第六章平面电磁波
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第六章 平面电磁波
一维电磁波，设电场仅为z的函数：
∂2Ex ∂z 2
−1 υ2
∂2Ex ∂t 2
=0
此方程的通解为
Ex ( z, t)
=
f
(t
−
z υ
)
+
f
(t
+
z υ
)
f ( t- z / v ) f ( t- z / v )
图 7-1 向+z方向传播的波
1
无界媒质中，一般没有反射波存在，只有单一行进方向的波。 假设平面波沿+z方向传播，只有Ex(z, t)分量，方程式的解
旋圆极化波 其它情况是椭圆极化波。
例1：试求下列均匀平面波的极化方式和传播方向。
(1) E = ex Em sin (ωt − kz ) + ey Em cos (ωt − kz )
(2) E = ex E0e− jkz − ey jE0e− jkz
(3)
E
=
ex
Em
sin
⎛⎜⎝ ωt
−
kz
+
π 4
入射波和反射波的形式
Ex
=
E e j(ωt−kz) 0
+
E e' j(ωt+kz) 0
自由空间：
∂Ex = ∂z
Ex
=
E e j(ωt−kz) 0
− jkE0e j(ωt−kz) = −μ
∂H ∂t
y
= − jωμH y
Hy =
E0
e = E e j(ωt−kz)
0 j(ωt−kz)
μ /ε
η
η具有阻抗的量纲，单位为欧姆(Ω)，与媒质参数有关，称为媒
电磁场与波6平面电磁波
结果
通过实验测量得到平面电磁波的传播 特性，包括波长、振幅、相位等参数 。
分析
对实验结果进行统计分析，研究平面 电磁波在不同介质中的传播规律，以 及影响因素。
实验结论与展望
结论
通过实验研究，验证了平面电磁波在特定条件下的传播特性，为电磁波的应用提供了理论支持。
展望
未来可以进一步研究平面电磁波在复杂环境下的传播特性，以及与其他电磁波的相互作用，为电磁波 的应用提供更深入的理论依据。
垂直偏振
电场矢量在垂直于传播方向的平面上呈现为垂直方向的振 动。
水平偏振
电场矢量在垂直于传播方向的平面上呈现为水平方向的振 动。
45度偏振
电场矢量在垂直于传播方向的平面上呈现为与水平方向成 45度角的振动。
02
平面电磁波的基本性 质
波动方程
波动方程是描述电磁波传播的偏微分 方程，其形式为▽²E + k²E = 0，其中 E是电场强度，k是波数，▽²表示拉普 拉斯算子。
04
平面电磁波的应用
无线通信
无线通信是平面电磁波最重要的应用之 一。通过无线电波的传输，人们可以实 现远距离的通信和信息传递。无线通信 技术广泛应用于移动电话、无线局域网、
广播和电视等领域。
无线通信系统通常包括发射器和接收器 无线通信技术的发展对于现代社会的信 两部分。发射器将信息转换为电磁波信 息化和全球化起到了重要的推动作用。 号并发送出去，而接收器则负责接收这 它使得人们可以随时随地地获取和传递
卫星通信
卫星通信是利用人造卫星作为中继站，实现地球上不同地点 之间的无线通信。卫星通信系统通过发射和接收无线电波信 号，实现语音、数据和视频等多种信息的传输。
卫星通信具有覆盖范围广、不受地形限制、传输距离远等优 点，因此在国际通信、电视广播、远程教育等领域得到广泛 应用。同时，卫星通信也是现代军事指挥、控制和通信系统 的重要组成部分。
通过实验测量得到平面电磁波的传播 特性，包括波长、振幅、相位等参数 。
分析
对实验结果进行统计分析，研究平面 电磁波在不同介质中的传播规律，以 及影响因素。
实验结论与展望
结论
通过实验研究，验证了平面电磁波在特定条件下的传播特性，为电磁波的应用提供了理论支持。
展望
未来可以进一步研究平面电磁波在复杂环境下的传播特性，以及与其他电磁波的相互作用，为电磁波 的应用提供更深入的理论依据。
垂直偏振
电场矢量在垂直于传播方向的平面上呈现为垂直方向的振 动。
水平偏振
电场矢量在垂直于传播方向的平面上呈现为水平方向的振 动。
45度偏振
电场矢量在垂直于传播方向的平面上呈现为与水平方向成 45度角的振动。
02
平面电磁波的基本性 质
波动方程
波动方程是描述电磁波传播的偏微分 方程，其形式为▽²E + k²E = 0，其中 E是电场强度，k是波数，▽²表示拉普 拉斯算子。
04
平面电磁波的应用
无线通信
无线通信是平面电磁波最重要的应用之 一。通过无线电波的传输，人们可以实 现远距离的通信和信息传递。无线通信 技术广泛应用于移动电话、无线局域网、
广播和电视等领域。
无线通信系统通常包括发射器和接收器 无线通信技术的发展对于现代社会的信 两部分。发射器将信息转换为电磁波信 息化和全球化起到了重要的推动作用。 号并发送出去，而接收器则负责接收这 它使得人们可以随时随地地获取和传递
卫星通信
卫星通信是利用人造卫星作为中继站，实现地球上不同地点 之间的无线通信。卫星通信系统通过发射和接收无线电波信 号，实现语音、数据和视频等多种信息的传输。
卫星通信具有覆盖范围广、不受地形限制、传输距离远等优 点，因此在国际通信、电视广播、远程教育等领域得到广泛 应用。同时，卫星通信也是现代军事指挥、控制和通信系统 的重要组成部分。
电磁场与电磁波第六章
R// ER 0 E I0 ET 0 EI0
1 H R 0 H R 0 1 cos 1 2 cos 2 1 H I 0 H I 0 1 cos 1 2 cos 2
(6-1-23)
T//
