72定积分存在的条件

又因为 所以
2016/10/5
s(T '') S (T '') s(T ) s(T '') S (T '') S (T ')
13
第一式得证，同理可证第二式.
上积分和下积分 : 设函数 f ( x) 在区间 [ a , b ] 上有界 . 由以上定理 3 ， s(T ) 有上 界 ， S (T ) 有下界 .因此它们分别有上确界 和下确界.
6
2.达布和的性质 定理１在原有的分割T中加入新的分点， 则 上和不增，下和不减． 即，在原有分割T中加入新的分点后得 新分割T’，它对应的上和与下和分别记为
S (T ' ' )及s '(T '),
则s(T ) s '(T '), S '(T ') S (T ),.
2016/10/5
7
【证】 我们不妨只讨论在分法 T 的分点 中再加进一个分点 x 的情况.
__
S (T )
s (T )
S (T ) S (T ) p(M m) T s (T ) s(T ) + p ( M m) T
__
__
.
,
证 设 T1 是只在 T 中第 i 个区间 [ xi 1 , xi ]
内加上一个新分点
[ xi 1 , x ]
x
所成的分法, 分别设
__
S (T )
__
p ( M m) T
S (T ) <
__
b
a


2
,
即
b T S (T ) p ( M m) < a 2 , __ b p ( M m) T S ( T ) 亦即 a < 2
)
.
于是取 2 p(M m) ,
( 可设 M m , 否则 f ( x) 为
定义 记 a
a
b
__
S (T ) f ( x)dx inf T
T
.
,
f ( x)dx sup s(T )
b
b
b
分别称 a 和 a 为函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的上 积分和下积分.
2016/10/5 14
定理 4（Darboux 定理） 设函数 f ( x) 在区间 [ a , b ] 上有界,
第二节 定积分存在的条件
一、定积分存在的充分必要条件
二、可积函数类
2016/10/5
1
一、定积分存在的充分必要条件
要判断一个函数是否可积?但由于积分和 的不确定性和那个极限常数不易预知，因此 这是极其困难的． 下面即将给出的可积准则,将不确定性过 渡到相对确定性,且只与被积函数本身有关， 而不涉及定积分的值．
i 1 i 1 n n
同理可证, s(T ) M (b a).
即，上和必有下界,下和必有上界．
2016/10/5 11
定理３对于任意两个分割T与T’，有
S '(T ') s(T ), S (T ) s '(T ').
任一分割T 的下和都不超过另一分割T’的 上和, 任一分割T 的上和都不小于另一分割T’的 下和．
I|

24
| S (T ) f (i ) xi | +
| f (i )xi I | < + = . 2 2
lim 此即 T 0 S (T ) = I .由达布定理 , a =
同理可证
__
b
I
.

b
a
=
b
I.
b
b
a
=
__

b
a
__
.
) 对任何分法 T , 有 s(T ) (T ) S (T ) , 而
lim s(T ) = b a T 0
__
f ( x)dx ,
f ( x)dx .
__
证 （只证第一式), 要证 : 0 , 0 ,
使当 T 时有， 0 S (T )
2016/10/5

b a
.
19
0 S (T ) a 是 显 然 的 . 因 此 只 证
类似可证第二式.
2016/10/5 17
推论 设分法 T 有 p 个分点， 则对任何分法 T ，有
S (T ) p(M m) || T || S (T ),
s(T ) p(M m) || T || s(T ).
证 S (T ) p(M m) || T || S (T T ) S (T )
.达布上和的证
明与此类似，这里从略.
2016/10/5
10
定理２对任意分割T，都有
S (T ) m(b a), s(T ) M (b a).
这里M,m分别表示f(x)在[a,b]的上确界和下 确界． 证 显然有, mi M , M i m, 于是
S (T ) M i xi mxi m(b a );
( x xk 1 ) mk ( xk x) mk
inf 其中 mk
xk 1 x x
f x
，
inf mk
x x xk
f x
.
, xk ] [ x ] [ x , x k 1 由于 与 都是 [ xk 1 , xk ] 的子区间， 从
f x
i 1 i
n
i
S T .
2016/10/5
5
与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与 点集 i 无关．由不等式(1)，就能通过讨论上和 与下和当 T 可积．
所以，可积性理论总是从上和与下和入手．
0 时的极限来揭示 f
在 a, b 上是否
2016/10/5
常值函数 a =
2016/10/5
b
__
S (T ) 对任何分法 T 成立.)
21
对任何分法 T , 只要
T , 就有
0 S (T ) a
__
__
b
. 2 2
b lim 此即 T 0 S (T ) = a f ( x)dx .
2016/10/5
22
3.定积分存在的充分必要条件
2016/10/5
2
思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法 T 的“最大”和“最小”的两个“积分和” 去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分 和有极限, 且与分法 T 及介点 i 无关的条件 .
方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s(T ) . 研究它们的性质和 当 T 0 时有相同极限的充要条件 .
b
a
f ( x)dx lim M i xi lim mi xi f ( x)dx
b ||T || 0 i 1 ||T || 0 i 1 a
n
n
其中： M sup{ f ( x) : x x x } i i 1 i
b____来自S (T ) b a
.)
b a
,

