孪生素数筛法
孪生素数猜想
孪生素数猜想1849年，波林那克提出孪生素数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生素数。
孪生素数即相差2的一对素数。
例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。
孪生素数是有限个还是有无穷多个?这是一个至今都未解决的数学难题.一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研.早在20世纪初,德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的倒数和为:s=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...如果素数是有限个,那么这个倒数和自然是有限数.但是欧拉证明了这个和是发散的,即是无穷大.由此说明素数有无穷多个.1919年,挪威数学家布隆仿照欧拉的方法,求所有孪生素数的倒数和:b=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...如果也能证明这个和比任何数都大,就证明了孪生素数有无穷多个了.这个想法很好,可是事实却违背了布隆的意愿.他证明了这个倒数和是一个有限数,现在这个常数就被称为布隆常数:b=1.90216054...布隆还发现,对于任何一个给定的整数m,都可以找到m个相邻素数,其中没有一个孪生素数.1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。
若用p(x)表示小于x的孪生素数对的个数.下表是1011以下的孪生素数分布情况:x p(x)1000 3510000 205100000 12241000000 816910000000 58980100000000 4403121000000000 342450610000000000 27412679100000000000 224376048迄今为止在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。
第一类是非估算性的结果，这一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润(顺便说一下，美国数学学会在介绍Goldston 和Yildirim 成果的简报中提到陈景润时所用的称呼是“伟大的中国数学家陈”) 利用筛法(sieve method) 所取得的。
数字谣
数字谣郭占祥记住下面的《数字谣》可知什么称自然数、素数、孪生素数、孪生数、哥德巴赫数等。
如何次次筛出未知素数、孪生素数；怎样进行奇素数相加得到大于6的偶数、大于9的奇数。
一、自然数自然事物有多少？123N来代表。
二、素数小数倍数我不是，倍数系里我最小。
三、孪生素数妹是奇素姐奇素，姐妹差2双素数。
四、素数无限知素倍数全筛掉，剩余素数我最小。
五、双素无限知素孪数都筛去，剩下双素筛不掉。
六、哥德猜想奇素单加得偶数，超6全是二素加。
奇素双加得奇数，超9全是三素加。
非1数字素数积，亦是素数和相交。
解素何需密度式，整除数论最为高。
数字谣释义：自然事物有多少呢？用1,2,3,…,n,n+1,…自然数来表达。
我不是小于我的数的倍数，一个素数倍数系里我是最小的数──素数。
两个相差为2的奇素数是孪生素数。
除了3的奇数倍数以外，其余两个相差为2的奇数，称孪生数。
把含有不大于孪生素数的奇素数倍数的孪生数都筛去，孪生数列上剩余的最小孪生数一定是未知孪生素数。
每一个奇素数与奇素数序列上等于大于自己的奇素数单加一次会得大于6的偶数；再加一次会得到大于9的奇数。
因此大于6的偶数都是两个奇素数相加的结果；大于9的奇数都是三个奇素数相加的结果。
非1自然数都是素数相乘的积，根据乘数和加数的关系，其也是素数相加的和。
解决素命题不需用“密度公式”，只要学好“素数倍数系”就足够了，要把整除数论摆在最高位置，弃简就繁能彻底解决相关素数问题。
当量子计算机和筛法编程诞生后，“充分大奇数、充分大偶数”就没有任何意义了！最后欢迎读者修改《数字谣》写到“评议”里。
谢谢！。
孪生素数猜想
孪生素数猜想孪生素数是指相差为2的一对素数。
例如，（3，5）、（11，13）和（17，19）都是孪生素数对。
孪生素数猜想是指存在无穷多个孪生素数对的假设。
这个猜想是数论领域的一个重要问题，其解决与否一直备受数学界的关注。
在介绍孪生素数猜想之前，我们先了解一下素数。
素数是只能被1和自身整除的正整数。
例如，2、3、5、7、11、13等都是素数，而4、6、8、9等则不是素数。
素数的分布一直是数论中一个重要的研究方向。
孪生素数猜想的历史可以追溯到18世纪。
法国数学家朗勃朗-皮埃尔·贝努利在1742年的一封信中首次提出了这个猜想。
他认为存在无穷多对形如（p，p+2）的孪生素数。
这个猜想引起了众多数学家的兴趣，并成为数论中一个备受关注的问题。
然而，数学界至今尚未成功证明孪生素数猜想。
尽管在解决素数问题方面取得了重要的进展，但证明孪生素数猜想仍然是一个巨大的挑战。
当前的研究基本上可以证实孪生素数猜想在某些范围内是成立的，但无法给出完整的证明。
在过去几十年中，数学家们通过使用先进的计算机技术和数论方法，对孪生素数猜想进行了大量的研究。
一些重要的数论工具，如素数谐振子方法、亏格筛法等，被用于分析素数的分布规律，给出了孪生素数猜想的一些可行性结果。
虽然孪生素数猜想尚未被证明，但众多数学家们认为这个猜想是成立的。
各种证据表明，孪生素数的分布呈现出一定的规律性。
例如，根据数论领域的研究，人们已经证明了存在无穷多对形如（p，p+2m）的素数对，其中p和m满足特定的条件。
这些结果为孪生素数猜想提供了一定的支持。
除了孪生素数猜想，相似的问题还有孪生素数三元组猜想和孪生素数四元组猜想。
孪生素数三元组猜想是指存在无穷多个形如（p，p+2，p+6）的素数三元组，而孪生素数四元组猜想则是指存在无穷多个形如（p，p+2，p+6，p+8）的素数四元组。
这些猜想与孪生素数猜想有着密切的联系，并且一直在数论领域中被广泛研究。
为了解决孪生素数猜想以及其他相关问题，数学家们需要进一步改进数论的理论和方法。
默默无闻的数学家张益唐攻破了素数难题
默默无闻的数学家张益唐攻破了素数难题默默无闻的数学家张益唐攻破了素数难题默默无闻的数学家攻破了素数难题2019年4月17号，一篇论文投稿到数学领域最富盛名的期刊之一《数学年刊》。
论文的作者是一位来自新罕布什尔大学的在该领域名不经传的讲师，年逾50的学者张益唐。
这篇论文声称朝着解决数学史上最古老的问题—孪生素数问题前进了一大步。
那些著名数学期刊的编辑早已习惯面对那些不知名的作者夸大其词的论断。
不过这篇论文却与众不同，因为这显然是一份深思熟虑的证明：语言清晰严密并且使用了该问题最前沿的方法。
数学年刊的编辑决定对其做有限处理。
仅仅三周时间，相对于数学期刊通常的审稿节奏也就是一眨眼的功夫，张就收到了他的论文的审稿意见。
其中一个审稿人写到：“主要结果都是一流的”。
论文的作者证明了“关于素数分布的里程碑式的定理”。
一项巨大进展被一个之前默默无闻的研究者发现了，这个传闻在数学家里迅速传播开来。
张益唐在1992获得博士学位之后，其学术才能就一直被人忽视。
他找不到学术界的工作，当过几年会计，甚至在Subway干过。
蒙特利尔大学的数论专家Andrew Granville教授说：“事实上，根本没人认识他。
但突然之间，他就证明了数论史上重要的结果之一”。
2.3倍。
比如在100位的数中，两个素数的平均间隔大约是230。
但这只是就平均而言的结果。
素数经常比平均预计的结果更加紧密或稀疏的出现。
特别是孪生素数经常会突然出现，比如：3和5，11和13，他们的差仅为2。
而在大数中，孪生素数似乎从没有彻底消失（目前发现的最大的孪生素数是3756801695685×2^666669-1和3756801695685×2^666669 + 1）。
数百年来，数学家一直假设存在无穷多对孪生素数。
1849年，法国数学家Alphonse de Polignac扩展了这个猜想，提出不仅仅是2，对于任意有限的间隔都存在着无穷多组素数对。
孪生素数有无穷多对的简单证明
孪生素数有无穷多对的简单证明大于1的正整数，如果仅有1和自身两个因子，则称它为素数，否则为合数，以pn表示第n个素数，例如，p1=2，p2=3，p3=5……p168=997，…。
令dn=pn+1-pn，则d1=1，d2=2…。
人们自然地提出一个问题，是不是有无穷多个dn=2？这是一个尚未解决的问题。
1、序号筛法eratosthenes筛法即为取值一个正整数x，把不能少于x的一切正整数按大小关系排列成一串，1，2，3，4，5，……x，记px就是不大于x的最小素数，从上述数串中，首先抛掉1，然后逐项的抛掉。
2+2n3+3n5+5n……（n=1，2，3，4……）最后该数串留下的数都是素数，显然对任何给定的正整数串，用上面的方法，也可以找出其中的素数。
而令大写字母则表示子集，n则表示自然数子集，p则表示所有素数的子集，p1则表示从p中换成2，3，后的子集，即p1={5，7，11，13，17，19……}对任何p∈p1，p的型式不为6k-1，就为6l+1，其中k，l为某个整数，对任何p∈p1，导入一个关联的并存数，q，使|p-q|=2，我们何不签订合同，2221/2若p=6k-1，取q=6k+1，若p=6k+1，取q=6k-1，q可以是素数，也可以合数。
比如：p=5，7，11，13，17，19，23，29，31……q=7，5，13，11，19，17，25，31，29…令n0={0}un={0。
1，2，3，4，5……}，对任何p∈p1记2似乎（p-1）/6和（pq+1）/6都就是整数，lp、sp、l及s都就是n的子集，n与l、n与s的差集分别直和为。
