =⎰⎰221122xx x e e =⋅⎰2211arctan 24x x e =⋅21124x x x e =⋅211arctan (1)24x x e e =⋅-322112(1)243x x e e C ⎛=⋅-++ ⎝32211arctan (1)26x x e e C =⋅-.（16）解：设圆的周长为x ，正三角周长为y ，正方形的周长z ，由题设2x y z ++=.则目标函数：22222212234416x y z x z S y πππ⎛⎫⎫⎛⎫=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故拉格朗日函数为222(,,;)(2)416x zL x y z y x y z λλπ=+++++-.则 02xxL λπ'=+=，0y L λ'=+=， 2016zzL λ'=+=，20L x y z λ'=++-=.解得x =，y =，z =λ=.此时面积和有最小值S =.（17）解:构造平面22331,Σ:0,y z x ⎧+'⎨=⎩取后侧;设Σ'与Σ所围区域为Ω;记33,,P x Q y z R z ==+=;借助高斯公式,有:ΣΣ+ΣΣd d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ''++=++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22ΩΩ()d d d 0(133)d d d x y z P Q R x y z y z x y z '''=++-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22220331d d 33)d y z y z y z x +=++⎰⎰222233133)d d y z y z y z +=++⎰⎰220d 3)d r r r θπ=+⋅⎰2212)3)d(13)6r r =π(-+-2232)d(13)3r r π=---31222223)2(13)]d(13)3r r r π=----51222224[(13)(13)353r r π=---14.45π=(18)(I)解：通解 1d 1d ()e (e d )x xy x x x C -⎰⎰=+⎰=e (e d )x x x x C -+⎰=(1)exx C --+.(II)证明：设()()f x T f x +=，即T 是()f x 的周期.通解 1d 1d ()e [()e d ]x xy x f x x C -⎰⎰=+⎰e [()e d ]x xf x x C -=+⎰e ()e d e x x xf x x C --=+⎰.不妨设()e()e d e xxx x Ty x f x x C --=+⎰,则有()()()e()e d e x Tx T t x T T y x T f t t C +-+-++=+⎰()0e ()e d()(e )e xx T u T T x f u T u T C -++--=+++⋅⎰()0e ()e e d (e )e xx T u T T x f u u C -+--=⋅+⋅⎰e()e d (e )e xxu T x f u u C ---=+⋅⎰,即()y x T +依旧是方程的通解,结论得证.(19)证明:设()e 1,0xf x x x =-->,则有()e 10xf x '=->,因此e 1()0,1x f x x->>,从而1221e 1e 1,0x x x x -=>>;猜想0n x >,现用数学归纳法证明:1n =时,10x >,成立;假设(1,2,)n k k ==时,有0k x >,则1n k =+时有1e 1e1,k k x x kx +-=>所以10k x +>;因此0n x >,有下界.又1ln ln e ln ennx n n x n n x x x x +-=-=; 设()e 1e xxg x x =--,0x >时,()e e e e 0x x x x g x x x '=--=-<,所以()g x 单调递减,()(0)0g x g <=,即有e 1e x x x -<,因此1e 1ln ln10en nx n n x n x x x +--=<=,n x 单调递减. 由单调有界准则可知lim n n x →∞存在.设lim n n x A →∞=,则有e e 1A A A =-;因为()e 1e x xg x x =--只有唯一的零点0x =,所以0A =.(20)解:(I)由123(,,)0f x x x =得12323130,0,0,x x x x x x ax -+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 系数矩阵11110210101110002r A a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 2a ≠时，()3r A =，方程组有唯一解：1230x x x ===； 2a =时，()2r A =，方程组有无穷解：21,1x k k R -⎛⎫⎪=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭.(II)2a ≠时,令1123223313,,,y x x x y x x y x ax =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩这是一个可逆变换,因此其规范形为222123y y y ++;2a =时,2221231232313(,,)()()(2)f x x x x x x x x x x =-+++++222123231322626x x x x x x x =++-+。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