inf S (T ) , 对 0 , T T
使 S (T ) <
__
__

b
a


2
,
*)
设 T 有 p 个分点,
__
对任意分割T,由性质的推论有
S (T )
p ( M m) T
S (T ) ,
20
2016/10/5
x x x x x x k k 1 k k 1 设 加在 与 之间，于是
S ( ) 仅在这个地方不同 S ( ) 显然 与
S ( ) 中对应于区间 [ xk 1 , xk ] 的项是
mk xk mk ( xk xk 1 )
2016/10/5 8
而 S () 中对应于这个区间是两项之和
T 是区间 [ a , b ] 的分法 . 则有
lim S (T ) = a T 0
lim s(T ) = b a T 0
__
b
f ( x)dx ,
f ( x)dx .
为了证明达布定理,先介绍下面性质(证 式中提炼出,为方便)
2016/10/5 15
性质 设 T 是 T 添加 p 个新分点的加细. 则有
2016/10/5
12
【证】 将区间［a,b］的分法 T 与 T′的分点合在 一起，得到[a,b]的一个新分法 T '' ，可以认为 T '' 是由 T 的分点增加 T ' 的分点所构成的分法，当然也可以认 为 T '' 是由 T ' 的分点增加 T 的分点所构成的分法。根 据性质 2，有 s(T ) s(T ''), S (T '') S (T ')
记
M
i
sup{ f ( x ) | x [ x
i1
, xi ]} ，
m i i n f { f ( x ) | x [ x i 1 , x i ] } ,

i

x
i

n
x
i 1
, i 1, 2 ,
, n
作和式
2016/10/5
S


M
i1
i
xi, s

n
i1
m m m m k k k k 而 ， ，于是
2016/10/5
9
mk xk mk ( xk xk 1 ) mk ( xk x) mk ( x xk 1 )

( xk x) mk ( x xk 1 ) mk
S ( ) S ( ) 由此推知
定理５（定积分存在的第一充分必要条件） 函数 f(x)在［a,b］上可积的充分必要条 件是：
b b

a


a
f ( x) R [ a , b ]
证
2016/10/5
) 设

a
b

i
b
a
=

b
a
.
f ( x ) dx
i
=I ,
.
则有
23
lim
T 0
f ( x )x = I
即对 0 , 0 , 使当 T 时有 | f ( xi )xi I |< 2 对 i xi 成立.
lim s(T ) = T 0 a
b
b
= a = lim T 0
S (T ) .
令 a 和 a 的共值为 I ,由双逼原理

2016/10/5
lim
T 0
(T ) I
=
.
25
Riemann可积的第一充要条件
xi-1 xi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积


(M i M 1 )(x xi 1 ) (M i M 2 )(xi x)
(M m)(x xi1 ) (M m)(xi x) (M m)(xi xi1 )
(M m) T
添加 p 个新分点可视为依次添加一个分点 进行 p 次. 即证得第一式.
2016/10/5 3
__
1． 达布(Darboux 法国数学家)和的定义： 设 f(x)在[a,b]上有界，作[a,b]的任意分割 T， 即在[a,b]中任意插入 n-1 个分点：
a x 0 x1 x
2
x
n
b,
把[a,b]分成 n 个小区间，
[ x i1 , x i ] , ( i 1, 2 , n ) ,
m i xi ,
4
和式:
S T M i xi , sT mi xi ,
i 1 i 1 n n
分别称为 f 关于分割 T 的上和与下和 ( 或称达 布上 和与达布 下和，统 称达布和 )． 任给
i i , i 1,2,, n, ，显然有
sT
s(T ) p(M m) || T || s(T T ) s(T )
显然得证.
2016/10/5 18
定理 4（Darboux 定理） 设函数 f ( x) 在区间 [ a , b ] 上有界,
T 是区间 [ a , b ] 的分法 . 则有
lim S (T ) = b a T 0
在每个
__
[ xi 1 , xi ] 上取 i
,
使
0 Mi
f (i ) 2(b a ) ,
于是,
| S (T ) f (i ) xi | = ( M i f (i )) xi < . 2
因此,
__
2016/10/5
T 时有
|
__
S (T )
M 2 sup f ( x) ,
[ x , xi ]
M 1 sup f ( x) ,
M i sup f ( x) .
[ xi 1 , xi ]
显然有 m M 和 M
1
2
Mi M
.于是
16
2016/10/5
0 S (T ) S (T1 ) M i ( xi xi1 ) M 1 ( x xi1 ) M 2 (xi x)