定理1，若a∈lp，则6a-1为合数，若b∈sp，则6b-1为合数。
证明：对任何p∈p1，若a∈lp，则存有一个n∈n0。
使a=(p-1)/6+np；若n∈sp，则存有一个m∈n0，使b=(pq+1)/6+mp，由此存有等式6a+1=p（p+6n）及6b-1=p（q+6m）为合数。
孪生素数
孪生素数要介绍孪生素数，首先当然要说一说素数这个概念。
素数是除了1 和它本身之外没有其它因子的自然数。
素数是数论中最纯粹、最令人着迷的概念。
除了 2 之外，所有素数都是奇数(因为否则的话除了 1 和它本身之外还有一个因子2，从而不满足素数的定义)，因此很明显大于2 的两个相邻素数之间的最小可能间隔是2。
所谓孪生素数指的就是这种间隔为2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就象孪生兄弟一样。
最小的孪生素数是(3, 5)，在100 以内的孪生素数还有(5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和(71,73)，总计有8组。
但是随着数字的增大，孪生素数的分布变得越来越稀疏，寻找孪生素数也变得越来越困难。
那么会不会在超过某个界限之后就再也不存在孪生素数了呢？我们知道，素数本身的分布也是随着数字的增大而越来越稀疏，不过幸运的是早在古希腊时代，Euclid 就证明了素数有无穷多个(否则今天许多数论学家就得另谋生路)。
长期以来人们猜测孪生素数也有无穷多组，这就是与Goldbach猜想齐名、集令人惊异的简单表述和令人惊异的复杂证明于一身的著名猜想- 孪生素数猜想：孪生素数猜想：存在无穷多个素数p, 使得p+2 也是素数。
究竟谁最早明确提出这一猜想我没有考证过，但是一八四九年法国数学Alphonse de Polignac 提出猜想：对于任何偶数2k,存在无穷多组以2k 为间隔的素数。
对于k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把Alphonse de Polignac作为孪生素数猜想的提出者。
不同的k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们已经知道叫做孪生素数，k=2 (即间隔为4) 的素数对被称为cousin prime (比twin 远一点)，而k=3 (即间隔为6) 的素数对竟然被称为sexy prime (这回该相信“书中自有颜如玉”了)！不过别想歪了，之所以称为sexy prime 其实是因为sex 正好是拉丁文中的6。
双筛法的两种类型及其性质
双筛法的两种类型及其性质摘要：一组筛元素：（1）从一个等差数列的两个端点，同时实施顺筛和逆筛，称为双筛；（2）从两个“等公差数列”的始端元素，同时向末端元素施筛，也称为双筛。
由于两种筛法类型的操作方式不同，施筛对象不同，筛后剩余的元素也不尽相同。
施筛的作用和筛后的结果，意义也必然不同。
本文对此予以解析。
关键词：双筛法，类型，性质一，概念，定义，符号1，素数序列：p1=2，p2=3，p3=5，⋯；2，偶数N e≥6。
3，筛元素p：小于√N e的素数。
4，公差d 相同，项数也相同的两个等差数列，称为并行等公差数列。
例：A: a0，a1，a2，⋯，a n=a0+ndB: b0，b1，b2，⋯，b n=b0+nd用符号A||B表示并行等公差数列。
5，r2(N e)：偶数N e表为两个奇素数之和的1+1表法个数。
6，r2(√N e，N e−√N e)：偶数N e在区间(√N e，N e−√N e)上的1+1表法个数.7，R2(N e)；不超过N e的孪生素数个数。
8，R2(√N e，N e)：区间(√N e，N e)上的孪生素数个数。
二，双筛法的两种类型及性质1，逆向双筛法：在区间（0，N e）上，依次同时划去自然数数列0，1，2，⋯，N e 中，筛元素p的倍数mp，和关于N e对称分布的自然数N e−mp的方法，称为2逆向双筛法。
性质：（1）逆向双筛法是对称筛法。
对称（2）对自然数数列0，1，2，⋯，N e实施逆向双筛后，剩余的元素关于N e2分布。
（3）对自然数数列0，1，2，⋯，N e实施逆向双筛后，剩余的元素都是素数（自然数1除外）。
（4）当N e−1是素数时，对自然数数列0，1，2，⋯，N e实施逆向双筛后，剩余的元素中，包含自然数1，(N e−1)两个元素。
反之不然。
（5）当N e2是素数时，对自然数数列0，1，2，⋯，N e实施逆向双筛后，剩余的元素中，包含元素N e2。
反之不然。
（6）对自然数数列0，1，2，⋯，N e实施逆向双筛后，剩余的元素全位于区间（√N e，N e−√N e）内（自然数1，N e−1除外）。
关于孪生素数猜想的一个证明
关于孪生素数猜想的一个证明
孪生素数猜想（Twin Prime Conjecture）：任意两个连续的大于2的素数，必有一对孪生素数。
思路：
一、利用费马小定理证明
费马小定理：当p是素数时，对于所有正整数a，都有a的p次方与a减去1的商等于1(mod p)。
证：考虑任意两个素数p1和p2，p2=p1+2，设a=2，那么在p1和p2上面都有a的p次方与a减去1=1的商等于1（mod p1）和1（mod p2），即：
p1|2p1-1
p2|2p2-1
同时，2p1-1和2p2-1刚好满足2p2-2p1=2，由于p1和p2是素数，交换取整律有：
2|2p2-2p1
而满足上述等式的唯一解即为p1和p2之和为2。
故证明孪生素数猜想成立。
二、利用数论的方式证明
任意大于2的偶数都可以表示为一对素数之和，即：2n = p1 + p2，其中p1和p2均为素数。
关于这一对素数，存在以下情况：
1、p2 = p1 + 2（孪生素数）
2、p1和p2无任何关系（非孪生素数）
由此可以推出，只要2n=p1+p2成立，那么p1和p2之间必然存在孪生素数对。
故证明孪生素数猜想成立。
孪生素数 已证明的最小间隔
孪生素数的已证明最小间隔1. 引言孪生素数是指相差为2的两个素数，例如(3, 5), (11, 13), (17, 19)等。
孪生素数问题一直以来都吸引着数学家们的兴趣。
其中一个重要的研究方向是确定孪生素数之间的最小间隔。
本文将介绍已经证明的最小间隔，并讨论相关的研究成果和方法。
2. 已证明的最小间隔在过去几十年里，数学家们通过不断努力，已经证明了一些最小间隔。
2.1 最小间隔为6早在18世纪末，法国数学家Legendre就证明了存在无穷多对相差为6的孪生素数。
这个结果被称为Legendre猜想，并被后来的Erdős改进和推广。
2.2 最小间隔为161974年，美国数学家Helfgott通过计算机程序验证了存在无穷多对相差为16的孪生素数。
这一发现引起了广泛关注，并激发了更多研究。
2.3 最小间隔为70万亿2013年，由于技术和计算能力的进步，一支由Yitang Zhang领导的研究团队证明了存在无穷多对相差为70万亿的孪生素数。
这个突破性的结果震惊了整个数学界，被誉为“孪生素数间隔领域的重大突破”。
2.4 最小间隔为2462014年，由于前述成果的鼓舞和启发，由Tao和Maynard等人组成的合作团队证明了存在无穷多对相差为246的孪生素数。
这一结果进一步推动了孪生素数间隔研究的发展。
3. 研究方法和思路为了证明最小间隔问题，数学家们采用了不同的方法和思路。
3.1 基于筛法筛法是一种常见且有效的寻找素数的方法。
通过排除所有非素数，可以得到一系列素数。
在寻找孪生素数时，数学家们结合筛法来确定最小间隔。
3.2 基于整除性质另一个常用的方法是利用整除性质来推导最小间隔。
通过分析素数与其相邻数字之间可能存在的整除关系，可以得出最小间隔。
3.3 基于数论方法数论是研究整数性质的一个分支，对于最小间隔问题的研究也起到了重要作用。
数学家们运用数论中的定理和方法，通过分析素数的性质和规律来推导最小间隔。
4. 研究进展和展望孪生素数间隔问题是一个复杂而困难的研究领域。
孪生素数猜想初等证明详解
孪生素数猜想初等证明详解齐宸孪生素数是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。
孪生素数猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。
素数对（p, p + 2）称为孪生素数。
孪生素数由两个素数组成，相差为2。
为了证明孪生素数猜想，无数的数学家曾为之奋斗，但美丽的公主仍然犹抱琵琶半遮面。
1．孪生素数分类及无个位表示方法孪生素数按两个素数个位不同划分3类（不包括10以下的3-5、5-7），分别是：1、孪生素数中两个素数个位为1和3，如11-13，41-43等；2、孪生素数中两个素数个位为7和9，如17-19，107-109等；3、孪生素数中两个素数个位为9和1，如29-31，59-61等。
三类孪生素数中个位为1和3的第一类是我们需要重点研究的，其他两类可以忽略不计。
因为只要第一类孪生素数无限，也就等价于证明了孪生素数猜想。
自有孪生素数概念以来它们就是由两个素数表示的。
若是能简化成一个数字那孪生素数猜想这一世界数学难题也许就向前迈进了一步。
无论这一步是一小步，还是一大步。
但毕竟能将两个素数组成的孪生素数降格成了像素数那样的单个数字。
分析一下个位为1和3的这一类孪生素数，如41-43这对孪生素数。
首先，分别去掉个位1和3后，可以看到剩下了两个数字4和4。
用这两个数字完全可以表示一对孪生素数，当然我们心里要想着在这两个数字后面是有个位1和3的。
其次，这两个去掉个位的数字又是完全相同的，都是一个数字“4”。
这样也就完全可以用一个数字“4”来表示一对孪生素数，也可以说4是一个单数字无个位孪生素数。
当然表面上看只有第一类、第二类孪生素数可以用一个数字表示（实际上第三类也可以）。
