72定积分存在的条件

又因为 所以
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s(T '') S (T '') s(T ) s(T '') S (T '') S (T ')
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第一式得证，同理可证第二式.
上积分和下积分 : 设函数 f ( x) 在区间 [ a , b ] 上有界 . 由以上定理 3 ， s(T ) 有上 界 ， S (T ) 有下界 .因此它们分别有上确界 和下确界.
6
2.达布和的性质 定理１在原有的分割T中加入新的分点， 则 上和不增，下和不减． 即，在原有分割T中加入新的分点后得 新分割T’，它对应的上和与下和分别记为
S (T ' ' )及s '(T '),
则s(T ) s '(T '), S '(T ') S (T ),.
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【证】 我们不妨只讨论在分法 T 的分点 中再加进一个分点 x 的情况.
__
S (T )
s (T )
S (T ) S (T ) p(M m) T s (T ) s(T ) + p ( M m) T
__
__
.
,
证 设 T1 是只在 T 中第 i 个区间 [ xi 1 , xi ]
内加上一个新分点
[ xi 1 , x ]
x
所成的分法, 分别设
__
S (T )
__
p ( M m) T
S (T ) <
__
b
a


2
,
即
b T S (T ) p ( M m) < a 2 , __ b p ( M m) T S ( T ) 亦即 a < 2
)
.
于是取 2 p(M m) ,
( 可设 M m , 否则 f ( x) 为
定义 记 a
a
b
__
S (T ) f ( x)dx inf T
T
.
,
f ( x)dx sup s(T )
b
b
b
分别称 a 和 a 为函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的上 积分和下积分.
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定理 4（Darboux 定理） 设函数 f ( x) 在区间 [ a , b ] 上有界,
第二节 定积分存在的条件
一、定积分存在的充分必要条件
二、可积函数类
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一、定积分存在的充分必要条件
要判断一个函数是否可积?但由于积分和 的不确定性和那个极限常数不易预知，因此 这是极其困难的． 下面即将给出的可积准则,将不确定性过 渡到相对确定性,且只与被积函数本身有关， 而不涉及定积分的值．
i 1 i 1 n n
同理可证, s(T ) M (b a).
即，上和必有下界,下和必有上界．
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定理３对于任意两个分割T与T’，有
S '(T ') s(T ), S (T ) s '(T ').
任一分割T 的下和都不超过另一分割T’的 上和, 任一分割T 的上和都不小于另一分割T’的 下和．
I|

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| S (T ) f (i ) xi | +
| f (i )xi I | < + = . 2 2
lim 此即 T 0 S (T ) = I .由达布定理 , a =
同理可证
__
b
I
.

b
a
=
b
I.
b
b
a
=
__

b
a
__
.
) 对任何分法 T , 有 s(T ) (T ) S (T ) , 而
lim s(T ) = b a T 0
__
f ( x)dx ,
f ( x)dx .
__
证 （只证第一式), 要证 : 0 , 0 ,
使当 T 时有， 0 S (T )
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b a
.
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0 S (T ) a 是 显 然 的 . 因 此 只 证
类似可证第二式.
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推论 设分法 T 有 p 个分点， 则对任何分法 T ，有
S (T ) p(M m) || T || S (T ),
s(T ) p(M m) || T || s(T ).
证 S (T ) p(M m) || T || S (T T ) S (T )
.达布上和的证
明与此类似，这里从略.
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定理２对任意分割T，都有
S (T ) m(b a), s(T ) M (b a).
这里M,m分别表示f(x)在[a,b]的上确界和下 确界． 证 显然有, mi M , M i m, 于是
S (T ) M i xi mxi m(b a );
( x xk 1 ) mk ( xk x) mk
inf 其中 mk
xk 1 x x
f x
，
inf mk
x x xk
f x
.
, xk ] [ x ] [ x , x k 1 由于 与 都是 [ xk 1 , xk ] 的子区间， 从
f x
i 1 i
n
i
S T .
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与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与 点集 i 无关．由不等式(1)，就能通过讨论上和 与下和当 T 可积．
所以，可积性理论总是从上和与下和入手．
0 时的极限来揭示 f
在 a, b 上是否
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常值函数 a =
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b
__
S (T ) 对任何分法 T 成立.)
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对任何分法 T , 只要
T , 就有
0 S (T ) a
__
__
b
. 2 2
b lim 此即 T 0 S (T ) = a f ( x)dx .
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3.定积分存在的充分必要条件
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思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法 T 的“最大”和“最小”的两个“积分和” 去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分 和有极限, 且与分法 T 及介点 i 无关的条件 .
方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s(T ) . 研究它们的性质和 当 T 0 时有相同极限的充要条件 .
b
a
f ( x)dx lim M i xi lim mi xi f ( x)dx
b ||T || 0 i 1 ||T || 0 i 1 a
n
n
其中： M sup{ f ( x) : x x x } i i 1 i
b____来自S (T ) b a
.)
b a
,

inf S (T ) , 对 0 , T T
使 S (T ) <
__
__

b
a


2
,
*)
设 T 有 p 个分点,
__
对任意分割T,由性质的推论有
S (T )
p ( M m) T
S (T ) ,
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x x x x x x k k 1 k k 1 设 加在 与 之间，于是
S ( ) 仅在这个地方不同 S ( ) 显然 与
S ( ) 中对应于区间 [ xk 1 , xk ] 的项是
mk xk mk ( xk xk 1 )
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而 S () 中对应于这个区间是两项之和
T 是区间 [ a , b ] 的分法 . 则有
lim S (T ) = a T 0
lim s(T ) = b a T 0
__
b
f ( x)dx ,
f ( x)dx .
为了证明达布定理,先介绍下面性质(证 式中提炼出,为方便)
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性质 设 T 是 T 添加 p 个新分点的加细. 则有
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【证】 将区间［a,b］的分法 T 与 T′的分点合在 一起，得到[a,b]的一个新分法 T '' ，可以认为 T '' 是由 T 的分点增加 T ' 的分点所构成的分法，当然也可以认 为 T '' 是由 T ' 的分点增加 T 的分点所构成的分法。根 据性质 2，有 s(T ) s(T ''), S (T '') S (T ')
记
M
i
sup{ f ( x ) | x [ x
i1
, xi ]} ，
m i i n f { f ( x ) | x [ x i 1 , x i ] } ,

i

x
i

n
x
i 1
, i 1, 2 ,
, n
作和式
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S


M
i1
i
xi, s

n
i1