2 H T0 1 H I 0
2 2 cos 1 1 cos 1 2 cos 2
（6-1-1）
其中
k1 1 1 , k 2 2 2
入射波、反射波、折射波的电场矢量分别为
E I E I 0e j kI r , E R E R0e j kR r , ET ET 0 e j kT r
（6-1-2）
介质 1 中的总电场是入射波与反射波的叠加，即 E1= EI+ ER； 介质 2 中的仅为折射波，E2= ET 。 下面，根据电磁场的边界条件，由入射波的 kI和 EI0、HI0 来确定反射波和折射波的 kR、kT 以及 ER0、HR0、ET0、HT0。
第六章 平面电磁波的反射与折射
6.1.1 反射、折射定律
首先来确定反射波和折射波的波矢量方向。 由交界面 z = 0 处两侧的切向分量连续的边界条件和式
(6-1-2)，可得
j (k Ix x k Ix y ) j ( k Rx x k Ry y ) j ( k Tx x k Ty y )
只考虑 E 和 H 的切向分量边界条件即可。
6.1 电磁波的反射、折射规律
设介质 1 和介质 2 的交界面
为无穷大平面，界面法向沿 z 方 向，平面电磁波以入射角I 由介 质 1 射向介质 2，如图所示。
第六章 平面电磁波的反射与折射
入射波、反射波、折射波的波矢量分别为
k I ekI k1 , k R ekR k1 , kT ekT k 2
1 H R 0 H R 0 1 cos 1 2 cos 2 1 H I 0 H I 0 1 cos 1 2 cos 2
(6-1-23)
T//
2 H T0 1 H I 0
2 2 cos 1 1 cos 1 2 cos 2
（6-1-1）
其中
k1 1 1 , k 2 2 2
入射波、反射波、折射波的电场矢量分别为
E I E I 0e j kI r , E R E R0e j kR r , ET ET 0 e j kT r
（6-1-2）
介质 1 中的总电场是入射波与反射波的叠加，即 E1= EI+ ER； 介质 2 中的仅为折射波，E2= ET 。 下面，根据电磁场的边界条件，由入射波的 kI和 EI0、HI0 来确定反射波和折射波的 kR、kT 以及 ER0、HR0、ET0、HT0。
第六章 平面电磁波的反射与折射
6.1.1 反射、折射定律
首先来确定反射波和折射波的波矢量方向。 由交界面 z = 0 处两侧的切向分量连续的边界条件和式
(6-1-2)，可得
j (k Ix x k Ix y ) j ( k Rx x k Ry y ) j ( k Tx x k Ty y )
只考虑 E 和 H 的切向分量边界条件即可。
6.1 电磁波的反射、折射规律
设介质 1 和介质 2 的交界面
为无穷大平面，界面法向沿 z 方 向，平面电磁波以入射角I 由介 质 1 射向介质 2，如图所示。
第六章 平面电磁波的反射与折射
入射波、反射波、折射波的波矢量分别为
k I ekI k1 , k R ekR k1 , kT ekT k 2
第六章-平面波详解
E exEx ey Ey
两个分量可以表示成为
Ex
E e jkz jx xm
Ey
E e jkz jy ym
第六章 平面波
合成场矢量E可以写为
E ex Exme jkz jx ey Eyme jkz jy
瞬时值表达式分别为
Ex Exm cos(t kz x ) Ey Eym cos(t kz y ) E ex Exm cos(t kz x ) ey Eym cos(t kz y )
E2
1 4
E02e2az
第六章 平面波
平均磁能密度：
wav,m
1 4
H
2
1 4
E02
2
f
e2az
1 4
E02
e2
az
1 ( )2
总的平均能量密度：
wav
wav,e
wav,m
1 4
E02e2
z
1 4
E02e2
z
1 ( )2
1 4
E E
Ex2
E
2 y
Em
合成场矢量E与x轴正方向的夹角α为
arctan
Ey Ex
arctan
sin(t cos(t
x x
) )
(t
x
)
圆极化波有左旋和右旋之分，规定如下：
将大拇指指向电磁波的传播方向，其余四指指向电
第六章 平面波
场矢量E矢端的旋转方向，若符合右手螺旋关系，则 称之为右旋圆极化波；
第6章平面电磁波-精品
v 电场强度可表示为： Ea ˆxExa ˆyEy
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
根据麦克斯韦尔第二方程: EH
t
aˆx aˆy aˆz
v E 0
0
z
aˆx
Ey z
aˆy
Ex z
Ex Ey 0
Ey Hx
z
t
Ex Hy
1 2E vmH vm[cos(em)cos(2t2kzem)]
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
（3）平均坡印廷矢量
S vavT 10 TS vdt T 10 T1 2E vmH vm [cos(em)cos(2t2kzem)]dt
12E vmH vmcos(em)
度均相同，这种电磁波称为均匀平面波。
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
二、均匀平面波的特性
1.均匀平面波满足一维波动方程
r
从麦克斯韦方程出发： 在自由空间： Jc 0,v0
v H
v Jc
v
v D t
v E
B