为什么一定要去掉个位呢？可将自然数变成互为补集的两类：孪生素数和非孪生素数。
并利用一种简单的筛法，将自然数中的非孪生素数及其补集孪生素数分开。
而且这个筛法所要得到的是非孪生素数。
孪生素数猜想的证明
孪生素数猜想的证明
质数又称素数，是大于1且只能被1和自身整除的自然数。
质数对于数论中的研究而言具有重要意义，许多数论问题都与质数有关。
有一个著名的猜想，就是孪生素数猜想，即任意一对素数之差都大于
2，也就是说任意两个素数之间至少要比2大。
这个猜想
被称为孪生素数猜想，是数论中极具挑战性的课题，它至今尚未得到完整的证明。
孪生素数猜想最早由欧拉提出，他提出了一个更强的猜想，即任意两个素数之差都不能被任何小于他们之和的数整除，也就是说任意两个素数之间的差的绝对值必须大于他们之和的一半，有时被称为欧拉猜想。
由于孪生素数猜想的复杂性，众多学者都试图找到它的证明。
其中，高斯猜想和欧拉猜想的证明最为复杂，即使是最优秀的数学家也无能为力。
最近，著名数论学家朱尔斯·施密特提出了一种新的证明
方法，他提出，如果能够找到一个特殊的数学表达式，这个表达式可以用来描述两个孪生素数之间的关系，那么就可以证明孪生素数猜想的真实性。
因此，孪生素数猜想的证明仍然是一个未解决的难题，它需要更多学者的共同努力才能够最终解决，目前，学者们还在不断研究当中，希望能够有一天有人能够成功证明孪生素数猜想。
关于孪生素数猜想的证明
关于孪生素数猜想的证明关于孪生素数猜想的证明Һ吴国胜㊀（安徽省电子器材公司，安徽㊀合肥㊀２３００６１）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文的目的在于用筛法㊁解析方法等基础理论证明在自然数中存在无穷对孪生素数，并给出孪生素数分布的下界．ʌ关键词ɔ孪生素数猜想；定义及推论；误差值引㊀言两个相差２的素数称作一对孪生素数．在自然数中存在无穷对孪生素数的猜想是古希腊人提出来的，迄今大约有二千年的历史了，它和１７４２年德国人提出的Ｇｏｌｄｂａｃｈ猜想被人们喻为姐妹问题．德国杰出的数学家Ｈｉｌｂｅｒｔ１９００年在巴黎召开的第二届国际数学家代表大会上提出二十三个著名问题，孪生素数猜想是其中第八个问题的一部分．本文的目的在于对以下定理给出详细证明．定理命ω（ｘ）表示不超过ｘ的孪生素数组数，对于充分大的Ｎ，存在无穷多个整数点Ｍｉɪ［Ｎ，＋ɕ），有ω（Ｍｉ）ȡ０．３７Ｍｉｌｎ２Ｍｉ．有简单推论，对于任意ｘȡＮ，总有ω（ｘ）ȡ０．３７ｌｎｘ（ｌｎｌｎｘ）２．孪生素数猜想成立．一㊁定义及推论定义１㊀命２，３为原素数，不再以Ｐ表示．素数以Ｐｉ表示，其中Ｐ１＝５，Ｐ２＝７，Ｐ３＝１１， ，以此类推．相应地，孪生素数从５，７开始计算．定义２㊀Ｚｊ＝ᵑｊｉ＝１Ｐｉ．定义３㊀命６ｎ－１与６ｎ＋１为一对孪生组，ｎ为正整数．推论１㊀命Ｄ（ｘ）表示［０，ｘ］间孪生组的组数，则Ｄ（ｘ）＝ｘ－１６[]，１ɤｘ，０，０ɤｘ＜１．æèçç定义４㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）为［０，ｘ］间一方含Ｐｊ因子而双方均与Ｚｊ－１互素的孪生组的组数，称作ｘ内Ｐｊ的孪生类数．（ｘȡＰｊ）．推论２㊀ω（ｘ）－ω（ｘ）＝Ｄ（ｘ）－ðｐ１ɤｐｊɤｘＢ（ｘ，Ｐｊ）．定义５㊀当（６，ｋｎ）＝（ｋ，ｎ）＝１定义Ｔ（ｋ，ｎ）ʉ（ｋｎ）２＋６ｋｑ（ｍｏｄ６ｋｎ），其中ｑ满足３ｋｑʉ１（ｍｏｄｎ），特别地，Ｔ（ｋ，１）ʉｋ２（ｍｏｄ６ｋ）．定义６㊀Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝２ＤｘＰｊ()－２ðＰ１ɤＰｉɤＰｊ－１ＢｘＰｊ，Ｐｉ()，为二倍于０，ｘＰｊ[]间不小于Ｐｊ孪生类的孪生组数．（ｘȡＰ２ｊ）．（注：本文［α］，｛α｝分别表示α的整数与分数部分，并将［α＋β］＋［α－β］简记作［αʃβ］，将｛α＋β｝＋｛α－β｝简记作｛αʃβ｝，将ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）简记作ｓｉｎ（αʃβ）．）二㊁第一类误差关系式的建立引理１㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｎ｜ｚｊ－１ｍ｜ｚｊ－１（ｍ，ｎ）＝１μ（ｍｎ）(ｘ＋Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２６Ｐｊｍｎéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）６Ｐｊｍｎéëêùûú＋１)（ｘȡＰｊ）．证：当（ｍ，ｎ）＝（６Ｐｊ，ｍｎ）＝１时，由定义５有Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉ０（ｍｏｄＰｊｍ），１（ｍｏｄ６）．{Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２ʉ０（ｍｏｄｎ），－１（ｍｏｄ６）．{故Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）与Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２为分别由Ｐｊｍ与ｎ因子组成的孪生组，后者为６Ｋ－１型，同样Ｔ（ｎ，Ｐｊｍ）与Ｔ（ｎ，Ｐｊｍ）－２为另一组分别由Ｐｊｍ与ｎ因子组成的孪生组，后者为６Ｋ－１型，且－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉＴ（ｎ，Ｐｊｍ）－２（ｍｏｄ６Ｐｊｍｎ）．根据剩余系互补的性质，当（ｍ，ｎ）＝（６Ｐｊ，ｍｎ）＝１，对于任意ｘȡＰｊ，在［０，ｘ］间一方含Ｐｊｍ因子，另一方含ｎ因子的孪生组数：Ｄ（ｘ，Ｐｊｍ，ｎ）＝ｘ＋Ｔ（ｐｊｍ，ｎ）－２６Ｐｊｍｎéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）６Ｐｊｍｎéëêùûú＋１．由定义４和Ｂｒｕｎ的包含排除定理（文献［６］第一章ɦ７定理１），即得引理．又当（ｍ，ｎ）＞１时，恒有μ（ｍｎ）＝０，故引理中（ｍ，ｎ）＝１的条件可以不必要．证毕．引理２㊀（Ⅰ）Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝ðｎ｜ｚｊ－１ｍ｜ｚｊ－１μ（ｍｎ）æèççｘＰｊ＋Ｔ（ｍ，ｎ）－２６ｍｎéëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｔ（ｍ，ｎ）６ｍｎéëêêêùûúúú＋１öø÷÷－１（ｘȡＰ２ｊ）．（Ⅱ）若用Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）代替Ｔ（ｍ，ｎ），上式亦成立．证：当ｍ＝ｎ＝１时，Ｔ（１，１）ʉ１（ｍｏｄ６），μ（１）＝１，ʑｘＰｊ＋Ｔ（１，１）－２６éëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｔ（１，１）６éëêêêùûúúú＋１－１＝２ｘＰｊ－１６éëêêêùûúúú＝２ＤｘＰｊ()，又Ｔ（ｍ，ｎ）－２ʉ－Ｔ（ｎ，ｍ）（ｍｏｄ６ｍｎ）．由定义６和引理１即得（Ⅰ）成立．ȵ（Ｐｊ，ｍｎ）＝（Ｐｊ，Ｚｊ－１）＝１，ʑＴ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉＴ（ｍ，ｎ）（ｍｏｄ６ｍｎ）．又Ｔ（Ｐｊ，１）ʉＰ２ｊʉ１（ｍｏｄ６），ʑｘＰｊ＋Ｐ２ｊ－２６éëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｐ２ｊ６éëêêêùûúúú＋１－１＝２ｘＰｊ－１６éëêêêùûúúú＝２ＤｘＰｊ()，故（Ⅱ）亦成立，证毕．引理３㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤｈ（ｘ，Ｐｊ）＋Ｏ（１）（ｘȡＰ２ｊ），ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπｘ３Ｐｊｄ㊃ｃｏｓｎπＴ（Ｋξ）３Ｐｊｄ－ｃｏｓｎπＴ（Ｋξ）３ｄæèçöø÷，其中Ｔ（Ｋξ）＝ＴＰｊＫξ，Ｚｊ－１Ｋξæèçöø÷，Ｋξ为Ｋｉ｜Ｚｊ－１之某一值，ｖ（ｄ）表示ｄ的不同素因子的个数，ｖ（１）＝０．证：命φ表示Ｋｉ｜Ｚｊ－１的集合，因Ｚｊ－１无重复素因子，故对于任一Ｚｊ－１，Ｋｉ之集合有且仅有ðｊ－１ｋ＝１Ｃｋｊ－１＝２ｊ－１个元素组成，当（ｌ１，ｌ２）＝（ｌ１，６Ｐｊｍｎ）＝（ｌ２，６Ｐｊｍｎ）＝１，有Ｔ（ｌ１Ｐｊｍ，ｌ２ｎ）ʉＴ（Ｐｊｍ，ｎ）（ｍｏｄ６Ｐｊｍｎ）．由引理１，２即可得到：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝ðＫｉ｜Ｚｊ－１１２ｊ－１ðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）㊃æèççｘ＋Ｔ（Ｋｉ）－２６Ｐｊｄéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｋｉ）６Ｐｊｄéëêùûú－ｘＰｊ＋Ｔ（Ｋｉ）－２６ｄéëêêêùûúúú－ｘＰｊ－Ｔ（Ｋｉ）６ｄéëêêêùûúúúöø÷÷＋１，（１）现估计（１）式中第一㊁三两项中消去－２后所产生的误差Ｒ＝Ｒ１＋Ｒ３，命Ａｉ＝ｘ＋Ｔ（Ｋｉ）有：Ａｉ－２６Ｐｊｄéëêùûú＝［Ａｉ］－２６Ｐｊｄéëêùûú＝Ａｉ６Ｐｊｄéëêùûú－１，当［Ａｉ］ʉ０或１（ｍｏｄ６Ｐｊｄ），Ａｉ６Ｐｊｄéëêùûú，其他．ìîíïïïï故知只有当［Ａｉ］＝６ＰｊＭｉＤｉ＋δ（δ＝０或１，其中Ｄｉ｜Ｚｊ－１）时才产生误差，根据同余的性质有：ðｄ｜Ｄｉμ（ｄ）２ｖ（ｄ）＝１，ｖ（Ｄｉ）为偶数或０，－１，ｖ（Ｄｉ）为奇数，{ʑＲ１ɤ１２ｊ－１ðＫｉ｜Ｚｊ－１１＝１，同样可证得｜Ｒ３｜ɤ１．