解三角形知识点总结及典型例题
八年级数学上册第十一章三角形知识总结例题(带答案)
八年级数学上册第十一章三角形知识总结例题单选题1、当n边形边数增加2条时，其内角和增加（）A．180°B．360°C．540°D．720°答案：B分析：根据n边形的内角和定理即可求解．解：原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n＋2．（n＋2−2）•180−（n−2）•180＝360°．故选：B．小提示：本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．2、在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则△ABC为（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等腰答案：B分析：根据∠A=12∠B=13∠C分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即可得出答案．∵∠A=12∠B=13∠C∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°解得：x=30°∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°因此△ABC是直角三角形故答案选择B．小提示：本题主要考查的是三角形的基本概念．3、如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（）A．BC=2CD B．∠BAE=1∠BAC2C．∠AFB=90°D．AE=CE答案：D分析：根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；解：A．∵AD是△ABC的中线∴BC=2CD，故选项正确，不符合题意；B．∵AE是△ABC的角平分线∴∠BAE=1∠BAC2故选项正确，不符合题意；C．∵AF分别是△ABC的高，∴∠AFB=90°故选项正确，不符合题意；D．AE=CE不一定成立，故选项错误，符合题意．故选：D．小提示：此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．4、将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（）A．95°B．100°C．105°D．110°答案：C分析：根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．由题意得，∠2=45°，∠4=90°−30°=60°，∴∠3=∠2=45°，由三角形的外角性质可知，∠1=∠3+∠4=105°，故选C．小提示：本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5、下列图形具有稳定性的是（）A．①②B．③④C．②③D．①②③答案：C分析：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，图②③便具有稳定性，故选C．小提示：此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．6、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法正确的是( )A．DE是△ACE的高B．BD是△ADE的高C．AB是△BCD的高D．DE是△BCD的高答案：D分析：根据三角形高的定义求解即可．三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．解：A、DE不是△ACE的高，选项错误，不符合题意；B、BD不是△ADE的高，选项错误，不符合题意；C、AB不是△BCD的高，选项错误，不符合题意；D、DE是△BCD的高，选项正确，符合题意．故选：D．小提示：此题考查了三角形的高，解题的关键是熟练掌握三角形高的定义．三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．7、如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1=25°，∠2=35°，则∠3的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°答案：C分析：由∠BAC=∠DAE可证得∠BAD=∠CAE，继而证明△BAD≅△CAE(SAS)，由全等三角形对应角相等得到∠2=∠CAE,∠ABD=∠1，最后由三角形的外角性质解答即可．解：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠2=∠CAE,∠ABD=∠1∵∠1=25°，∠2=35°∴∠3=∠2+∠ABD=∠2+∠1=60°故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8、若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8答案：C分析：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．根据三角形的三边关系得5−3<a<5+3，即2<a<8，则选项中4符合题意，故选：C．小提示：本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．9、若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6答案：D分析：根据多边形的外角和等于360°计算即可．解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．故选：D．小提示：本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．10、下列说法中正确的是（）A．三角形的三条中线必交于一点B．直角三角形只有一条高C．三角形的中线可能在三角形的外部D．三角形的高线都在三角形的内部答案：A分析：根据三角形中线及高线的定义逐一判断即可得答案．A.三角形的三条中线必交于一点，故该选项正确，B.直角三角形有三条高，故该选项错误，C.三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误，D.三角形的高线不一定都在三角形的内部，故该选项错误，故选：A．小提示：本题考查三角形的中线及高线，熟练掌握定义是解题关键．填空题11、如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC ＝70°，则∠D＝______．答案：34°##34度分析：根据题意先求∠DAC，再依据△ADF三角形内角和180°可得答案．解：∵∠B=46°，∠C=30°，∴∠DAC=∠B+∠C=76°，∵∠EFC=70°，∴∠AFD=70°，∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，所以答案是：34°．小提示：本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．12、如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC 上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝______．答案：230°分析：依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C＝130°，再根据∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°．解：∵∠A＝50°，∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，所以答案是：230°．小提示：本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和及角之间的等量关系是解题的关键．13、如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．答案：72021分析：根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此规律可得结论．解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，所以，S△A1B1C1=7S△ABC,同理S△A2B2C2=7S△A1B1C1=72S△ABC，依此类推，△A2021B2021C2021的面积为=72021S△ABC，∵△ABC的面积为1，∴△A2021B2021C2021的面积=72021．所以答案是：72021．小提示：本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．