v
t
D E B H
H
E
度为 E v 3 7 7 c o s ( 1 0 9 t 5 y ) a ˆ z V /m ，求(1)相对介电常数；(2)传播速度； (3)本质阻抗；(4)波长；(5)磁场强度； (6)电场强度和磁场强度
的复数表示形式；(7)波的平均功率密度。
解 (1)相对介电常数
由电场
v E
强度的表达式可知:
v E 3 7 7 c o s ( 1 0 9 t 5 y ) a ˆ z V / m
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
根据麦克斯韦尔第二方程: EH
t
aˆx aˆy aˆz
v E 0
0
z
aˆx
Ey z
aˆy
Ex z
Ex Ey 0
Ey Hx
z
t
Ex Hy
1 2E vmH vm[cos(em)cos(2t2kzem)]
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
（3）平均坡印廷矢量
S vavT 10 TS vdt T 10 T1 2E vmH vm [cos(em)cos(2t2kzem)]dt
12E vmH vmcos(em)
度均相同，这种电磁波称为均匀平面波。
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
二、均匀平面波的特性
1.均匀平面波满足一维波动方程
r
从麦克斯韦方程出发： 在自由空间： Jc 0,v0
v H
v Jc
v
v D t
v E
B
v
t
D E B H
H
E
度为 E v 3 7 7 c o s ( 1 0 9 t 5 y ) a ˆ z V /m ，求(1)相对介电常数；(2)传播速度； (3)本质阻抗；(4)波长；(5)磁场强度； (6)电场强度和磁场强度
的复数表示形式；(7)波的平均功率密度。
解 (1)相对介电常数
由电场
v E
强度的表达式可知:
v E 3 7 7 c o s ( 1 0 9 t 5 y ) a ˆ z V / m
2010第六章平面电磁波
球面波： 分解为许多均匀平面波讨论 柱面波：
Ey
HZ
一组平面电磁波
彼此独立
EZ
Hy
另一组平面电磁波
§ 6.2
无限大理想介质中的平面电磁波
理想介质，即媒质的电磁参数：γ =0, ε、μ为实常数。 1、理想介质中对均匀平面波传播的一般分析 电磁波满足以下波方程： (无源)
结论: 均匀平面电磁波： ★ 一横电磁波(TEM波). 只存在波传播方向相垂直的分量 》 t Ex Ex 0 Ex e Ex t
0
E H E t H E t H 0 E 0
d dt
j
1 j
dt
2、均匀平面谐变电磁波的传播特性 设谐波沿+z方向传播，电场强度仅具有x分量
jt E( z, t ) ex Ex ( z)e
电场强度复数形式
Ex ( z) 满足的方程是
1 2 Ex 2 Ex 2 0 2 v t
d 2 Ex ( z ) k 2 Ex ( z ) 0 dz 2
甚低频VLF[超长波] 低频LF[长波，LW] 中频MF[中波, MW] 高频HF[短波, SW] 甚高频VHF[超短波] 特高频UHF[微波] 超高频SHF[微波] 极高频EHF[微波] 光频 [光波]
中波调幅广播（AM）：550KHz~1650KHz
短波调幅广播（AM）：2MHz~30MHz 调频广播（FM）：88MHz~108MHz
( H ) ( H ) 2 H
E H ( E ) t H 0 2 H H 2 t t 2 ( H ) ( H ) H
平面电磁波
第六章 平面电磁波主要内容平面电磁波的基本特性 9学时1. 理想介质中的均匀平面波 2. 损耗媒质中的均匀平面波 3. 均匀平面波的极化 4. 均匀平面波对平面边界的垂直入射 5. 均匀平面波对平面边界的斜入射 6. 各向异性媒质中的均匀平面波1-1206.1 理想介质中的均匀平面波理想介质是指电导率 σ = 0 ，ε 、 μ 为实常 数的媒质，σ → ∞ 的媒质称为理想导体。
σ 介于两者之间的媒质称为有损耗媒质或导电媒质。
平面波是指波前面，即等相位面或者波前阵是平面的波。
均匀平面波是指波前面上场量振 幅处处相等的波。
本节介绍最简单的情况，即介绍无源、均 匀（homogeneous）（媒质参数与位置无关）、 线性（linear）（媒质参数与场强大小无关）、 各向同性（isotropic）（媒质参数与场强方向无 关）的无限大理想介质中的时谐平面波。
4-120对应的磁场为∇ × E = −μ ∂H其通解为∂t∂Ex = −μ ∂H y∂z∂tHy=β ωμ⎡⎣ Ex+cos(ωt−βz)−E− xcos(ωt+βz)⎤⎦=H+ ycos(ωt−βz)+H− ycos(ωt+βz)则Ex=E+ xcos(ωt−βz)+Ex−cos(ωt+βz)Hy=H+ ycos(ωt−βz)+H− ycos(ωt+βz)注意到 E 和 H 的相位相同！定义：波阻抗 η7-120=E+ xH+ y=−E− xH− y=μ = 120π εμr εr平面电磁波z 电磁波：变化的电磁场脱离场源后在空间的传播z 平面电磁波：等相位面为平面构成的电磁波 z 均匀平面电磁波：等相位面上E、H 处处相等的电磁波 z 若电磁波沿 x 轴方向传播，则H=H(x,t)，E=E(x,t) z 平面电磁波知识结构框图2-120x方向传播的一组均匀平面波6.1.1 波动方程的解假设电磁场沿着 Z 轴方向传播，且电场仅有指向 X 轴 的方向分量，则磁场必只有 Y 方向的分量，即：E = exEx (z,t) H = ey H y ( z, t)波动方程∇2E − με∂E 2 ∂t 2=0∇2Ex− με∂Ex2 ∂t 2=0则5-120∂2Ex ∂z 2−1 v2∂E2 x∂t 2=01其中： v = μ ε考察电场的一个分量 ，瞬时值表达式为：Ex (z,t) = Ex+ cos(ωt − β z +ϕx ) 其中 ωt 为时间相位 ， β z 为空间相位 ，ϕ x 是初始相位。