ʑ｜Ｒ｜ɤ｜Ｒ１｜＋｜Ｒ３｜ɤ２，故由（１）式知必定存在某一Ｋξ｜Ｚｊ－１，使得：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤｈ（ｘ，Ｐｊ）＋Ｏ（１），其中ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）æèççｘʃＴ（ｋξ）６Ｐｊｄéëêùûú－ｘＰｊʃＴ（Ｋξ）６ｄéëêêêùûúúúöø÷÷，ȵＰｊＫξ｜Ｔ（Ｋξ），Ｚｊ－１Ｋξ｜Ｔ（Ｋξ）－２，（注：以下将Ｔ（Ｋξ）简记作Ｔ）ʑｄ｜Ｚｊ－１｜Ｔ（Ｔ－２）．因ｄ无重复素因子，故知对于任意ｄ，当ｄȡ４ｘ２可分解为ｄ＝ｄ１ｄ２，其中ｄ２ȡｄ１ȡ１，使ｄ２｜Ｔ或者ｄ２｜（Ｔ－２）两者之一成立．显然ｄ２ȡ２ｘ＞ｘ＋２Ｐｊ（ｘȡＰ２ｊ），如ｄ２｜Ｔ成立，有０＜ｘｄ２＝β＜１，Ｔｄ２＝Ｌ，显然（６，Ｌ）＝１，因而－Ｌ６ｑ[]＝－１－Ｌ６ｑ[]（ｑ为正整数），故有：ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘＰｊʃＴ６ｄéëêêêùûúúú＝βʃＬ６Ｐｊｄ１[]－βʃＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú＝ʃＬ６Ｐｊｄ１[]－ʃＬ６ｄ１[]＝０，同样如ｄ２｜（Ｔ－２），则有０＜ｘ＋２ｄ２＝β１＜１，０＜ｘ－２ｄ２＝β２＜１，０＜ｘ＋２Ｐｊｄ２＝β３＜１，０＜ｘ－２Ｐｊｄ２＝β４＜１，Ｔ－２ｄ２＝Ｌ，则（６，Ｌ）＝１，即有ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘＰｊʃＴ６ｄéëêêêùûúúú＝β１＋Ｌ６Ｐｊｄ１éëêùûú＋β２－Ｌ６Ｐｊｄ１éëêùûú－β３＋ＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú－β４－ＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú＝ʃＬ６Ｐｊｄ１[]－ʃＬ６ｄ１[]＝０，ʑｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘʃＰｊＴ６Ｐｊｄéëêùûúæèçöø÷＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｘʃＰｊＴ６Ｐｊｄ{}－ｘʃＴ６Ｐｊｄ{}æèçöø÷，（２）由Ｆｏｕｒｉｅｒ展开式，当｛α｝ʂ０时有：｛α｝＝－ðɕｎ＝１１ｎπｓｉｎ（２ｎπα）＋１２，（３）ȵＰｊ｜Ｔ，ʑ只需取ｘ，当Ｐｊ｜ｘ，即有（２）式中任意一项｛αｉ｝ʂ０均适用于（３）式，故（２）式又可表示为：ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπｘ３Ｐｊｄ(ｃｏｓｎπＴ３Ｐｊｄ－ｃｏｓｎπＴ３ｄ)，证毕．三、第一类误差值的计算引理４㊀用Ｍ［Ｆ１（ｙ）］表示函数Ｆ１（ｙ）的Ｍｅｌｌｉｎ变换式，若有Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄｓ－２（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１），取σ＝ＲｅＳ＝１－１ｌｎｙ，当ｙ＞Ｐｊ时，必有｜Ｆ１（ｙ）｜＝Ｏｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙæèçöø÷．证：σ＝１－１ｌｎｙ＞１－１ｌｎＰｊ＞０．首先证明Ｍ［Ｆ１（ｙ）］绝对收敛．令Ｈ（ｓ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄｓ－２，（４）则Ｈ（ｓ）ɤðｄ｜Ｚｊ－２｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）｜ｄｓ－２｜＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２Ｐσ－２），ʑｌｎ｜Ｈ（ｓ）｜ɤｌｎᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２Ｐσ－２）＝ðＰ１ɤＰɤＰｊ－１ｌｎ（１＋２Ｐ－１－１ｌｎｙ）ɤðＰ１ɤＰɤＰｊ－１２Ｐ－１＝２ｌｎｌｎＰｊ＋Ｏ（１）．（参见文献［２］第七章ɦ３Ｍｅｒｔｅｎｓ公式）ʑ｜Ｈ（ｓ）｜＝Ο（ｌｎ２Ｐｊ）绝对收敛．又Ｒｅ（２－ｓ）＝１＋１ｌｎｙ＞１，令ｂ１（ｕ）＝｛ｕ｝－１２，有ζ（２－ｓ）＝１１－ｓ＋１２－（２－ｓ）ʏɕ１ｂ１（ｕ）ｕ３－ｓｄｕ＝－１ｓ－１＋１＋ʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２，（参考文献［１］第八章ɦ２）ʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２为｛ｕ｝ʂ０时的瑕积分，记作Ｐ㊃Ｖ．Ｐ㊃Ｖʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２＝｛ｕ｝ｕｓ－２ɕ１－Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｄ｛ｕ｝＝－Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｄ｛ｕ｝ｄｕｄｕ，当｛ｕ｝ʂ０，由（３）式有ｄ｛ｕ｝ｄｕ＝－２ðɕｎ＝１ｃｏｓ（２ｎπｕ）＝－ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ＋１，（参考文献［７］（３．６．１）式）综上即得：Ｑ＝（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）＝－１＋（ｓ－１）Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ－１æèççöø÷÷ｄｕ＝－１＋Ｐ㊃Ｖʏɕ１（ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ－１）ｄｕｓ－１＝Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕｄｕｓ－１，ʑ｜Ｑ｜ɤＰ㊃Ｖʏɕ１｜ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ｜㊃｜ｄｕｓ－１｜＝｜ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πξｓｉｎπξ｜ʏɕ１ｄｕ－１ｌｎｙ｜ɤ１ｓｉｎπξ＜＋ɕ（｛ξ｝ʂ０），ʑＭ［Ｆ１（ｙ）］绝对收敛．令ʏ（σ）＝ｌｉｍＡңɕʏσ＋ｉＡσ－ｉＡ，由文献［１］第十二章ɦ１引理１有：Ｆ１（ｙ）＝１２πｉʏ（σ）Ｍ［Ｆ１（ｙ）］ｙ－ｓｄｓ＝１２πｉʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）ｙ－ｓｄｓ＝－１２πｉʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）ｄｙ－ｓ＋１ｄｙｄｓ＝ｉ２πʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）ｄｓｄｙｄｙ－ｓ＋１．ȵζ（２－ｓ）－１＝ðɕｎ＝２１ｎ２－ｓ，ʑ｜ζ（２－ｓ）－１｜ɤðɕｎ＝２１ｎ１＋１ｌｎｙ＝ʏɕ１ｄｕｕ１＋１ｌｎｙ＋Ｏ（１）＝－ｌｎｙ㊃ｕ－１ｌｎｙɕ１＋Ｏ（１）＝ｌｎｙ＋Ｏ（１），ｄｓｄｙ＝ｄ１ｌｎｙｄｙ＝１ｙｌｎ２ｙ，｜ｙｉｔ｜＝｜ｅｉｔｌｎｙ｜＝１，ｙ－σ＋１＝ｙ１ｌｎｙ＝ｅ．当ｙ＞Ｐｊ，ｌｎｙ＞ｌｎＰｊ≫１，ʑ｜Ｆ１（ｙ）｜ɤʏ（σ）｜Ｈ（ｓ）｜｜ζ（２－ｓ）－１｜ｄｓｄｙ｜ｄｙ－ｓ＋１｜ɤʏ（σ）Ｏ（ｌｎ２Ｐｊ）（ｌｎｙ＋Ｏ（１））１ｙｌｎ２ｙｄｙ１ｌｎｙ＝Ｏｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙæèçöø÷，证毕．引理５㊀对于充分大的ｘ，恒有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤＯｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊæèçöø÷＋Ｏ（１），当Ｐｊɤｘ１２时，误差项Ｏ（１）可以不计．证：（Ⅰ）当Ｐｊɤ６ｌｎｘ时，ȵðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπαｃｏｓｎπβɤ１，又ｖ（Ｐ）＝１，由引理３有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）ɤ２ðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）＝２ᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２ｖ（Ｐ））＝２㊃３ｊ－１．由素数定理得ｊ＝π（Ｐｊ）＝ＰｊｌｎＰｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()．ʑＢ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤ２㊃３ｊ－１＋Ｏ（１）＜３ｊɤ３７ｌｎｘｌｎｌｎｘ＝ｘ７ｌｎ３ｌｎｌｎｘ＜ｘ１２≪ｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊ．（Ⅱ）当ｘ１２＜Ｐｊɤｘ，显然有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝１，Ｐｊ与Ｐｊ＋２为孪生素数，０，其他．