五方阵的行列式

a11 L a1n
M
M
0
D = a n1 L a nn
1
b11 L b1n
O
M
M
1 bn1 L bnn
AO
E B
2020/5/1
显然，D = |A||B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ，… ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （j=1,2,…,n) , 有
A (aij ).
则 A 称为A的共轭矩阵。
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2.运算律
设 A 、B 为复矩阵，λ 为复数.
1) ABAB;
2) A A
3) ABAB.
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七、 可换矩阵及方阵多项式 1、可换矩阵 设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的。 例9 设
A11 21,Ba3 b2.
2020/5/1
a11b1n a12b2n L a1nbnn a21b1n a22b2n L a2nbnn LLLLLLLLLL an1b1n an2b2n L annbnn
AC D
E 0
其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj , 故 C = AB。
a11 a12 L a1n a11b11a12b21L a1nbn1 L a21 a22 L a2n a21b11a22b21L a2nbn1 L L L L L LLLLLLLLLL L
D=
an1 1
an2 0
L L
ann 0
an1b11an2b21L annbn1 L
0 1 L 0 0
LLLL
0 0 L 1
2 1
3 3 6
3A
0
3
3
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3 6 3
则 f (A) = A2－ 3A + 2E
3 2 5 3 3 6 2 0 0
21
1 3
1203
3 6
3300
2 0
02
2 5 1
1
2
1
.
2020/5/1
1 3 0
练习：
1.计算下列矩阵的乘积.
3 2
(1) 1 2 32;(2) 11 2; (3) x1
= BTAT + ATBT = －BA－AB = －（ AB + BA ） 所以， AB + BA 为 n 阶反对称矩阵。
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例8 设
1
1
2
,
1 2
3
1 3
令 A = αβT, 求 An 及| An|。
解
1
231,
1, 2
1 1323
1 2
1
3 2
1 3
2
3
1
2020/5/1
x2
a11 a12 a13x1
x3 a21 a22 a23x2.
1 3
a31 a32 a33x3
2.
设 P 1 A P ,其 中 P 1 1 1 4 ,
10 02 ,
求A.
2020/5/1
于是 x1 x2 x3 x1 2x2 3x3 2y1 2y2 2y3y1 2y2 3y3 3z1 3z2 3z3 z1 2z2 3z3
从而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 ,
2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 ,
3z = z , 2020/5/1 1
1
3z2 = 2z2 ,
即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 , 所以，与可交换的任一矩阵是
5 4
例10 设
1 0 0
A
0 0
2 0
0 3
求与 A 可交换的所有矩阵。
解设
x1 x2 x3
X
y1
y2
y
3
z1 z 2 z3
与 A 可 交 换 ， 即 有 2020/5/1
1 0 0x1 x2 x3 x1 x2 x31 0 0 0 2 0y1 y2 y3y1 y2 y30 2 0 0 0 3z1 z2 z3 z1 z2 z30 0 3
若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 。 解 由于 AB = BA ，即
2020/5/1
1 2a b a b1 2 1 13 23 21 1
即 a a 6 3
b4 ab b2 5
2ab
4பைடு நூலகம்
a 6
亦即ba
4 3
b 2
故 a = 2020/5/1 8 , b = 6 。
ab 2a b
五、方阵的 行列式 1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵A的行列式， 记作 |A| 或 detA 。
2020/5/1
2、运算律
1).AT A;
2).An A;
3).AB AB
2020/5/1
我们仅证明3），设A = (aij), B = (bij)。 记 2n 阶行列式
再对 D 的行作 rj ↔ rn+j （j = 1, 2, … , n ），有
D (1)n E
0 ,
AC
从而有
D = ( －1 )n|－E||C| = ( －1 )n( －1 )n| C | = | C | = | AB |。
于是
2020/5/1
| AB | = | A | | B |
例6：设A , B 均为 n 阶方阵
且
AA TE,BTBE,
A 1,
B
则AB0.
证 AB＝ AT B BAT A B
A(BTAT)B
A(AB)T B B2 AB
A B
故AB0. 2020/5/1
例7 设 A 是 n 阶反对称矩阵，
B 是 n 阶对称矩阵，则 AB + BA 是
n 阶反对称矩阵。 证 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T
a 0 0
0
b
0
0 0 c
其中 a ，b，c 为任意实数。
2020/5/1
2、方阵多项式
设有 n 阶矩阵 A 和多项式 f ( λ ) = amλm + am-1λm-1 + … + a1λ + a0
规定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + … + a1A + a0
称 f ( A ) 为方阵 A 的矩阵多项式。
例11 设有多项式 f (λ) = λ2－ 3λ + 2和矩阵
1 1 2
A
0
1
1
1 2 1
求矩阵多项式 f (A) 。
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解 因为
1 1 2 1 1 2 A2 0 1 10 1 1
1 2 1 1 2 1
3 2 5
1 2
1 3
An = ( αβT )n = αβTαβTαβT … αβT = 3n-1A
| An | = | 3n-1A | = (3n-1)n| A |
111 23
(3n1)n 2
1
2 3
3
3 2
1
=0
2020/5/1
六、共轭矩阵
1、定义
定义7 设A= ( a ij )为复矩阵，a ij
表示a ij 的共轭复数，记