第六章(修改)平面电磁波
导电媒质中的均匀平面波
正弦电磁波的波动方程复数形式为 & & d 2 Ey d 2Hz 2 2 & 2 & & =k E = ( jωµγ − ω µε )Ey = k Hz y , 2 2 dx dx 式中
γ k = ( jω ) µ( ε + ) = ( jω )2 µε ′ , jω
2
γ ε ′ = ε( 1 + ) jωε
传播常数， 式中 k = jω µε = jβ ——传播常数， 传播常数
β = ω / v ——波数、相位常数( rad / m ）， 波数、相位常数( 波数
λ = 2π / β
——波长（m）。 波长（ 波长
其解
& &+ &− Ey = Ey e− jβx + Ey e jβx ,
& & & HZ = H z+e− jβx + H z−e jβx
——
复介电常数
用 k = α + jβ 和 ε ′ 分别替换理想介质中的 k 和 ε ，
& & & = E +e−kx + E −ekx = E +e−αxe− jβx + E −eαxe jβx & Ey & y y y y
& = H + e −αx e − jβx + H − eαx e jβx & Hz & z z
2 2
电磁波动方程
6.1.2 均匀平面波 均匀平面波条件： 均匀平面波条件：
∂ ∂ =0 , =0 ∂y ∂z
E = E(x, t), H = H(x, t)
大学物理第6章讲义平面电磁波
求：传播速度和波长；
波的频率； 磁场强度； 平均坡印廷矢量。
解： 自由空间中，波以光速传播，所以
vp 3108(m/s)
波长为 2k6213(m)
2021/3/18
17
[例6-1]（续）
波的频率为
fc31 /1380918090(M 0 )Hz
电场强度的复振E幅矢 ax6量 0ej6z
磁H 场 1 0 a z E 强 1 12 a 度 z a 0 x 6e 0 j6 z a y 0 .5 e j6 z
vp
c n
电磁波在自由空间中传播的速度等于光速。
n rr 称为媒质的折射率(index of refraction)。
如果媒质中的相速与频率无关，这种媒质称为非色散媒质，否则称 为色散媒质。 均匀、线性各向同性无耗媒质一定是非色散媒质。
2021/3/18
10
(3) 波长与相位常数
在任意给定时刻，平面波波形随距离z按正弦规律变化。
t 表示随时间变化部分；
kz表示随空间距离变化部分；
0 表示场在 z=0、t=0的状态，称为初相位。
2021/3/18
7
(1)行波(traveling wave)
可见：均匀平面波在空间任意观察点处，其场强是以角频
率随时间按正弦规律变化。
在空间某点z=z0处电场 随时间变化曲线
在任一固定时刻电场 随距离变化曲线
+z轴方向传播的均匀平面波
2021/3/18
-z轴方向传播的均匀平面波
6
4. 均匀平面波的基本概念
如果电介质区无限延伸，则电场矢量可一般地表示为 EaxE0ejkz
时域表达式为 E x z ,t E 0co t k s z0
波的频率； 磁场强度； 平均坡印廷矢量。
解： 自由空间中，波以光速传播，所以
vp 3108(m/s)
波长为 2k6213(m)
2021/3/18
17
[例6-1]（续）
波的频率为
fc31 /1380918090(M 0 )Hz
电场强度的复振E幅矢 ax6量 0ej6z
磁H 场 1 0 a z E 强 1 12 a 度 z a 0 x 6e 0 j6 z a y 0 .5 e j6 z
vp
c n
电磁波在自由空间中传播的速度等于光速。
n rr 称为媒质的折射率(index of refraction)。
如果媒质中的相速与频率无关，这种媒质称为非色散媒质，否则称 为色散媒质。 均匀、线性各向同性无耗媒质一定是非色散媒质。
2021/3/18
10
(3) 波长与相位常数
在任意给定时刻，平面波波形随距离z按正弦规律变化。
t 表示随时间变化部分；
kz表示随空间距离变化部分；
0 表示场在 z=0、t=0的状态，称为初相位。
2021/3/18
7
(1)行波(traveling wave)
可见：均匀平面波在空间任意观察点处，其场强是以角频
率随时间按正弦规律变化。
在空间某点z=z0处电场 随时间变化曲线
在任一固定时刻电场 随距离变化曲线
+z轴方向传播的均匀平面波
2021/3/18
-z轴方向传播的均匀平面波
6
4. 均匀平面波的基本概念
如果电介质区无限延伸，则电场矢量可一般地表示为 EaxE0ejkz
时域表达式为 E x z ,t E 0co t k s z0
第六章 平面电磁波
2 2
a =
w me 2
2
导电媒质中的均匀平面波
利用上述结论，可得
Ex = Ex0 e
- j kz
= Ex0 e