{（Ⅲ）现着重讨论６ｌｎｘ＜Ｐｊɤｘ１２的情形．由引理３我们有：㊀ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１４ｎπ㊃ｎπｄ㊃ｓｉｎｎπｘ３ＰｊｄʏＴ６Ｔ６Ｐｊｓｉｎ２ｎπｑｄｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｄ(ｃｏｓｑ－ｘ６Ｐｊｄ２ｎπ－ｃｏｓｑ＋ｘ６Ｐｊｄ２ｎπ)ｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６Ｐｊ(ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１４ｎπｄ２ｓｉｎ２ｎπｄｙ)ｄｙｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ（ｙ）ｄｙｄｑ．由积分不等式，当ｂ＞ａȡ０时，若在区间［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）可积，｜ｆ（ｘ）｜ɤ｜ｇ（ｘ）｜，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤʏｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘɤʏｂａ｜ｇ（ｘ）｜ｄｘ．又Ｆ（ｙ）可积，则有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）ɤʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ（ｙ）ｄｙｄｑ，（５）Ｆ（ｙ）是实连续函数，ｙ＞０（见（９）式），我们可对其取Ｍｅｌｌｉｎ变换，令ＲｅＳ＝１－１ｌｎｙ，当α＞０时，Ｍ［ｓｉｎαｘ］＝ʏɕ０ｓｉｎαｘ㊃ｘｓ－１ｄｘ＝α－ｓΓ（ｓ）ｓｉｎπｓ２，ʑＭ［Ｆ（ｙ）］＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１（ｎπ）１－ｓ２２－ｓΓ（ｓ）ｄｓ－２ｓｉｎπｓ２，（６）ðɕｎ＝１ｎ１－ｓ＝ζ（ｓ－１），Γ（ｓ）＝（ｓ－１）Γ（ｓ－１）（文献［５］第二章ɦ２定理２），ｓｉｎπｓ２＝ｃｏｓπ（ｓ－１）２．根据ＲｉｅｍａｎｎＺｅｔａ函数解析开拓的性质（文献［３］第二篇第二章ɦ２定理２．１）有ζ（１－ｓ）＝２１－ｓπ－ｓｃｏｓπｓ２Γ（ｓ）ζ（ｓ）普遍成立．ʑ由（６）式和（４）式有：Ｍ［Ｆ（ｙ）］＝ζ（ｓ－１）Γ（ｓ－１）（ｓ－１）π１－ｓ２２－ｓＨ（ｓ）㊃ｃｏｓπ（ｓ－１）２＝ζ（２－ｓ）（ｓ－１）Ｈ（ｓ），令Ｆ（ｙ）＝Ｆ１（ｙ）＋Ｆ２（ｙ），则Ｍ［Ｆ（ｙ）］＝Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＋Ｍ［Ｆ２（ｙ）］，其中Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＝（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）Ｈ（ｓ），（７）Ｍ［Ｆ２（ｙ）］＝（ｓ－１）Ｈ（ｓ），相应地，ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ｈ１（ｘ，Ｐｊ）＋ｈ２（ｘ，Ｐｊ），首先证明ｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝０．ȵＰｊＫξＴ，Ｚｊ－１Ｋξ（Ｔ－２）（见引理３），ʑＴȡＰｊＫξ，Ｔ－２ȡＺｊ－１Ｋξ，Ｔ２＞Ｔ（Ｔ－２）ȡＰｊＫξ㊃Ｚｊ－１Ｋξ＝ＰｊＺｊ－１＝Ｚｊ，Ｔ＞Ｚｊ（注：当ｘȡＰ２ｊ，必有ｄ通过所有ＰɤＰｊ－１，故（５）式中Ｔ不变．）由文献［１］第三章ɦ１定理２契贝谢夫θ函数性质有：ｌｎＴ＞１２ｌｎＺｊ＞１２－ε()Ｐｊȡ１２－ε()６ｌｎｘ＞２．８ｌｎｘ，即有１ｌｎＴ＝Ｏ１Ｐｊ()，（８）及Ｔ＞ｘ２．８，又ｘȡＰ２ｊ，由（５）式知ｙȡｑ－ｘ６ＰｊȡＴ－ｘ６Ｐｊ＞ｘ２．８－ｘ６ｘ≫ｘ２．２≫４ｘ２，（９）ｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ２（ｙ）ｄｙｄｑ＝(ʏɕＴ－ｘ６Ｐｊ－ʏɕＴ－ｘＰｊ６－ʏɕＴ＋ｘ６Ｐｊ＋ʏɕＴ＋ｘＰｊ６)ʏɕφＦ２（η）ｄηｄφ，由Ｍｅｌｌｉｎ变换公式（文献［８］５８１页），若Ｍ［ｆ（ｙ）］＝Ｍ（ｓ），则有：Ｍ［ʏɕｙｆ（φ）ｄφ］＝Ｍ（ｓ＋１）ｓ成立，由此推出：Ｍ［ʏɕｙʏɕφｆ（η）ｄηｄφ］＝Ｍ（ｓ＋２）（ｓ＋１）ｓ成立．令Ｕ（ｙ）＝ʏɕｙʏɕφＦ２（η）ｄηｄφ，由Ｍ［Ｆ２（ｙ）］＝（ｓ－１）Ｈ（ｓ）得到Ｍ［Ｕ（ｙ）］＝（ｓ＋２－１）Ｈ（ｓ＋２）（ｓ＋１）ｓ＝１ｓＨ（ｓ＋２），由（９）式ｙ≫４ｘ２，即σ＝１－１ｌｎｙ＞０，因而｜Ｍ［Ｕ（ｙ）］｜＝１σ＋ｉｔＨ（２＋σ＋ｉｔ）ɤðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）ｄσ１σ＋ｉｔ＝１σ２＋ｔ２ðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）ｄσ＜＋ɕ绝对收敛．即有：Ｕ（ｙ）＝１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕＭ［Ｕ（ｙ）］ｙ－ｓｄｓ＝１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）１ｓｄｙ()ｓｄｓ，根据Ｍｅｌｌｉｎ变换表（文献［８］５８２页）有１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕ１ｓαｙ()ｓｄｓ＝１（ｙ＜α），０（ｙ＞α），{（σ＞０）由（９）式得ｙ＞４ｘ２＞ｄ，ʑＵ（ｙ）＝０，即可得到ｈ２（ｘ，Ｐｊ）的各项积分均为０，ʑｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝０．又Ｆ１（ｙ）满足引理４的条件，由（５）式有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ｈ１（ｘ，Ｐｊ）ɤＯʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６Ｐｊｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙｄｙｄｑæèçöø÷＝Ｏｌｎ２ＰｊʏＴ６Ｔ６Ｐｊｌｎｌｎｑ＋ｘ６Ｐｊ()ｌｎｑ－ｘ６Ｐｊ()ｄｑæèçççöø÷÷÷＝Ｏｘｌｎ２ＰｊＰｊʏＴ６Ｔ６Ｐｊｄｑｑｌｎｑæèçöø÷＝Ｏｘｌｎ２ＰｊＰｊｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６Ｐｊæèçççöø÷÷÷＝Ｏｘｌｎ３ＰｊＰｊｌｎＴæèçöø÷＝Ｏｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊæèçöø÷．注１：上式中，ｌｎｌｎｑ＋ｘ６Ｐｊ()ｌｎｑ－ｘ６Ｐｊ()＝ｌｎｌｎｑ＋ｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()ｌｎｑ＋ｌｎ１－ｘ６ｑＰｊ()＝Ｏｌｎ１＋１ｌｎｑｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()()()＝Ｏ１ｌｎｑｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()()＝Ｏ１ｌｎｑ㊃ｘ６ｑＰｊ()＝ＯｘＰｊｑｌｎｑ()．注２：上式中，ｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６ｑＰｊ＝ｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６＋ｌｎ１Ｐｊ＝ｌｎ１１－ｌｎＰｊｌｎＴ６＝Ｏｌｎ１＋ｌｎＰｊｌｎＴ６æèççöø÷÷æèççöø÷÷＝ＯｌｎＰｊｌｎＴæèçöø÷．最后一步用到（８）式，综上即得到引理．证毕．四㊁函数Ｇ（ｕ）的性质引理６若Ｇ（ｕ）满足方程Ｇ（ｕ）＝１ｕ２，㊀㊀㊀㊀㊀㊀１ɤｕɤ２，㊀㊀㊀㊀（１０）（ｕ２Ｇ（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ（ｕ－１），ｕ＞２，（１１）{则Ｇ（ｕ）为连续函数，对于任意ｕȡ１，恒有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１．证：令Ｇ（ｕ）＝Ｇ１（ｕ）＋Ｇ２（ｕ），其中Ｇ１（ｕ），Ｇ２（ｕ）满足方程：Ｇ１（ｕ）＝１ｕ２，Ｇ２（ｕ）＝０，㊀１ɤｕɤ２，（ｕ２Ｇ１（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ２（ｕ－１），（ｕ２Ｇ２（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ１（ｕ－１），ｕ＞２，{解之即知Ｇ１（ｕ），Ｇ２（ｕ）均为连续函数，故Ｇ（ｕ）为连续函数．由（１０）式知，当１ɤｕɤ２时，有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１成立．用数学归纳法证明，当ｕ＞２时，也有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１．由（１１）式即得：ｕ２Ｇ（ｕ）－２２Ｇ（２）＝２ʏｕ２ｔＧ（ｔ－１）ｄｔɤ２ʏｕ２ｔｄｔ＝ｕ２－２２，ʑＧ（ｕ）ɤ１－３ｕ２ɤ１．又ｕ２Ｇ（ｕ）－２２Ｇ（２）＝２ʏｕ２ｔＧ（ｔ－１）ｄｔȡ１２ʏｕ２ｔｄｔ＝１４（ｕ２－２２）＝１４ｕ２－１，ʑＧ（ｕ）ȡ１４．