梁的弯曲分析

如图所示悬臂梁抗弯刚度为EI，在自由端受到一集中载荷作用，
试求梁的剪力，弯矩方程，挠曲线方程和斜度，并确定其最
大挠度和最大转角。
解：
F
L
R
固定端支反力R=F
x
根据截面法易求出剪力和弯矩方程分别为：
Fs=F；M=F*x；最大M=Fl；
挠曲线的近似微分方程为：
积分后得到：
梁弯曲变形—挠度和斜度的计算—例 子
基本任务
轴
横截面
线
形心
杆件的基本变形
拉伸和压缩 杆件受到大小相等、方向相反且作用线与轴线重 合的一对力的作用。其变形为轴向的伸长或缩短。
F
F
剪切 杆件受到大小相等、方向相反且作用线靠近的一对力的 作用，其变形为杆件两部分沿外力方向发生相对错动。
F
F
扭转 在垂直于杆件轴线的两个平面内，分别作用大小相等、 转向相反的两个力偶，其变形为任意两个界面发生绕轴线的 相对转动，变形前母线在变形后成为斜线。
静定梁的支座反力，然后就可以用截面法研究梁的内力。现
以下面两图为例，F为作用的梁中点的集中载荷，则两个支反
力都为F/2。根据截面法将梁分为两段，分析左段的平衡，则
在左段内外力和界面内力在Y轴上的代数和应为0，所以Fs=F/2，
Fs称为横截面的剪力，与横截面相切；若把左段所有外力和
内力对截面形心取矩，代数和同样应为0，这就要求界面上有
而横截面弯矩M为： 则由以上几式可以得到：
其中I为横截面A对Z轴的二次矩或惯性矩 弯曲正应力强度条件 由推到出的正应力的公式可以看出最
大弯曲正应力发生在横截面上离中性轴最远的点（即y最大的 各个点），可以看成处于单向受力状态，则可以得到梁的弯 曲正应力强度条件：式中小于等于号右端为梁的最大许正应 力。
当在固定端即x=L时有，斜度i=0，挠度w=0；将此条件带入 到上述两个方程中得到： C=-(FL^2)/2,D=(FL^3)/3 将C和D两个带入挠度和斜度方程得到：
式中 为最大抗弯应力，等于最大弯矩和梁高h/2乘积除以 二次矩I的值。
梁的优化设计—提高刚度
梁的优化设计—提高刚度
等强梁的概念
式中Wn为跨度Ln中的弯矩图的面积，an为该弯矩图形心到左 端的距离，bn+1为形心到右端的距离。对于各个分解后的简 支梁来说很容易就能求出以上几个参数。再对三弯方程组求 解，便可以求出M0~Mn,则连续梁所有跨度的受力情况都为已 知，则可以把它们看成是n个静定梁，按照以前的方法进行分 析即可。
替该点处横截面的转角。 由几何关系可以推到出 式中左端为w的二次导数，经过积分后可以分别得到斜度和挠
度的方程为：
梁弯曲变形—挠度和斜度的计算
式中C、D为积分常数，需要要边界条件和连续性条件来确定。 例如在梁的固定端，挠度和斜度都等于零，在铰支座上，挠
度等于零。
梁弯曲变形—挠度和斜度的计算—例 子
T
T
弯曲 在包含杆件轴线的纵向平面内，作用大小相等、方向相
反的一对力偶或者作用与轴线垂直的横向力，杆件轴线由直
线变为曲线。 F
F
实际情况中杆件F 的变形是几种变形的组合，F 但对工程中常用 的细长杆或梁来说，弯曲变形为最主要的形式，也是本节内 容主要讨论的变形形式。
梁的弯曲—剪力和弯矩
a
b
根据梁的计算简图，在已知载荷分布时，可由平衡方程求出
连续梁的超静定结构问题
连续梁的刚度分析—三弯方程
L1
01
2
3
Ln n-2 n-1
n
n+1
Mn-1 n-1
Mn
Mn
n
Mn+1 n+1
连续梁的刚度分析
在对连续梁做出了结构上的分解简化以后，利用应变的几何 变化，以及莫尔积分和力法计算后，可以得到连续梁的三湾 方程：连续梁三弯方程的个数等于其超静定的次数。
梁弯曲变形—挠度和斜度的≈计算
挠曲线 梁弯曲变形后轴线在xy平面内变为一条曲线，称为 挠曲线。
挠度 挠曲线上横坐标为x的横截面的形心沿y方向的位移， 成为挠度，用来量化梁弯曲变形后轴线弯曲变化情况，其表 达式为：w=f(x)
斜度 梁的横截面对原来位置转过的角度，其值为： i ≈tani=w的导数 即挠曲线上任意一点的斜率都可以精确的代
变形几何关系 在纯弯曲梁中取一微段dx。变形前互相平行相 距dx的两个横截面变形后会形成一个角度为θ的夹角，OO代 表中性层，其弯曲后曲率半径为ρ，则设距离中性层y的纤维 长度bb变为b1b1
则线段的应变为：
物理与静力学关系 当应力不超过比例极限时，由胡克定律可 知，距中性轴为y处的正应力为：
一个内力矩M，即为界面的弯矩，M=xF/2，是与横截面垂直
的合力偶矩。
L/2
F/2
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Fs
F
M
x F/2
x
F
F/2
M
Fs
F/2
F/2 -F/2
L/2
LF/4 L/2
梁弯曲的正应力和抗弯刚度
因为梁在承受静止负载时最主要的变形就是弯曲，则通常情 况下在分析梁受力变形时可以当作纯弯曲情况，可以忽略切 应力的影响。