- j (b - j a )z
= E x 0e
- az
e e
e jf x - j bz
Hy = Hy 0 e
- j kz
= Hy 0 e
- j (b - j a )z
= H y 0e
- az
e
m jf y - j bz
e
由此可见，电磁波在导电媒质中传播，不仅电场与磁场 不同相，而且随着波的传播，场的幅值不断按指数衰 减，此衰减是由于媒质的导电损耗引起的，根据α的公 式可知，频率越高，衰减越快。
kl = 2p
2p k= l
其中k表示了单位长度相位的变化，也称为相位常数。
理想介质中的均匀平面波
空间相位变化 2π 相当于一个全波， k的大小又可衡量
2π长度内具有的全波数目，所以 k又称为波数，还可称
为空间角频率。 等相位面：空间中电磁波相位相同的面，即
wt - kz = const
显然，随着时间的推移，相位面将沿z轴正方向移动，而 其移动的速度称为相速，记为vp，即
¶ Hx 抖 t ¶ Hy t 抖 ¶ Ey z ¶ Ex z
m m
=
e e
¶ Ex t 抖 ¶ Ey 抖 t
= =
¶ Hy z z
= -
¶ Hx
同时可知， Ex和Hy相关，Ey和Hx相关，重新组合得：
¶ Ex 抖 z ¶ Hy 抖 z = -m = -e ¶ Hy t ¶ Ex t
¶ Ey 抖 z ¶ Hx 抖 z
a =
w me 2
2
导电媒质中的均匀平面波
利用上述结论，可得
Ex = Ex0 e
- j kz
= Ex0 e
- j (b - j a )z
= E x 0e
- az
e e
e jf x - j bz
Hy = Hy 0 e
- j kz
= Hy 0 e
- j (b - j a )z
= H y 0e
- az
e
m jf y - j bz
e
由此可见，电磁波在导电媒质中传播，不仅电场与磁场 不同相，而且随着波的传播，场的幅值不断按指数衰 减，此衰减是由于媒质的导电损耗引起的，根据α的公 式可知，频率越高，衰减越快。
kl = 2p
2p k= l
其中k表示了单位长度相位的变化，也称为相位常数。
理想介质中的均匀平面波
空间相位变化 2π 相当于一个全波， k的大小又可衡量
2π长度内具有的全波数目，所以 k又称为波数，还可称
为空间角频率。 等相位面：空间中电磁波相位相同的面，即
wt - kz = const
显然，随着时间的推移，相位面将沿z轴正方向移动，而 其移动的速度称为相速，记为vp，即
¶ Hx 抖 t ¶ Hy t 抖 ¶ Ey z ¶ Ex z
m m
=
e e
¶ Ex t 抖 ¶ Ey 抖 t
= =
¶ Hy z z
= -
¶ Hx
同时可知， Ex和Hy相关，Ey和Hx相关，重新组合得：
¶ Ex 抖 z ¶ Hy 抖 z = -m = -e ¶ Hy t ¶ Ex t
¶ Ey 抖 z ¶ Hx 抖 z
第六章+平面电磁波详解
这是一个二阶常微分方程，其特征方程为： r 2 k 2 0 r1 jk , r2 jk
2019/1/5 6
方程的通解由两个特解所构成
Ex ( z) A1er1z A2er2 z A1e jkz A2e jkz Ex ( z) Ex ( z)
2019/1/5 3
2．按等相位面的形状划分电磁波的类型 等相位面：具有相同场分量相位角的曲面。 平面电磁波：电磁波等相位面是平面。例如:
0 球面电磁波：等相位面是球面的电磁波。例如:
E ( x, y , z , t ) ˆ jE y ˆ jA cos( t kz) A ˆ ˆ H ( x, y, z , t ) i H x i cos( t kz)
第六章 平面电磁波
2019/1/5
1
无耗媒质中的均匀平面电磁波 一、电磁波的类型 1．按场矢量方向与传播方向划分波的类型
横电磁波:电磁波的电场矢量和磁场矢量都在与传播方向垂直的 横截面之内，记作TEM波。 E ( x, y , z , t ) ˆ jE y ˆ jA cos( t kz) ˆH x i ˆ A cos( t kz) H ( x, y , z , t ) i
(6-1-11)
A1和A2是由边界条件确定的常数。先来分析第1个特解。 jkz Ex ( z) Ae (6-1-12) 1 通过麦克斯韦方程，可求得与电场相伴的磁场强度矢量
ˆ i j j H E x Ex ˆ j y 0 ˆ k E j x ˆ j z z 0
(6-1-6)
其中 k 2 称为波数或相位常数，代表电磁波沿 传播方向单位长度上改变的相位角。 2．齐次波动方程的解：沿z轴传播的均匀平面电磁波 假设电磁波的电场矢量只有Ex分量，且仅是z和t的函数。 ˆEx ( z, t ) i ˆEx ( z)e jt E( z, t ) i (6-1-9)
平面电磁波 第六章
一、无耗介质中时谐电磁场的频域无源波动方程
• 解出 E 就可用Maxwell方程组求出 H ，故只须解 E 。
• 不失一般性，可作一些假设，使求解更方便： ˆ (1)设 E 只有x方向的分量，即 E r E x x ； ˆ (2)设 E 只随z 坐标变化，即 E r E x z x ； x • E x z 满足的常微分方程：
vp
6、从行波角度理解电磁波各参数的物理意义： 相速度 ( vp )：等相位面在一秒钟之内前进的距离 波长(λ)：等相位面在一个周期 T 之内前进的距离 2 2 v pT k k 周期(T )：等相位面前进一个波长所需的时间
vp T