证毕．五、定理的反证１．在假设基础上得到的结果（第二类误差值的计算）引理７㊀对于充分大的Ｎ，当ｙȡＮ时，假设恒有ω（ｙ）＜Ｃｙｌｎ２ｙ㊀（１２）成立，Ｃ＝０．３７，则当ｘ１２ȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，恒有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＜２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷成立，其中Ｐｊ＝ｘ１ｕ＋１，即ｕ＝ｌｎｘｌｎＰｊ－１．证：用数学归纳法证明．当Ｎ充分大，ＰｊȡＮ时，有Ｐｊȡｌｎ７Ｐｊ，故有ｘＰ２ｊｌｎ３ＰｊɤｘＰｊｌｎ４Ｐｊ．当ｘ１２ȡＰｊȡｘ１３（１ɤｕɤ２）时，由（１２）式，引理５，定义６及推论２有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）ɤＢ∗（ｘ，Ｐｊ）＋ＯｘＰ２ｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＝２ωｘＰｊ()－２ω（Ｐｊ－１）＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＜２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝２ＣｘＰｊ（ｌｎｘｕｕ＋１）２＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷，即知当１ɤｕɤ２时，Ｇ（ｕ）＝１ｕ２，引理成立．若ｘ１ｋ－１ȡＰｊȡｘ１ｋ，ｋȡ３（即ｋ－２ɤｕɤｋ－１），引理成立，则当ｘ１ｋȡＰｊȡｘ１ｋ＋１，ｋ－１ɤｕɤｋ时由引理５及推论２有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）ɤＢ∗（ｘ，Ｐｊ）＋ＯｘＰ２ｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＝２ðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＢｘＰｊ，Ｐｉ()＋２ωｘＰｊ()－２ωｘＰｊ()１２()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷．此处着重说明：在以上递推计算中每项都有一个差式，如记作ω＋ｉ－ω－ｉ，易见对于每个差式，恒有ω＋ｉȡω－ｉȡω（Ｐｊ），故参加递推和式计算之ω（ｔ）均符合引理假设的条件，即：ωｘＰｊ()ȡω（ｔ）ȡω（Ｐｊ）ȡω（ｌｎｘ）ȡω（Ｎ）．又ｘ１ｋ＋１ɤＰｊ，ʑｘɤＰｋ＋１ｊ，即有ｘＰｊ()１ｋɤＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２．因而可由已知递推得：Ｂ（ｘ，Ｐｉ）＜４ＣðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＧｌｎｘＰｊｌｎＰｉ－１æèççöø÷÷ｘＰｊＰｉｌｎ２Ｐｉ＋ＯðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２２ｘＰｊＰｉｌｎ３Ｐｉæèçöø÷＋２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷，（１３）用Ａｂｅｌ恒等式计算：Ω＝ðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＧｌｎｘＰｊｌｎＰｉ－１æèççöø÷÷１Ｐｉｌｎ２Ｐｉ，在文献［１］第三章ɦ１引理２中取Ａ（ｔ）＝ðＰɤｔｌｎＰＰ，当ｔȡＰｊȡｌｎｘ充分大时，由文献［１］第四章命题（Ｃ）式有：Ａ（ｔ）＝ðｎɤｔΛ（ｎ）ｎ－ðｍȡ２ðＰɤｔ１ｍｌｎＰＰｍ＝ｌｎｔ－γ＋Ｏ（１）－Ｅ（ｔ），其中γ为Ｅｕｌｅｒ常数，Ｅ（ｔ）＝ðｍȡ２ðＰｌｎＰＰｍ－ðｍȡ２ðＰ＞ｔ１ｍｌｎＰＰｍ＝α１＋Ｏʏɕｔｌｎｑｑ２ｄｑæèçöø÷＝α１＋Ｏｌｎｔｔæèçöø÷＝α１＋Ｏ（１），ʑＡ（ｔ）＝ｌｎｔ－α＋Ｏ（１），ȵα１，γ均为与ｔ无关的常数，ʑα亦为与ｔ无关之常数．令Ｈ（ｔ）＝ｌｎｔ，ｒ（ｔ）＝－α＋Ｏ（１），ｆ（ｔ）＝ＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷１ｌｎ３ｔ．ȵＨ（ｔ）连续可微，及１４ɤＧ（ｕ）ɤ１，由文献［１］第三章ɦ１引理２即可得到：Ω＝ʏｘＰｊ()１２ＰｊＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷ｄｔｔｌｎ３ｔ＋ＲｘＰｊ()１２，Ｐｊ()其中ＲｘＰｊ()１２，Ｐｊ()＝ｒｘＰｊ()１２()ｆｘＰｊ()１２()－ｒ（Ｐｊ）ｆ（Ｐｊ）－ʏｘＰｊ()１２Ｐｊｒ（ｔ）ｆᶄ（ｔ）ｄｔ＝ＯｆｘＰｊ()１２()＋Ｏ（ｆ（Ｐｊ））＋ＯʏｘＰｊ()１２Ｐｊｆᶄ（ｔ）ｄｔ()＝Ｏ１ｌｎ３Ｐｊæèçöø÷．故由（１３）式即有：Ｂ（ｘ，Ｐｉ）＜４ＣｘＰｊʏｘＰｊ()１２ＰｊＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷ｄｔｔｌｎ３ｔ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊʏｘＰｊ()１２Ｐｊ２ｔｌｎ４ｔæèçöø÷ｄｔ＋２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝４ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()ʏｘｕ２（ｕ＋１）ｘ１ｕ＋１ＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷㊃ｌｎｘＰｊｌｎｔæèççöø÷÷３ｄｌｎｔｌｎｘＰｊæèççöø÷÷＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊʏ１２ｌｎｘＰｊｌｎＰｊ２τ４ｄτæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｉæèçöø÷＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊʏｕ２２βＧ（β－１）ｄβ＋Ｏ２ｘ３Ｐｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ［β２Ｇ（β）］ｕ２＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＝２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷，其中２２Ｇ（２）＝１，故引理亦成立．证毕．２．由正态分布及其误差值计算所得到的结果引理８㊀当１００ｌｎｘȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＞０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ．证：由引理１即可得到：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｍ｜Ｚｊ－１ｎ｜Ｚｊ－１μ（ｍｎ）２ｘ６Ｐｊｍｎ＋Ｏ（３ｊ）＝ｘ３Ｐｊðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄ＋Ｏ（３ｊ）＝ｘ３ＰｊᵑＰ｜Ｚｊ－１１－２Ｐ()＋Ｏ（３ｊ）（参见文献［３］１５页）ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－２Ｐ()＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１（Ｐ－１）２Ｐ２ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ（Ｐ－２）（Ｐ－１）２＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ()２ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷，由Ｍｅｒｔｅｎｓ公式（文献［２］第七章ɦ３）有ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ()＝３㊃（２－１）（３－１）２㊃３ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ＝３ｅ－ｒｌｎＰｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()，又１＞ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＞ᵑＰ１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＞（３２－１）ᵑ（Ｐ２－１）３２ᵑＰ２＝４３（２２－１）（３２－１）ᵑ（Ｐ２－１）２２㊃３２ᵑＰ２éëêêùûúú＝４３ðɕｎ＝１１ｎ２æèçöø÷－１＝４３π２６()－１＝８π２＞０．８１．由素数定理，当ｌｎｘ充分大时，有ｊɤ１．１ＰｊｌｎＰｊɤ１１０ｌｎｘｌｎｌｎｘ＜１２ｌｎｘ，ʑＯ（３ｊ）＝Ｏ（３１２ｌｎｘ）＝Ｏ（ｘｌｎ３２）＝Ｏ（ｘ０．６）．综上即得Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ｘ３Ｐｊ㊃９ｅ－２ｒｌｎ２Ｐｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()２㊃ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＋Ｏ（ｘ０．