2018年硕士研究生入学考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）下列函数不可导的是：()()()()sin sin cos cosA y x xB y xC y xD y====（2）22过点（1，0，0）与（0，1，0）且与z=x 相切的平面方程为y + ()()()()0与10与222与x+y-z=1与222A zx y z B z x y z C y x D yx c y z =+-==+-===+-=（3）023(1)(2n 1)!nn n ∞=+-=+∑()()()()sin 1cos 12sin 1cos 1sin 1cos 13sin 12cos 1A B C D ++++（4）22222222(1x)1xN= K=(11xM dx dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰），则M,N,K的大小关系为()()()()A M N K B M K N C K M N D NM K>>>>>>>>（5）下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭相似的为______. A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.101010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（6）.设A ，B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，（X Y ）表示分块矩阵，则A.()()r A AB r A =B.()()r A BA r A =C.()max{(),()}r A B r A r B =D.()()TT r A B r A B =（7）设()f x 为某分部的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，20()d 0.6f x x =⎰，则{0}p X = .A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6 （8）给定总体2(,)XN μσ，2σ已知，给定样本12,,,n X X X ，对总体均值μ进行检验，令0010:,:H H μμμμ=≠，则A . 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时也拒绝0H . B. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时拒绝0H . C. 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时接受0H . D. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时也接受0H .二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）1sin 01tan lim ,1tan kxx x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则k =（10）()y f x =的图像过（0,0），且与x y a =相切与（1,2），求1'()xf x dx =⎰（11）(,,),(1,1,0)F x y z xy yz xzk rot F εη=-+=求（12）曲线S 由22210x y z x y z ++=++=与相交而成，求xydS =⎰ （13）二阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，21212()(),=A A αααα+=+则（14）A,B 独立，A,C 独立，11,()()(),()24BC P A P B P AC ABC P C φ≠===，则=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）.求不定积分2x e ⎰（16）.一根绳长2m ，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得的面积总和最小，并求该最小值。

19考研数一真题和答案

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 下列函数中在处不可导的是（）0x=（A ）（B ）()sin f x x x=()sin f x x =（C ）（D ）()cos f x x=()f x =2. 过点，，且与曲面相切的平面为（）(1,0,0)(0,1,0)22z x y =+（A ）（B ）01z x y z =+-=与022z x y z =+-=与2（C ）（D ）1xy x y z =+-=与22x y x y z =+-=与23.（）23(1)(21)!nn n n ∞=+-=+∑()()()()sin1cos12sin1cos12sin12cos12sin13cos1A B C D ++++4. 设，，，则（）2222(1)1x M dx x ππ-+=+⎰221x xN dx e ππ-+=⎰22(1K dx ππ-=⎰（A ）（B ）M N K >>M K N >>（C ）（D ）KM N >>K N M>>5. 下列矩阵中阵，与矩阵相似的是（）110011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（A ）（B ）（C ）（D ）111011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦101011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦101010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦6. 设是阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（）,A B n ()r X X (,)X Y （A ）（B ）(,)()r A AB r A =(,)()r A BA r A =（C ）（D ）(,)max{(),()}r A B r A r B =(,)(,)T T r A B r A B =7. 设随机变量的概率密度满足，且X ()f x (1)(1)f x f x -=+20()0.6f x dx =⎰则 ( ){0}P X<=（A ）0.2 （B ）0.3 （C ）0.4 （D ）0.58. 设总体服从正态分布,是来自总体的简单随机样X 2(,)N μσ12,,,n X X X X 本，据此样本检测，假设则（）0010:,:,H H μμμμ=≠（A ）如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必拒绝；0.05α=0H 0.01α=0H （B ）如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必接受；0.05α=0H 0.01α=0H （C ）如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必拒绝；0.05α=0H 0.01α=0H （D ）如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必接受。

2018考研数学一真题及答案及解析

2018考研数学一真题及答案及解析(word版可编辑修改)
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2018年考研数学一真题及答案解析。