频率( f )：等相位面在一秒钟之内前进的波长数 vp 1 f T
E:
H:
x y z
某时刻的三个 等相位面
• 均匀平面波每个等相位面上的场矢量处处相等。 • 任意固定时刻，空间中不同等相位面上的场值不同。 （除非两个等相位面间距为波长的整数倍）
5、Poynting矢量：
• 瞬时Poynting矢量： 1 2 ˆ S r , t Em cos2 t kz z
真空中： 0
0 120 377 0
• 波阻抗只是一个比值，单位与电阻相同，它并不意味 着存在能量损耗。 • 波阻抗仅由媒质参数决定，与场矢量值无关。 • 电场、磁场的互求公式：
ˆ z E H
1 ˆ zH E
ˆ z为 传 播 方 向
等相位面上的场分布情况 4、场结构：
m/s
v0 2 2 m k f
Hm Em 0 10 0
ˆ H 为 - x方 向
• 解出 E 就可用Maxwell方程组求出 H ，故只须解 E 。
• 不失一般性，可作一些假设，使求解更方便： ˆ (1)设 E 只有x方向的分量，即 E r E x x ； ˆ (2)设 E 只随z 坐标变化，即 E r E x z x ； x • E x z 满足的常微分方程：
vp
6、从行波角度理解电磁波各参数的物理意义： 相速度 ( vp )：等相位面在一秒钟之内前进的距离 波长(λ)：等相位面在一个周期 T 之内前进的距离 2 2 v pT k k 周期(T )：等相位面前进一个波长所需的时间
vp T
频率( f )：等相位面在一秒钟之内前进的波长数 vp 1 f T
E:
H:
x y z
某时刻的三个 等相位面
• 均匀平面波每个等相位面上的场矢量处处相等。 • 任意固定时刻，空间中不同等相位面上的场值不同。 （除非两个等相位面间距为波长的整数倍）
5、Poynting矢量：
• 瞬时Poynting矢量： 1 2 ˆ S r , t Em cos2 t kz z
真空中： 0
0 120 377 0
• 波阻抗只是一个比值，单位与电阻相同，它并不意味 着存在能量损耗。 • 波阻抗仅由媒质参数决定，与场矢量值无关。 • 电场、磁场的互求公式：
ˆ z E H
1 ˆ zH E
ˆ z为 传 播 方 向
等相位面上的场分布情况 4、场结构：
m/s
v0 2 2 m k f
Hm Em 0 10 0
ˆ H 为 - x方 向
第六章时变电磁场和平面电磁波
Re(
Em (r)e j
t)
E(r, t)e jtdt Re( Em (r)e jt )
j
H J D t
Re Hm (r)e jt Re Hm(r)e jt
Re
Jm (r)e j t
Re t
Dm (r)e jt
Re
Jm (r)e jt
Re t
Hy
j
E x z
Ex Ex0e jkz
k
Hy
Ex0e jkz
H y0e jkz
式中 H y0
Ex0
在理想介质中，均匀平面波的电场相位与磁场相位相同，
且两者空间相位均与变量 z 有关，但振幅不会改变。
Ex
左图表示 t = 0 时刻，电
z
场及磁场随空间的变化情
Hy
况。
波阻抗(wave impedance): 指与传播方向垂直的横平面
时谐电磁场场中物理量的表示
E(r,t) Em (r) cos( t e (r)) 时谐场的相量表示法
E(r,t) Re Em(r)e j te (r) Re Em(r)e jt
Em (r) Em (r) Em (r)e je (r)
电场强度复振幅矢量
它只是空间坐标的函数，与时间t无关。
f
f
2
周期(period)： T 1 T 2
❖
波数k、波长与波矢量
f k
波数k: 长为 2 距离内包含的波长数。 k 2
波长(wavelength): 2 2 1 k f
波矢量: k k k 式中：k即为波数
k 2 k 即为表示波传播方向的单位矢量。 说明： 平面波的频率是由波源决定的，它始终与源的频
平面电磁波
注：式中E0+和E0- 为待定系数（由边界条件确定）。
说明：通解的实数表达式为：
Ex ( z, t ) Re[ E0e jkz E0e jkz e jt ]
E0 cos(t kz) E0 cos(t kz)
第六章 平面电磁波Ex ( z) E0e jkz E0e jkz（6-10）
平面电磁波的斜入射 平面电磁波的正入射·驻波
第六章 平面电磁波
本章要求
掌握均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的 传播特性及基本规律。 了解均匀平面电磁波在工程中的应用。 掌握均匀平面电磁波正入射时的传播特性，了解 均匀平面电磁波斜入射时的传播特性。
第六章 平面电磁波
几个基本概念
电磁波：脱离场源后在空间传播的电磁场。
E0e jkz )
第六章 平面电磁波
即： H ey (H0e jkz H0e jkz ) （6-11）
式中：
E0
H
0
E0
H
0
k
η具有阻抗的量纲，单位为欧姆(Ω)，它的值与媒质参数有 关，因此它被称为媒质的波阻抗(或本征阻抗)。
真空中：
0
1
36
109 F
/
m
;
0 4 107 H / m
正弦均匀平面电磁波的等相位面方程为:
t kz 0 const. （常数）
相速：正弦均匀平面电磁波等相位面 的位置随时间的变化率称相速。
等相位面方程两边对时间求导得： x
k dz 0
dt
z
vp
dz dt
k
1
y
关于波的相速的进一步说明：
图6-3理想介质中均匀平面电磁波的电场和磁场空间