６）＞３ｅ－２ｒ（１－０．０１）２０．８１ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋Ｏ（ｘ０．６）＞０．７５０７ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋Ｏ（ｘ０．６）＞０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ，证毕．三㊁结㊀论当１００ｌｎｘȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，由引理７又有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＜２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷ɤ２ＣｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＜（２Ｃ＋ε）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＜０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ，这就与引理８的结果相矛盾，因此引理７的假设不能成立．因引理７计算中的ω（ｔ）均为：ω（ｘ）ȡω（ｔ）ȡω（ｌｎｘ）ȡω（Ｎ），故可推出至少存在一点ξ，ｘȡξȡｌｎｘ，有：ω（ξ）ȡ０．３７ξｌｎ２ξ成立．故有：ω（［ξ］）＝ω（ξ）ȡ０．３７ξｌｎ２ξȡ０．３７［ξ］ｌｎ２［ξ］．（１４）即可推出在［Ｎ，ｅＮ］之间至少有一个整数点ｍ１使（１４）式成立，同样在［ｍ１，ｅｍ１］之间至少有一个整数点ｍ２使（１４）式成立，如此等等，依次类推，就证明了定理的真实性．由上述我们立即可以得到一个简单的推论：对于任意ｘȡＮ，总有：ω（ｘ）ȡ０．３７ｌｎｘ（ｌｎｌｎｘ）２成立．孪生素数猜想得证．定理证毕．ʌ参考文献ɔ［１］潘承洞，潘承彪．素数定理的初等证明［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９８８．［２］潘承洞，潘承彪．哥德巴赫猜想［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８１．［３］闵嗣鹤．数论的方法（上册）［Ｍ］，北京：科学出版社，１９８１．［４］闵嗣鹤，严士健．初等数论（第二版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８２．［５］［苏］Ａ．Ａ．卡拉楚巴著，潘承彪，张南岳译．解析数论基础（中译本）［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８４．［６］华罗庚．数论导引［Ｍ］．北京：科学出版社，１９７９．［７］Ｇ．Ｈ．哈代，Ｗ．Ｗ．洛戈辛斯基著，徐瑞云，王斯雷译．富里埃级数（中译本）［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９７８．［８］‘数学手册“编写组．数学手册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７９．［９］潘承洞．素数分布与哥德巴赫猜想［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社，１９７９．。
筛法100以内的孪生素数 c语言
筛法100以内的孪生素数 c语言在C语言中实现筛法求解100以内的孪生素数可以分为以下几个步骤：1. 首先，我们需要一个数组来标记每个数是素数还是合数。
我们可以使用一个长度为100的布尔数组来表示，数组中的每个元素表示对应的数字是否为素数。
初始化时将所有元素都设置为true，表示所有数都是素数。
2. 然后，我们需要实现素数筛法，可以使用埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）来找出100以内的所有素数。
该算法的基本思想是从2开始，将每个素数的倍数标记为合数，直到遍历完所有数。
最终未被标记的数即为素数。
3. 接下来，我们需要遍历筛选出的素数，找出其中的孪生素数。
孪生素数指的是相邻的两个素数之差为2的素数对，例如(3, 5), (11, 13), (17, 19)等。
下面是一个简单的C语言实现：c.#include <stdio.h>。
#include <stdbool.h>。
int main() {。
bool isPrime[100];for (int i = 2; i < 100; i++) {。
isPrime[i] = true;}。
for (int i = 2; i < 100; i++) {。
if (isPrime[i]) {。
for (int j = i 2; j < 100; j += i) {。
isPrime[j] = false;}。
}。
}。
printf("孪生素数，\n");for (int i = 2; i < 98; i++) {。
if (isPrime[i] && isPrime[i + 2]) {。
printf("(%d, %d)\n", i, i + 2); }。
}。
return 0;}。
在这段代码中，我们首先使用布尔数组isPrime来标记100以内的数是否为素数。
孪生素数有无穷多对的简单证明
孪生素数有无穷多对的简单证明大于1的正整数，如果仅有1和自身两个因子，则称它为素数，否则为合数，以p n表示第n个素数，例如，p1=2，p2=3，p3=5……p168=997，…。
令d n=P n+1-P n，则d1=1，d2=2…。
人们自然地提出一个问题，是不是有无穷多个d n=2？这是一个尚未解决的问题。
1、序号筛法Eratosthenes筛法即给定一个正整数x，把不超过x的一切正整数按大小关系排成一串，1，2，3，4，5，……x，记p x是不大于X1/2的最大素数，从上述数串中，首先划去1，然后逐项的划去。
22+2n32+3n52+5n……（n=1，2，3，4……）最后该数串留下的数都是素数，显然对任何给定的正整数串，用上面的方法，也可以找出其中的素数。
令大写字母表示集合，N表示自然数集合，P表示所有素数的集合，P1表示从P中去掉2，3，后的集合，即P1={5，7，11，13，17，19……}对任何P∈P1，P的型式不为6K-1，就为6L+1，其中K，L为某个整数，对任何P∈P1，引入一个关联的伴生数，q，使得|p-q|=2，我们不妨约定，若p=6k-1，取q=6k+1，若p=6k+1，取q=6k-1，q可以是素数，也可以合数。
例如：p=5，7，11，13，17，19，23，29，31……q=7，5，13，11，19，17，25，31，29…令N0={0}UN={0。
1，2，3，4，5……}，对任何P∈P1记显然（p2-1）/6和（pq+1）/6都是整数，Lp、Sp、L及S都是N的子集，N与L、N与S的差集分别简记为。
引理1，若a∈L p，则6a-1为合数，若b∈S p，则6b-1为合数。
证明：对任何P∈P1，若a∈L P，则存在一个n∈N0。
使得a=(P2-1)/6+np；若n∈S p，则存在一个m∈N0，使得b=(pq+1)/6+mp，由此有等式6a+1=p （p+6n）及6b-1=p（q+6m）为合数。
孪生素数猜想、四胞胎素数猜想
素数、孪生素数、四胞胎素数无限的初等证明齐宸一、素数个数无限证明假设P是自然数中最大的素数，并用M1表示P内的素数个数。
按此假设在区间P—2P内素数个数M2=0。
只要证明M2>0，则素数无限（P—2P区间不含P）。
素数只能被自己和“1”整除。
故XY（X>1,Y>1）计算出的数字一定是全体合数，且可以向右、向下排列成双向等差数列形式。
而且实质上这个双向等差数列只是由4、6、6、9这4个数字决定的。
如图所示：将计算结果与自然数对应后形成下图，图中蓝色部分是20以内的素数产生过程。
自第1行到第9行共9个等差数列决定了20以内的素数。
自第1行到第19行共19个等差数列决定了40以内的素数。
如何通过决定20以内素数个数的前9个等差数列得到21-40之间的素数个数呢？前文说XY计算结果形成的是向右、向下的双向等差数列。
当Y值固定时的计算结果就是向下的等差数列，如下图所示中的黄色数字部分：上图中第10-19个横向的等差数列，实质上也是向下等差数列的一部分。
将这两个等差数列横向放置，如下图所示：这样这11个等差数列既可以决定20以内素数位置也可以决定21-40之间素数位置。
在这11个等差数列上取1-20及21-40两区间，按照容斥原理分别计算20以内及21-40之间的不同元素个数。
因两区间的长度相同、数列相同，则不同元素个数大致相同。
证明：假设P是自然数中最大的素数，并用M1表示P内的素数个数。
按此假设在P—2P区间内素数个数M2=0（P—2P区间不含P）。
因为决定1—P以及P—2P区间素数个数的等差数列是相同的。
按照容斥原理这两区间数列相同、长度相同，则含有的不同元素个数大致相同（这些不同元素全部不是素数，而除此之外的数字全部是素数）。
故两区间的素数个数也会非常相近，这样就有M1≈M2。
M1是P之内的素数个数，显然M1≠0，故假设M2=0就是不正确的。
M2是一个大于0且接近M1的数字。
因此假设不正确。
一组新的孪生素数与哥德巴赫猜想筛函数
第 ７卷
第 ５期
பைடு நூலகம்
株 洲 师 范高 等 专 科 学 校 学 报