2018考研数学一真题及答案解析

2018考研数学一真题及答案解析2018年考研数学一真题及答案解析2018年考研数学一真题及答案解析是考研考生备考过程中非常重要的一部分。

通过对真题的分析和解答，考生可以更好地了解考试的难度和重点，有针对性地进行复习和训练。

本文将对2018年考研数学一真题进行解析，帮助考生更好地理解和掌握考试内容。

第一部分：选择题选择题是考研数学一考试的重点和难点，也是考生们普遍关注的部分。

2018年的数学一选择题主要涉及概率与统计、线性代数和高等数学等内容。

下面将分别对每道题进行解析。

第1题：概率与统计该题考察了条件概率的计算。

题目给出了两个箱子，每个箱子里有两个球，一个红球和一个白球。

从第一个箱子中随机取出一个球放入第二个箱子，然后从第二个箱子中随机取出一个球。

问从第二个箱子中取出的球是红球的概率是多少。

解析：根据条件概率的定义，我们可以得出答案。

设事件A表示从第二个箱子中取出红球，事件B表示从第一个箱子中取出红球。

根据题意，我们需要求解的是P(A|B)，即在事件B发生的条件下事件A发生的概率。

根据条件概率的公式，我们有P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

根据题目中给出的信息，我们可以得出P(A∩B) = 1/4，P(B) = 1/2。

将这些值代入公式，我们可以得出P(A|B) = 1/2。

第2题：线性代数该题考察了矩阵的特征值和特征向量。

题目给出了一个3阶方阵A，要求求解其特征值和对应的特征向量。

解析：根据线性代数的相关知识，我们知道特征值和特征向量是方阵的重要性质。

我们可以通过求解方程|A-λI|=0来求解特征值，其中A表示方阵，λ表示特征值，I表示单位矩阵。

将方阵A代入该方程，我们可以得到一个关于λ的多项式。

通过求解该多项式的根，我们可以得到方阵A的特征值。

然后，我们可以通过代入特征值求解线性方程组(A-λI)x=0来求解特征向量。

将特征值代入方程组，我们可以得到一组关于特征向量的线性方程组。

2018年考研数学一真题及解析

1 1
tan tan
x x
1
elim x0
1 kx
1tan x1tan 1tan x
x
lim 1 2 tan x
2
ex0 kx 1tan x e k e
所以 k 2 因此填写 2
10、设曲线 y f (x) 的图像过点 (0, 0) ，且与曲线 y 2x 相切于 (1, 2) ，则
（A）
0 0
1 0
1 1
1 0 1
（B）
0 0
1 0
1 1
1 1 1
（C）
0 0
1 0
0 1
1 0 1
（D）
0 0
1 0
0 1
【答案】：（A）
1 1 0
【分析】对于
0
1
1
，
(E
A)3
0
0 0 1
对于（A）： (E A)3 0 ；对于（B）： (E A)2 0
对于（C）： (E A)2 0 ；对于（D）： (E A)2 0
因此选择（A）
8、给定总体 X ~ N (, 2) ， 2 已知，给定样本 X1, X 2 , , X n ，对总体均值进行检验，
3
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
令 H0 : 0 , H1 : 0 ，则（）
（A）若显著性水平 0.05 时拒绝 H0 ，则 0.01 时也拒绝 H0
2x( X x) 2 y(Y y) (Z z) 0 ，因为平面过点 (1, 0, 0) 与 (0,1, 0) ，故法向量与向量
{1, 1, 0} 垂直，因此有 2x 2 y 0 ，即 y x …………………………………………①

2018年考研数学一二三真题解析及点评(史上最强版)