分布
r
说明：通解的实数表达式为：
Ex ( z, t ) Re[ E0e jkz E0e jkz e jt ]
E0 cos(t kz) E0 cos(t kz)
第六章 平面电磁波Ex ( z) E0e jkz E0e jkz（6-10）
平面电磁波的斜入射 平面电磁波的正入射·驻波
第六章 平面电磁波
本章要求
掌握均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的 传播特性及基本规律。 了解均匀平面电磁波在工程中的应用。 掌握均匀平面电磁波正入射时的传播特性，了解 均匀平面电磁波斜入射时的传播特性。
第六章 平面电磁波
几个基本概念
电磁波：脱离场源后在空间传播的电磁场。
E0e jkz )
第六章 平面电磁波
即： H ey (H0e jkz H0e jkz ) （6-11）
式中：
E0
H
0
E0
H
0
k
η具有阻抗的量纲，单位为欧姆(Ω)，它的值与媒质参数有 关，因此它被称为媒质的波阻抗(或本征阻抗)。
真空中：
0
1
36
109 F
/
m
;
0 4 107 H / m
正弦均匀平面电磁波的等相位面方程为:
t kz 0 const. （常数）
相速：正弦均匀平面电磁波等相位面 的位置随时间的变化率称相速。
等相位面方程两边对时间求导得： x
k dz 0
dt
z
vp
dz dt
k
1
y
关于波的相速的进一步说明：
图6-3理想介质中均匀平面电磁波的电场和磁场空间
分布
r
六章平面电磁波-精品
第六章 平面电磁波 图 6-4 向k方向传播的均匀平面电磁波
第六章 平面电磁波 式中cosα、cosβ、cosγ是e′z在直角坐标系oxyz中的方向余弦。 这样式(6-21)中的相位因子为
k'zkz'er(excoa seyco sezco)k sr
krkxxkyykzz
第六章 平面电磁波
H
j(E0e
jkz)
j (e
jkzE0
e
jkz
E0)
j
e
j（ kz
jk）ez
E0
j（
jk）ez E0ejkz
k
ez
E
( E 0 e j) k e z j k E 0 z e j k E 0 z ( j ) e z k E 0 e jk 0
H E j E H j H H 0 E 0
(6-22a)
第六章 平面电磁波
式(6-22a)可以写为
Hjj EjcE
其中：
c j1j
波动方程：
2E 2E 0
第六章 平面电磁波
解： (1)
vp
1
c 3 10 8 10 8 m / s
r r
9
v p 1m f
k 2 rad / m vp
u r 120 1 40
0 r
9
第六章 平面电磁波 (2)
Ex(z,t)f(zv)t
由麦克斯韦方程式 ex
ey
ez
E
B
第六章平面电磁波-
二、传播常数和波阻抗的意义
有损耗媒质中电磁波的传播常数 和波阻抗
都是复数。设 j ，由式（6-20c）得
( j ) 2 2 2 2 j 2 ( 1 j )
上式两边虚、实部分别相等，可得
2 1()2 1
（6-5）
将上式代入 E0，可得
E 0 e j k z E 0 e j k z j k E e z 0 （6-6）
上式表明: 电场矢量垂直于 e z ，即Ez 0 ，电场只存在
横向分量
E E x e j x m e x E y e j y m e y e j k E z x e x E y e y（6-7）
第六章 平面电磁波
第5章的麦克斯韦理论表明: 变化的电场激发变 化的磁场，变化的磁场激发变化的电场，这种相互 激发、在空间传播的变化的电磁场称为电磁波 （electromagnetic wave）。我们所知道的无线电 波、电视信号、雷达波束、激光、X射线和射线等 等都是电磁波。
电磁波可以按等相位面的形状分为平面波、柱 面波和球面波。
21 E2ez21 (Ex2Ey2)ez
(6-13)
(5)电磁场中电场能量密度、磁场能量密度的瞬时
值是
w e(z,t)1 2E x 2(z,t)E y 2(z,t)
w m ( z , t ) 1 2 H x 2 ( z , t ) H y 2 ( z , t ) 1 2E x 2 ( z , t ) /E y 2 ( z , t ) w e ( z , t )
（6-16d）
6.2 损耗媒质中的均匀平面波
电磁波在媒质中传播时要受到媒质的影响。这一节，
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正弦电磁波方程：2E k 2E 0
2H k2H 0
其中 k
分析：假定平面波的传播方向为z向，等相位面为X-Y
平面,电场为X轴方向，且它仅为z的函数，则电场和磁
场可表示为： E ex Ex
H eyHy
正弦均匀平面波方程：
d
2
Ex ( dz 2
z
)
k
2
E
x
(
z
)
0
d
2
Hy( dz 2
z
y Acos(t x )
无耗媒质中，均匀平面波的主要参数：
u
u为波速
1、相位：代表场的波动状态 t kz 0
2、周期、频率、波长： T 2 f 2
2
k
3也、称波为数相：位单常位数长，度即内波所行具进有单的位全距波离数时目的的相2π位倍变化k
2
4、媒质本征阻抗（波阻抗）
从公式知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度之比 为定值。定义电场幅度与磁场幅度比为媒质本征波阻抗