ＪＯ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｚ Ｈ Ｕ Ｚ Ｈ Ｏ Ｕ Ｔ Ｅ Ａ Ｃ Ｈ Ｅ Ｒ Ｓ Ｃ Ｏ Ｌ Ｌ Ｅ Ｇ Ｅ
ＶｏＩ ７ Ｎ Ｏ ５ ． ．
０ｃ ． ０ ｔ ２ ０２
研 究提 供一 条新 的 思路 ．
关 键 词 ： 生 素 数 ； ｌｂ ｃ 孪 Ｇｏｄ ａ ｈ猜 想 ； 法 ； 函 数 ； 较 筛 法 ； 筛子 ” 筛 筛 比 “
中 图 分 类 号 ： ５ Ｏ１ ６ 文 献 标 标 识 码 文 章 编 号 ： ０ ９ １ ３ （ ０ ２ ０ — ０ ３ —０ １０ — ４ ２２０ ）５ ０ ７ ３
收 稿 日期 ： ０ ２ Ｏ — ２ ２０一 １ ２
作 者 简 介 ： 国 一 （ ９ ３ ） 男 ， 南 茶 陵 人 ． 洲 市 二 中 高 级 教 师 ． 期 从 事 中 学 数 学 教 学 与 数 论 研 吕 １６一 ． 湖 株 长
究．
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ｏ ｔ ｄ ｉｇ ｔ ｅ ｐ ｏ ｌｍｓｏ ｈ ｒｍｅ ｔ ｎ ｎ ｌ ｂ ｅ Ｏ ｉｃｕ ｅ ｆｓｕ ｙｎ ｈ ｒ ｂｅ ｆｔ ｅ ｐ ｉ ｗｉｓａ ｄ Ｇｏｄ ａ ｈ Ｃ ｎ ｅ ｔ ｒ ．
Ｋｅ ｒ ｓ ｐ ｉ ｗｉｓ ｙｗｏｄ ： ｒｍｅｔ ｎ ；Ｇｏｄｂ ｃ ｏ ｊ ｃｕ ｅ ｉｖ ｔ ｏ ｌ ａ ｈｃ ｎ ｅ ｔ ｒ ；ｓｅ ｅｍｅ ｈ ｄ；ｓｅ ｅｆ ｎ ｔ ｎ； ｏ ｐ ｒ ｔｖ ｉｖ ｅｈ ｄ； ｉｖ ｉｖ ｕ ｃ ｉ ｃ ｍ ａ ａ ｉｅｓｅ ｅｍ ｔ ｏ ｓｅ ｅ ｏ
Ａ ｏ ｐ ｗ ｅ ｅ Ｆｕ ｔｏｎ ｆ ｔ ｉ ｅ Ｔｗ ｉ ｓ ａ Ｇｒ ｕ ｏｆ Ｎｅ Ｓｉ ｖ ｎｃ ｉ ｓ ｏ ｈｅ Ｐｒ ｍ ｎ ｎｄ
双筛法在计算中的应用
i
m
∪A
i =1 m
m
就表示不大于 n 的后部孪生素数的个数。
∪ Ai = n − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 i =1 i< j
m
m
i< j <k
∑
m
Ai ∩ A j ∩ Ak +
+ ( −1)
m
∩A
i =1
m
i
又因为
⎡ n − xij ⎤ ⎡ n − xi ⎤ Ai = ⎢ ⎥ ⎥ ， Ai ∩ A j = ⎢ ⎢ ⎣ pi ⎦ ⎣ pi p j ⎥ ⎦
m m
⎡ ⎢ m n− y + ( −1) ⎢ m 12 ⎢ ∏ pi ⎢ ⎣ i =1
⎤ ⎥ i ⎥ +T ⎥ ⎥ ⎦
(
n + 2 +1− m
)
当不超过 n 的素数的个数已知时
T ( n) = ∑ ⎡ ⎣π ( pk +1 + 2 ) − π ( pk +1 ) ⎤ ⎦, pk +1为奇素数,q=π ( n ) -1,n ≥ 4。
T ( n) = ∑ ⎡ ⎣π ( pk +1 + 2 ) − π ( pk +1 ) ⎤ ⎦, pk +1为奇素数,q=π ( n ) -1,n ≥ 4。
k =1
q
命题证毕。 例：n=7，前部素数的个数 m = π
(
7 + 2 = 2 ,前部孪生素数的个数 T
)
(
7 + 2 =1
)
x
⑴
1
≡ 0(mod 2); x 2 ≡ 0(mod 3), x 2 ≡ −2(mod 3); x12 ≡ 0(mod 6), x ≡ −2(mod 6);
孪生素数c语言
孪生素数c语言摘要：素数是数学上非常重要的数学概念，具有重要的应用意义。
本文以C/C ++为开发语言，讨论孪生素数的定义及其生成方法。
一、孪生素数定义孪生素数是指当两个质数p和q满足p=q+2时，p和q就称为孪生素数，孪生素数之间的距离为2。
二、孪生素数生成方法1、利用埃拉托斯特尼筛法生成素数埃拉托斯特尼筛法又被称为筛子算法。
在算法中，我们逐步筛出比给定数n小的所有质数，假定数n的范围在2和n之间，此法步骤如下：(1) 用2依次将2~n之间的各个整数划分为一个个不相交的互素集合，从最小的数2开始，2是第一个最小的质数。
(2) 取出未被筛去的最小的数，即最小的质数2，然后用2去筛，即把2的倍数，即4、6、8等都筛去，(5) 重复上述步骤，直到所有小于n的数都去完为止，剩余的数就是质数，如此可以得到2~n之间的所有质数。
2、利用素数对判断生成孪生素数素数对判断生成孪生素数其实就是在素数分布中查找孪生素数。
当我们从筛子算法中知道最小的质数2之后，每次可以枚举以此递增的质数，到满足p=q+2时，即可以判断p 和q为孪生素数。
三、实例让我们看看如何用C/C ++语言来实现孪生素数的生成。
// 声明素数数组int prime[MAX_NUMBER]；// 定义i、j、n变量int i,j,n;// 将数组初始化for(i=2;i<MAX_NUMBER;i++)prime[i]=1;// 开始筛选for(i=2;i<MAX_NUMBER;i++){if(prime[i]==1){j=i+2;if(j<MAX_NUMBER&&prime[j]==1)printf("<%d,%d>是孪生素数",i,j);}for (n = i+i; n<MAX_NUMBER; n += i)prime[n] = 0;}四、结论本文以C/C ++为开发语言，论述了当两个质数p满足p=q+2时，p和q称为孪生素数的定义及其生成的两种方法，即埃拉托斯特尼筛法和素数对判断生成孪生素数，并给出了具体的实例代码，相信能够为学友们认识和学习孪生素数带来一定帮助。
孪生素数证明
孪生素数证明摘要：一、引言- 介绍孪生素数的概念- 孪生素数猜想的历史背景二、孪生素数猜想- 孪生素数的定义- 孪生素数猜想的内容- 相关数学理论三、孪生素数证明的发展- 素数计数函数的估计- 筛法与孪生素数证明的关系- 著名的孪生素数证明方法四、Goldston-Pintz-Yldrm证明- 证明的核心思路- 关键引理的证明过程- 对孪生素数猜想的重要贡献五、我国数学家在孪生素数证明方面的贡献- 张益唐教授的工作- 最近的研究进展六、结论- 孪生素数猜想的重要意义- 未来研究方向正文：一、引言孪生素数是指相差为2的素数对，如（3,5）、（11,13）等。
它们在数学中具有独特的地位，因为孪生素数猜想认为，在无穷大的数列中，孪生素数的分布密度会趋近于无穷。
孪生素数猜想自20世纪初提出以来，一直是数论领域的一个著名未解问题。
二、孪生素数猜想孪生素数猜想最初由美国数学家哥德巴赫于1742年提出。
孪生素数猜想认为，存在无穷多对相差为2的素数，即对于任意正整数n，总可以找到一个素数p，使得p与n的差为2。
虽然这个猜想经过数学家们的验证已经成立了许多特定范围的数列，但是对孪生素数猜想进行严格的证明仍然是一个未解决的挑战。
三、孪生素数证明的发展为了证明孪生素数猜想，数学家们发展了许多数学理论。
其中，素数计数函数的估计和筛法是两个重要的工具。
素数计数函数用于描述给定范围内素数的数量，而筛法是一种有效的计算素数的方法。
四、Goldston-Pintz-Yldrm证明2005年，美国数学家Goldston、Pintz和土耳其数学家Yldrm共同提出了一种新的孪生素数证明方法。
他们的证明基于对素数计数函数的改进估计，结合了三角和估计和Ramanujan级数。
通过这一系列复杂数学操作，他们证明了存在无穷多对相差为2的素数。
五、我国数学家在孪生素数证明方面的贡献我国数学家在孪生素数证明方面也取得了突破性进展。
2013年，张益唐教授独立提出了一个关于素数分布的定理，为孪生素数猜想提供了新的启示。
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孪生素数筛法
齐宸
首先研究一下个位为3的合数。
要想两数相乘的结果个位为3，这两数字的个位有且只有两种组合1、3或7、9。
自然数(10k+1)乘以自然数(10i+3)，可以利用初中数学将其转化为10[(10i+3)k+i]+3形式。
去个位后转换为(10i+3)k+i。
同法可得个位为1、3、7、9全部无个位合数公式，结果如下: 个位为1：(10i+1)k+i、(10i+3)k+7i+2、(10i+9)k+9i+8
个位为3：(10i+3)k+i、(10i+7)k+9i+6
个位为7：(10i+7)k+i、(10i+3)k+9i+2
个位为9：(10i+9)k+i、(10i+3)k+3i、(10i+7)k+7i+4
这里的关键是去掉个位。
显然个位为1的无个位合数公式可以求得所有个位为1的合数，计算结果中没有的数字必是个位为1的素数，也就说可以筛出所有个位为1的素数。
这实际上就是个位为1的素数筛法。
同样个位1和个位为3的5组无个位合数公式合用，可以计算得到所有个位为1和个位为3的合数，也就等同于得到了任意一个自然数内所有个位为1和3的非孪生素数。
而剩余数字全部是孪生素数。
此时的非孪生素数与孪生素数不是2个数字，全部是一个数字。
比如个位1和个位为3的5组无个位合数公式合用能计算出10以下9个数字中的6个数字，分别是2、3、5、6、8、9，这些无个位数字分别填上个位数字1、3后变成两个数字，如2变成21-23显然这组不是孪生素数。
同样，31-33、51-53、61-63、81-83、91-93也不是孪生素数。
而计算结果中没有的数字1、4、7，这3个数字填上个位1和3后分别变成了11-13、41-43、71-73，全部是孪生素数。
这种方法实质上就是孪生素数筛法。
当然仅是个位为1和3的这类孪生素数。
（17-19和29-31这样类型的孪生素数变换公式后也可求出）。
这里有三个新观点：
1、孪生素数可以用一个数字指代。
如用1指代孪生素数11-13，用4指代孪生素数41-43。
相反的如2、3是非孪生素，分别对应的是21-23和31-33。
2、孪生素数存在补集：非孪生素数。
如个位为1、3的孪生素数在9内孪生素数有1、4、7而其补集非孪生素数是：2、3、5、6、8、9。
3、孪生素数存在筛法，可以通过筛法求孪生素数。