证明数列收敛只有唯一的方法：证明数列单调有界。《金讲》17页予以重要说明并给出两道难度高于本题的同型例题详解，本题再不济，直接用第一问的结论求出第二问的结果应该是一丝难度都没有。
数一第20题数三第20题数二第22题
《金讲》403-405页不仅给出了通用性齐次方程组的详细解题过程，还给予具体具体方程解析示例，详细程度超越市面任何一本数学参考书，足以解答任何复杂齐次方程组。
本质一样
数一第18题
(Ⅰ)是简单一阶微分方程求解，直接套公式即得，送分题；(Ⅱ)不定积分函数与变现积分函数的灵活转换，需要对两者关系有较深度地掌握方可轻易转换，稍有难度，本题完整证明出来的同学应该不超过万分之一。
较难题
考查不等式的证明，具有天然的难题属性。但《金讲》在142页对这类题型设了一个专题给予了本质性的总结，任何不等式证明本质都可以归结到两类情况，每类情况的证明有唯一思路，因此，不等式证明对于《金讲》读者不太可能成为难题，但《金讲》以外，没有任何参考书做过这种深度总结，因此本道题对于有些人是难题。
数二第18题
数三第18题
简单函数的级数展开并求通项。展开部分直接套公式，属于送分。求通项虽偶有难度，但任何求通项都可以通过适当展开进行归纳这一万能方法，在《金讲》中有强调，所以也属于半送分。《金讲》 254页至259页用了一个重点专题予以详解本考点，足以解决任何函数的展开式。
数一第19题数三第19题数二第21题
数二第20题
考查微分的基本应用，将题目内容用数学式子表示出来，问题就转化为了最简单的微分或积分问题，本题几乎是《金讲》配套暑期集训讲义中的原题。
数一第11题
考查旋度公式的记忆，直接用旋度公式计算即得答案。旋度公式的详细计算公式参见《金讲》288页，属送分题。

19考研数一真题和答案

. .2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上 .1.下列函数中在x 0处不可导的是（）（A）f ( x) x sin x （B）f (x) x sin x（C） f ( x) cos x （D） f (x) cos x2.过点(1,0,0) ，(0,1,0) ，且与曲面2 2z x y 相切的平面为（）（A）z0与x y z 1 （B）z0与2x 2y z 2 （C）x y与x y z 1 （D）x y与2x 2y z 23.nn( 1)2n 3(2n 1)!（）A sin1 cos1B 2sin1 cos1C 2sin1 2cos1D 2sin1 3cos14.设2(1 x)M dx221 x21 x， 2N dx， 2K (1 cosx)dx，则（）xe2 2（A）M N K （B）M K N（C）K M N （D）K N M1 1 00 1 1 5. 下列矩阵中阵，与矩阵相似的是（）0 0 1. .专业资料 . .. .1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 （A）（B）（C）（D）0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 5.设A, B是n阶矩阵，记r(X ) 为矩阵X 的秩，( X ,Y)表示分块矩阵，则（）（A）r ( A, AB) r (A) （B）r ( A, BA) r (A)T T（C）r ( A, B) max{ r ( A), r ( B)} （D）( , ) ( , )r A B r A B6.设随机变量X 的概率密度 f (x) 满足f (1 x) f (1 x) ，且20 f (x)dx 0.6则P{ X 0} ( )（A）0.2 （B）0.3 （C）0.4 （D）0.57.设总体 X 服从正态分布2N(, ) , X1, X2, ,X n 是来自总体X 的简单随机样本，据此样本检测，假设H0 : 0 ,H1 : 0 ,则（）（A）如果在检验水平0.05下拒绝H，那么在检验水平0.01下必拒绝0 H ；（B）如果在检验水平0.05下拒绝H，那么在检验水平0.01下必接受0 H ；（C）如果在检验水平0.05下接受H，那么在检验水平0.01下必拒绝H0；（D）如果在检验水平0.05下接受H，那么在检验水平0.01下必接受H0。

19考研数一真题和答案

2018年考研数学一真题及全面解析(Word版)

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1. 0x=处不可导的是〔〕〔A 〕()sin f x x x = 〔B〕()sin f x x =〔C 〕()cos f x x = 〔D〕()f x =【答案】(D )【解析】根据导数定义，A. 000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-=== ，可导； B.000()(0)lim0x x x x x f x f x x→→→-===, 可导； C. 20001cos 1()(0)2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x→→→---=== ，可导；D. 20001122lim limx x x x x x→→→--== ，极限不存在。

应选〔D 〕. 2. 过点(1,0,0)，(0,1,0)，且与曲面22z x y =+相切的平面为〔〕〔A 〕01zx y z =+-=与〔B 〕022z x y z =+-=与2 〔C 〕1x y x y z =+-=与〔D 〕22x y x y z =+-=与2【答案】〔B 〕【解析一】设平面与曲面的切点为000(,,)x y z ，那么曲面在该点的法向量为00(2,2,1)n x y →=-，切平面方程为000002()2()()0x x x y y y z z -+---=切平面过点(1,0,0)，(0,1,0)，故有000002(1)2(0)(0)0x x y y z -+---=，〔1〕 000002(0)2(1)(0)0x x y y z -+---=，〔2〕又000(,,)x y z 是曲面上的点，故22000z x y =+ ，〔3〕解方程〔1〕〔2〕〔3〕，可得切点坐标(0,0,0) 或 (1,1,2)。