》EH或HE波：在传播方向上即有电场分量，又有磁场 分量，也称混合波。
§6.1 无耗媒质中的平面电磁波
一、无耗媒质中齐次波动方程的均匀平面波解 （σ= 0，ε、μ为实常数，ρ= 0，J = 0）
• 一般情况下，沿+z方向的均匀平面波解
E(z, t) ex Ex (z, t) ex f (z vt) H (z, t) ey H y (z, t) ey g(z vt )
H (z, t )
Re ey
E0
e
j
t
kz
ey
E0m
cos( t
kz
0 )
e y H0m
cos( t
kz
0 )
总结：无界理想媒质中均匀平面波的传播特性
• 电场与磁场的振幅相差一个因子η
• 电场和磁场在空间相互
表明：
》电场强度、磁场强度与传播方向垂直，没有传播方向 上的分量。
》无耗媒质中的平面电磁波是一种TEM波。 （Transverse Electromagnetic Wave) 》TEM波：对传播方向而言，电磁场只有横向分量， 没有纵向分量。其电场强度、磁场强度、传播方向构成 右手正交系。
• 正弦电磁场，沿+z方向的均匀平面波解（复数形式）
第六章 平面电磁波
§6.1 无耗媒质中的平面电磁波 §6.2 导电媒质中的平面电磁波 §6.3 电磁波的极化 §6.4 电磁波的色散和群速 §6.5 均匀平面电磁波向平面分界面的垂直入射 §6.7 均匀平面电磁波向平面分界面的斜入射 §6.8 均匀平面电磁波的全透射和全反射
一、电磁波的分类 1、按等相位面的形状分为三类：平面、柱面、球面 • 平面电磁波：等相位面为无限大平面。 • 均匀平面电磁波：等相相位面为无限大平面，且等相
kz
0 )
表明：任一时刻电场能量密度和磁场能量密度相等，
各为总电磁能量一半。
9、电磁能量平均值：
av ,e
1 4
E02m
av ,m
1 4
H 02m
av
1 2
E02m
10、能量传播速度：
ve
Sav
av
1
v p
表明：均匀平面电磁波的能量传播速度等于相速。
E(z, t ) Re ex E0e jtkz ex E0m cos(t kz 0 )
E
H
特殊的：真空（空气）的本征波阻抗为：
0
0 0
4 107 120 377 ()
1 109
36
结论：在自由空间中（真空或空气）传播的电磁波，电 场幅度与磁场幅度之比为377Ω
5、相速：等相位面行进的速度
如图示电磁波沿+z方向传 播，从波形上可以认为是
整个波形随着时间变化向 +z方向平移
相位： t kz 0 令： t kz 0 const
H(z)
ey H y
ey
E0
e jkz
e y H0e jkz
二、均匀平面波的传播特性
由于： E(z) ex Ex ex E0e jkz
H(z)
ey H y
ey
E0
e jkz
e y H0e jkz
振幅 时间相位
可得：E(z, t ) Re ex E0e jtkz ex E0m cos(t kz 0 )
两边对时间t取导数，得： k dz 0
关于波的相速的说明：
dt
dz 1 vp dt k
• 电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关
• •
真空中电磁波相速：v p0
1 vp f f
vp
f
1
0 0
3108(m / s) c(光速)
6、复坡印廷矢量：
S
1 2
E
H*
1 2
ex
E0e
空间相位 初相
H(z,t)
Re ey
E0
e
jt
kz
相位，代表场 的波动状态
ey
E0m
cos( t
kz
0 )
e y H0m
cos( t
kz 0 )
振幅 时间相位
E(z, t ) Re ex E0e jtkz ex E0m cos(t kz 0 )
空间相位 初相
高中物理简谐波
)
k
2
H
y
(
z
)Байду номын сангаас
0
k 2 2
方程的通解：
Ex (z) E0e jkz E0e jkz
Hy(z)
H
0
e
jkz
H
0
e
jkz
E0
e jkz
E0
e jkz
k
右边第一项表示沿+z方向传播 右边第二项表示沿-z方向传播
波阻抗
方程的实际解：(由于无界媒质中不存在反射波)
E(z) ex Ex ex E0e jkz
2、按照场分量与传播方向的关系，将电磁波分为四类：
》TEM波：电场和磁场分量均分布在与传播方向垂直 的横平面内，也称横电磁波。
》TE波：电场分量仅分布在与传播方向垂直的横平面 内，也称横电波。因在传播方向上仅有磁场分量，又 称磁波或H波。
》TM波：磁场分量仅分布在与传播方向垂直的横平面 内，也称横磁波。因在传播方向上仅有电场分量，又 称电波或E波。
位面上，各点的场强大小相等，方向相同。
• 研究意义： 》虽然均匀平面电磁波实际上不存在，但讨论它有实际
意义。因为在距波源足够远处，呈球面的的波阵面上 的一小部分就可以近似看作平面，在此小平面内的波 就可以作为均匀平面波来分析。
》均匀平面电磁波是研究电磁波的基础。因为它是麦氏 方程最简单的解和许多实际波动问题的近似。
jkz
ey
E0*
e jkz
ez
E02m
2
7、平均坡印廷矢量：Sav
Re S
ez
E02m
2
表明：与传播方向垂直的所有平面上，平均功率密度相 同，即在传播过程中无衰减。因此理想媒质中均匀平面 电磁波是等振幅波。
8、电场能量密度和磁场能量密度的瞬时值：
e (t)
m (t )
1 2
E02m
cos2 ( t