高中数学《定积分》重点学案(详解)

高中数学《定积分》重点学案（详解）

【考情解读】

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．

2.了解微积分基本定理的含义.

【自主归纳，自我查验】

一、自主归纳

1．定积分

(1)定积分的相关概念：在

()dx x f b

a

⎰中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，

b]叫做积分区间， ()x f 叫做被积函数， x 叫做积分变量， ()dx x f 叫做被积式．

(2)定积分的几何意义

①当函数f(x)在区间[a ，b]上恒为正时，定积分

()dx x f b

a

⎰的几何意义是由直线x ＝a ，

x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．

②一般情况下，定积分

()dx x f b

a

⎰的几何意义是介于x 轴、曲线f(x)以及直线x ＝a ，x

＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． 定积分的基本性质： ①

()dx x kf b

a

⎰

= ()dx x f k b

a

⎰

②()()[]dx x f x f b a

⎰±2

1

= ()()dx x f dx x f b

a

b a

⎰⎰±2

1

③

()dx x f b

a

⎰

= ()dx x f c a

⎰+()dx x f b

c

⎰

2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么

()()()a F b F dx x f b

a

-=⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为

了方便，常把F(b)－F(a)记成

()b a

x F ，即

()()

()()a F b F x F dx x f b

a

b

a

-==⎰ ．

二、自我查验

1.

dx

x ⎰

4

2

1等于( )

A ．2ln 2

B ．－2ln 2

C ．－ln 2

D ．ln 2

2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t 2

－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )

A.176

B.143

C.136

D.116

3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2

所围成的曲边梯形的面积为________． 4．由y ＝1x ，直线y ＝－x ＋5

2所围成的封闭图形的面积为________

答案：1、 D 2、 A 3、

3

8

3

20

3

2

2

=

=

⎰

x dx x 4、2ln 2815ln 2521252

2

122

21-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎰x x x dx x x 【典型例题】

考点一 利用微积分基本定理求定积分

【规律方法】求定积分的一般步骤：

(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．

【例1】 1．利用微积分基本定理求下列定积分：

(1)()dx x x ⎰++2

12

12； (2)()dx x x ⎰-π

cos sin ；

31932123=++=x x x 2sin cos 0=--=πx x (3)dx e x

⎰2

1； (4)dx x ⎰2022

sin π

e

e e x -==221

4

2

2

sin 2cos 12

20

-=

-=-=⎰

ππ

π

x

x dx x

【变式训练1】求下列定积分：（1）()dx x x ⎰+2

01 （2）dx x x e

2

1

1⎰⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+ 3

142

32

2

3=

+=x x

2322ln 22122121-+=++=⎪⎭⎫ ⎝

⎛++=⎰e e x x x dx x x e

e

考点二 利用定积分求平面图形的面积

【规律方法】利用定积分求曲边梯形面积的步骤 (1)画出曲线的草图．

(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．

【例2】(2014·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )

A.103 B ．4 C.163

D ．6

【思路点拨】画出图形，确定积分区间，然后用积分求面积. 【精讲精析】选C. y x =

与2y x =-以及y 轴所围成的图形面积如图所示的阴影部分，

联立2y x y x ⎧=⎪⎨

=-⎪⎩得交点坐标为(4,2)，故所求面积为 3242

00

216(2)[(2)]|323x S x x dx x x =-=--=

⎰

.

【变式训练2】

1、若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？