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半送分题
可能是部分同学卷面遇上的第四道难题，考查具有对称性的重积分的简化运算。积分对称性的应用一直是《金讲》的反复重点强调的要点，同型题见《金讲》262页例1.8.5.如若掌握，本题亦是送分题。但《金讲》以外大部分参考书对重积分的本质定义的理解讲解甚少，只是繁杂公式的罗列，会让大部分同学对重积分产生畏惧，简单题亦变成难题，所以本题有可能成为《金讲》以外学习者的第四道难题。
用在乎泄题带来的不公，本源内容的掌握才是胜券在握的根本保障。
条件最值是最值求解中最简单的问题，没有难题，直接用公式就好。《金讲》202 页给出了明确详细的方法，属于送分题。
送分题
送分题
高斯公式的简单应用。基础试题，见《金讲》291页高斯公式应用详解，同型例题见296页例1.9.15，送分题。但《金讲》以外大部分参考书对重积分的本质定义理解讲解甚少，只是繁杂公式的罗列，让大部分同学对重积分产生畏惧，简单题亦成难题，所以本题有可能成为《金讲》以外学习者的第六道难题。
完全同型题
随机变量数字特征计算的关键掌握公式的使用。《金讲》在随机变量的数字特征这一章给出了每个公式的详细推导及通俗解释，足以应对任何本章的考题。问题2中求复合随机变量问题，《金讲》给出了同型例题的详细过程，足以化解这方面的任何问题。
应用公式
同型例题
同型例题
《金讲》645-646页不仅超越教材的理解给出最大似然估计的白话解释，更详细列出了似然估计的详细解题步骤，给出可以全面覆盖所有可能的似然估计函数例题，足以应对任何本章的考题。问题2是求随机变量特征值，《金讲》在610有完全同型例题的详细过程，足以化解这方面的任何问题。
半送分题
《金讲》403-405页不仅给出了通用性齐次方程组的详细解题过程，还给予具体具体方程解析示例，详细程度超越市面任何一本数学参考书，足以解答任何复杂齐次方程组。
送分题
半送分题
(Ⅰ) 初等变换不改变矩阵的秩，是（Ⅰ）唯一必然的解题路径，《金讲》435页不仅对这一重点结论给予说明，还给出超越任何参考书的通俗解释，足以解答任何此类问题，属于送分题；（Ⅱ）考查矩阵方程求解。矩阵方程求解通常将被求矩阵写成向量组的形式，然后转化为多组同系数线性方程组的求解问题，《金讲》和暑期集训中反复强调这是当前考试的重点，《金讲》485页例2.4.10是与此几乎是完全同型题，同属送分题。但如果没有这种思维，本题是卷面第九道难题。
难题
可能是大部分同学卷面遇上的第一道难题，本题区别一般矩阵相似性的判断，一般相似性判断是通过求其共同相似于一个对角矩阵，但这里矩阵不能相似对角化，超出常规试题的判断范围，增加了难度。《金讲》 518页有对相似性性质有最全面的归纳和对定义的超倍辨析，如果学习不疏忽这部分内容，本题判断并不难。不管矩阵多复杂的相似性判断，首先必然从求特征值入手，然后进一步用必要条件判断，本题亦不难，但没有这种本质的思维习惯，本题难度较大。
唯一最严谨的解析
半送分题
可能是大部分同学卷面遇上的第二道难题，考查矩阵秩性质的应用，是大部分考生恐惧的问题。但《金讲》中有超越任何一本参考书的全面总结，尤其是满秩矩阵性质的说明，并给出了7道同型例题详解，也是暑期集训重点解析内容，稍加把握，瞬间即得答案为A，如果没有这方面的知识把握，本题较难。线代中简单而应用最频繁的性质
考查简单解析几何关系公式的应用。设出点，套公式解出即得答案，属送分题。
送分题
级数和求值问题。唯一思路将级数转化为7种常用函数形式，通过形式比较得出对应的数值，属送分题。
送分题
同型例题
送分题
