专题二次函数与四边形(动点问题)专题(教学设计)

专题：二次函数与代几综合题专题（二次函数与四边形）

首都师范大学附属丽泽中学张庆云

教学目标：

1.学生经历课上对简单动点问题的君朋讲习，理解特殊四边形的性质和判定，对简单动点问

题的解题方法有初步的理解；

2.经历较复杂背景下，动点问题的求解方法解题策略的归纳提升；

3.在自主解题、君朋讲习和师生探究的学习过程中体会数形结合、分类讨论、方程思想等主

要数学思想方法在解题中的应用，体会探索数学的乐趣。

教学重点：经历应用四边形的性质和判定定理解决二次函数与四边形形状问题

教学难点：运用图形的性质和判定寻找运动中的特殊位置，利用方程思想解决问题

教学过程：

一、教师导学：

教师将25题代几综合题的常见考点带着学生梳理，提炼解题策略。

本节课目标导学：点动、线动、面动构成的问题称为动态题．近几年来北京中考25题多是二次函数与几何图形相结合的代几综合题。

（一）常见考点:

（1）确定二次函数解析式

（2）与动点有关的存在性问题（直角、等角、等腰三角形、直角三角形、等腰三角形全等三角形、相似三角形、特殊四边形等）

（3）函数类最值问题

（4）运动问题中特殊位置的数量和位置关系（大胆猜想）

本节课主要解决与动点有关的存在性问题的研究方法和策略

（二）解题策略：

动点（线、面）→画出符合条件的静态图形→设出关键点坐标→由点坐标表示线段长→建立模型（方程）→解方程求解符合条件的点坐标→验证符合题意

二、君朋讲习问题串的（1）——（3）

背景问题：如图，抛物线与x轴交A(-1,0)、B（3,0）两点，与y轴交于点C,顶

点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上有一动点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点N，

使以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写

出M点的坐标.

解：(2),

说明：（1）（2）学生基本能在学生层面解决，教师针对学生问题进行归纳提升，分类问题，分类的标准，借助手中的尺子，动中取静。

（3）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的

一动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m

①求直线BC的解析式

②用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四

边形PEDF是平行四边形？

提示工具：平面内任意两点P（a，b），Q（c，d）的距离公式

说明：学生君朋讲习，体会解题策略，个别学生梳理，讲解分析，教师归纳动点问题的研究策略：关键点坐标——线段长——构建方程——解方程——验证（学生完成板书）

解答略

三、一题多变，提升能力

提升1：问在刚在的背景下，四边形PEDF可能是菱形

吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由。)

分析:只需在是平行四边形的条件下（即m=2时），验证

PE是否等于ED即可

解：m=2时，P（2，-1），E（1，-2）

∴

∴四边形PEDF不是菱形。

=≠2

提升2：在刚刚（3）的背景下，PF∥DE的背景下，P

的横坐标为m，如图构造矩形PRFS，设矩形PRFS的周

长为P，矩形在线段CB上运动过程中,求P与m的函数

关系式及P的最大值。

学生自主完成,感受面动→线动→点动的转化。

设出关键点坐标，表示线段长，建立方程解决问题。

在学生充分的自主分析基础上，找同学到黑板上进行板

书，教师点拨、提升。

解：略（学生黑板板书，并讲解，教师补充墙角解题策略）

策略：画出符合题意的图形→设出关键点坐标→表示线段长→建立方程解决问

课堂小结:代题综合题关键是要敢于动手画出符合条件的静态

图形→设出关键点坐标→表示线段长→利用相似、三角函数、

勾股等建立方程求解→验证点坐标

检测：

1.在例题背景下，在抛物线上是否存在一点P使得四边形ACBP

是梯形，若存在写出有几个，并求出一象限内的P的坐标和此时梯形ACBP的面积。说明:学生自主完成,反馈检测

2.设△A’B’C’与△ABC重合，将△A’B’C’沿x轴向

右平移t个单位，设△ABC与△A’B’C’重叠部分面

积为S，求S与t的关系式。（0＜t≤4）

分析：此题是面动问题转化成点动问题，两个三

角形的重叠部分始终是△A’BG，很容易表示出

A’B=4-t,而高,可以利用△A’△BG∽C’CG对应边的

比等于对应高的比得到解答。进而求出S与t的

关系式。帮助学生领会在坐标系中求线段长的方

法可以借助相似、解直、面积等关系求解。

课后阅读延伸：问在刚(3)的背景下，四边形PEDF可能是

等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理

由。（课下完成）

分析：如果四边形PEDF是等腰梯形，只需PE=FD,太复杂,

即DG=EH，因此

是（

解得（与点E重合，舍去）因此四边形PEDF不可能是等腰梯形。

作业：

1．如图，对称轴为直线x=7

2的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，

请说明理由．y

x=7 2

B(0,4)

F

O A(6,0)x E