第三章中值定理与导数的应用

第三章 中值定理与导数的应用

教学目的：

1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌

握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和

斜渐近线，会描绘函数的图形。

4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点：

1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；

2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；

3、函数图形的凹凸性；

4、洛必达法则。 教学难点：

1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；

2、极值的判断方法；

3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；

4、洛必达法则的灵活运用。 §3 1 中值定理

一、罗尔定理

费马引理

设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义 并且在x 0处可导 如果对任意x U (x 0) 有

f (x )f (x 0) (或f (x )f (x 0)) 那么f (x 0)0

罗尔定理 如果函数y f (x )在闭区间[a , b ]上连续 在开区间(a , b )内可导 且有f (a )f (b ) 那么在(a , b )内至少在一点 使得f ()0

简要证明 (1)如果f (x )是常函数 则f (x )0 定理的结论显然成立

(2)如果f (x )不是常函数 则f (x )在(a b )内至少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一最大值点(a b ) 于是

)

()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x

)

()(lim )()(≤--='='+

→+

ξ

ξξξξx f x f f f x

所以f (x )=0.

罗尔定理的几何意义

二、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a b ]上连续 在开区间(a b )内可导 那么在(a b )内至少有一点(a <

f (b )f (a )f ()(b a )

成立

拉格朗日中值定理的几何意义

f ()

a

b a f b f --)()(

定理的证明 引进辅函数

令(x )f (x )f (a )a b a f b f --)()((x a )

容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件 (a )(b )0 (x )在闭区间[a b ] 上连续在

开区间(a b )内可导 且

(x )f (x )a b a f b f --)()(

根据罗尔定理 可知在开区间(a b )内至少有一点 使 ()0 即

f ()a b a f b f --)()(0 由此得 a b a f b f --)()( f ()

即 f (b )f (a )f ()(b a ) 定理证毕

f (b )f (a )f ()(b a )叫做拉格朗日中值公式 这个公式对于b 0或x <0) 则在[x x x ] (x >0)或[x x x ] (x <0)应用拉格朗日中值公式 得

f (x x )f (x )f (x x ) ⋅x (0<<1)

如果记f (x )为y 则上式又可写为

y f (x x ) ⋅x (0<<1)

试与微分d y f (x ) ⋅x 比较 d y f (x ) ⋅x 是函数增量y 的近似表达式 而 f (x x ) ⋅x 是函数增量y 的精确表达式

作为拉格朗日中值定理的应用 我们证明如下定理

定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零 那么f (x )在区间I 上是一个常数 证 在区间I 上任取两点x 1 x 2(x 1

f (x 2)f (x 1)f ()(x 2 x 1) (x 1<< x 2)

由假定 f ()0 所以f (x 2)f (x 1)0 即

f (x 2)f (x 1)

因为x 1 x 2是I 上任意两点 所以上面的等式表明 f (x )在I 上的函数值总是相等的 这就是说 f (x )在区间I 上是一个常数

例2 证明当x 0时 x

x x x <+<+)1ln(1

证 设f (x )ln(1x ) 显然f (x )在区间[0 x ]上满足拉格朗日中值定理的条件 根据定理 就有

f (x )f (0)f ()(x 0) 0<

由于f (0)0

x x f +='11

)( 因此上式即为

ξ+=+1)1ln(x

x 又由0x 有

x

x x

x <+<+)1ln(1

三、柯西中值定理

设曲线弧C 由参数方程

⎩⎨

⎧==)()(x f Y x F X (a x b )

表示 其中x 为参数 如果曲线C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线 那么在曲线C 上必有一点x 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB 曲线C 上点x 处的切线的斜率为

)()

(ξξF f dX dY ''=

弦AB 的斜率为

)()()

()(a F b F a f b f --

于是

)()

()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=

-- 柯西中值定理 如果函数f (x )及F (x )在闭区间[a b ]上连续 在开区间(a b )内可导 且F (x )在(a b )内的每一点处均不为零 那么在(a b )内至少有一点 使等式

)()

()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=

-- 成立

显然 如果取F (x )x 那么F (b )F (a )b a F (x )1 因而柯西中值公式就可以写成

f (b )f (a )f ()(b a ) (a <

这样就变成了拉格朗日中值公式了 §3. 3 泰勒公式 对于一些较复杂的函数

为了便于研究

往往希望用一些简单的函数来近似表达

由于用多项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算 便能求出它的函数值 因此我们经常用多项式来近似表达函数

在微分的应用中已经知道 当|x |很小时 有如下的近似等式 e x 1x ln(1x ) x

这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子 但是这种近似表达式还存在着不足之处 首先是精确度不高 这所产生的误差仅是关于x 的高阶无穷小 其次是用它来作近似计算时

不能具体估算出误差大小

因此

对于精确度要求较高且需要估计误差时候

就必须用高次多项式来近似表达函数 同时给出误差公式

设函数f (x )在含有x 0的开区间内具有直到(n 1)阶导数 现在我们希望做的是 找出一个关于(x x 0 )的n 次多项式

p n (x )a 0a 1(x x 0 ) a 2(x x 0 ) 2 a n (x x 0 ) n

来近似表达f (x ) 要求p n (x )与f (x )之差是比(x x 0 ) n 高阶的无穷小 并给出误差| f (x ) p n (x )|的具体表达式

我们自然希望p n (x )与f (x )在x 0 的各阶导数(直到(n 1)阶导数)相等 这样就有 p n (x )a 0a 1(x x 0 ) a 2(x x 0 ) 2 a n (x x 0 ) n p n (x ) a 12 a 2(x x 0 ) na n (x x 0 ) n 1 p n (x ) 2 a 2 32a 3(x x 0 ) n (n 1)a n (x x 0 ) n 2 p n (x ) 3!a 3 432a 4(x x 0 ) n (n 1)(n 2)a n (x x 0 ) n 3

p n (n )(x )n ! a n