区间有对称性，必用考查定积分性质及其对称性的应用。对称性定理简化计算。相同的积分区间的定积分大小的比较一定只是对被积函数大小的比较，这类题几乎每年必考。这一结论在《超级金讲》109页和暑期集训中反复强调的重点。暑期集训至少讲过2道难度远超出本题的例题。先利用对称性化简，然后比较被积函数大小即得答案，属送分题。
(Ⅰ)是简单一阶微分方程求解，直接套公式即得，送分题；(Ⅱ)不定积分函数与变现积分函数的灵活转换，需要对两者关系有较深度地掌握方可轻易转换，稍有难度，本题完整证明出来的同学应该不超过万分之一。
送分题
较难题
证明数列收敛只有唯一的方法：证明数列单调有界。《金讲》17页予以重要说明并给出两道难度高于本题的同型例题详解，本题再不济，直接用第一问的结论求出第二问的结果应该是一丝难度都没有。
考查特征值、特征向量简单性质的变换。对这部分稍有掌握即不难解答，同型例题见《金讲》516页例2.5件集合的简单运算，套公式即得，属于基础常考题。《金讲》从568页到571页用了一个专题详解，足以应对任何此类试题，属送分题。
送分题
半送分题
不同类型的函数构成的不定积分，必须用分部积分法，这是计算的必然路径。见《金讲》91页的总结及92页同型例题详解，属送分题。但有些同学见到被积函数中有反三角函数就乱了阵脚，送分题就变成难题了，本题可能是部分同学遇上的第五道难题。
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送分题
绝对值函数求导，实质考查导数定义的基本掌握。利用导数定义，写出零界点0处的导数，左导不等于右导则不可导。《考研数学超级金讲》（以下简称《金讲》）第70页有专题详解绝对值函数的导数计算。本题难度远低于《金讲》本节例7，属送分题。
考查幂指函数的极限求解，幂指函数首先用对数形式转换。《金讲》中反复强调了这一万能解答步骤，属送分题。
送分题
被积函数中有导数形式用分部积分法。《金讲》对这一题型用了一个小专题进行了解析，例题难度远高于本题，稍加留意，本题即属送分题。
送分题
送分题
考查旋度公式的记忆，直接用旋度公式计算即得答案。旋度公式的详细计算公式参见《金讲》288页，属送分题。
送分题
考查概率密度分布定义的简单理解。稍作变换并作图即可得出答案，属送分题。
送分题
可能是部分同学卷面遇上的第三道难题，考查假设检验基本公式记忆和拒绝域的简单理解。《金讲》在本章给出超越任何一本数学参考书的通俗详细的原理性口语解释，足以化解本章出现的任何难题，属送分题。但《金讲》以外参考书通常在本章解析甚少，数理统计学习入门的高门槛让很多人对这部分内容望而生畏，即使最简单的问题可能也让其畏惧而无从下手，简单的送分题也自然就成了难题。
同型例题
同型例题
结束语
满分150分的试卷，几乎都是对数学基本概念、基本性质、和基本运算的考察，超过120分以上题目不需要任何技巧及跳跃性思考就可以轻松拿下满分，居然被认为是史上最难的考题，根本原因是绝大部分人长期被一众商业包装起的“名师”遮蔽了双眼，以“题” 代“学”，抛弃数学考试内容学习的源头——基本知识的理解和基本数学思维的建立，而到处赶集似的浮在知识的浅表，沉迷于各种偏题怪题之中，以期投机取巧，其实最靠谱的取巧就是扎实基础，以不变应万变。这也是《考研数学超级金讲（全程复习一本通）》一书出版的根本目的。《超级金讲》读者之所以能秒杀每年号称“史上”最难考题，就是因为其对数学考试内容学习的源头超强解析，强根固本才能以不变应万变。认为2018考研数学难的其实就是一个笑话，请不要继续把你学习的误入歧途传递给别人。如此本质简单的试题，如果学习在正道上，也根本不