14、在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是___________度．答案：40或80##80或40分析：根据题意，由于△ABC类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．解：根据题意，分三种情况讨论：①高在三角形内部，如图所示：∵在ΔABD中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°，∵∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°；②高在三角形边上，如图所示：可知∠CAD=0°，∵∠CAD=20°，故此种情况不存在，舍弃；③高在三角形外部，如图所示：∵在ΔABD中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°，∵∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=60°−20°=40°；综上所述：∠BAC=80°或40°，所以答案是：40或80．小提示：本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．15、如图，∠1，∠2，∠3是多边形的三个外角，边CD，AE的延长线交于点F，如果∠1+∠2+∠3=225°，那么∠DFE的度数是______.答案：45°分析：利用多边形的外角和为360°以及三角形内角和为180°，然后通过计算即可求解.解：∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠DEF+∠EDF=360°，又∵∠1+∠2+∠3=225°，∴∠DEF+∠EDF=135°，∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°，∴∠DFE=180°-135°=45°．故答案是为45°.小提示：本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．解答题16、如图，在平面直角坐标系中，A(−1,5)，B(−1,0)，C(−4,3)，(1)过点B作DB∥CA，且点D在格点上，则点D的坐标为______ ．(2)将△ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1；(3)直接写出直线AC与y轴的交点坐标______ ．答案：(1)(-4，-2)，(2，2)，(5，4)(2)见解析(3)(0，17)3分析：（1）可以把AC平移使A点或C点为对应点，从而确定D点位置；（2）利用平移规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（3）延长CA交y轴于点T，设点T的坐标为（0，m），利用△AOC的面积列出关于m的方程，解方程即可．（1）解：如图所示：则点D的坐标是：(-4，-2)，(2，2)，(5，4)．所以答案是： (-4，-2)，(2，2)，(5，4) ．（2）解：将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度后，则△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示：（3）解：延长CA交y轴于点T，如图所示：SΔAOC=4×5−12×3×4−12×2×3−12×1×5=172，设点T的坐标为（0，m），则SΔAOC=SΔOCT−SΔOAT=12×4m−12×m=32m，∴172=32m，解得：m=173，∴直线AC与y轴的交点坐标为(0，173)．所以答案是：(0，173)．小提示：本题考查平移变换，三角形的面积等知识，解题的的关键是掌握平移变换的性质，学会利用面积法构建方程求解，属于中考常考题型．17、用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长是4cm的等腰三角形吗？为什么？答案：（1）365cm，365cm，185cm；（2）能，理由见解析分析：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．解：（1）设底边长为xcm，∵腰长是底边的2倍，∴腰长为2xcm，∴2x+2x+x=18，解得，x=185cm，∴2x=2×185=365cm，∴各边长为：365cm，365cm，185cm．（2）①当4cm为底时，腰长=18−42=7cm；②当4cm为腰时，底边=18−4−4=10cm，∵4+4<10，∴不能构成三角形，故舍去；∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．小提示：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．18、如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．（1）将如表的表格补充完整：)°；（2）存在，n=9答案：（1）60°，45°，36°，30°，(180n分析：（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=(180)°；n)°，可得答案．（2）根据正n边形中的∠α=(180n解：（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：)°；所以答案是：60°，45°，36°，30°，(n（2）存在，理由如下：∵设存在正n边形使得∠α=20°，)°．得∠α=20°=(180n解得：n=9，∴存在正n边形使得∠α=20°．，三角形的内角和定理，等小提示：本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：(n−2)⋅180°n腰三角形的两底角相等．。
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
高三-解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的(1)(最新整理)
c sin A : sin B : sin C
(4) a sin A , a sin A , b sin B b sin B c sin C c sin C
2、正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）
已知 a，b 和 A，求 B 时的解的情况:
即 p2 3 1 cos B ，因为 0 cos B 1，所以 p2 ( 3 , 2) ，由题设知 p 0 ，所以 6 p 2
22
2
2
三、课堂练习：
1.在
ABC
中，若
S
1 4
(a2
b2
c2 ),
则角
C=
2.设 R 是 ABC 外接圆的半径，且 2R(sin2 A sin2 C) ( 2a b)sin B ，试求 ABC 面积的最大值。
cosC=
a2
b2
c2
32 =
52
72
=
1
2ab
235 2
因为 0 C ，所以 C= 2 3
题型 2 三角形解的个数
[例 3]在 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】
A、 a 7 ， b 14 ， A 30 ；
B、 b 25 ， c 30 ， C 150 ；
过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三
角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）
题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用
[例 6]在 ABC 中， a,b, c 分别为角 A，B，C 的对边，且 sin A sin C p sin B( p R) 且 ac 1 b2 4
解三角形经典例题
解三角形一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+- 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab+-=+-=+-=4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abcS ab C ac B bc A R ABC R ===∆为外接圆半径 （两边夹一角）；6．三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ∆中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-；③()tan tan A B C +=-；④sincos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C+= 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解三角形知识点总结及典型例题
解三角形知识点总结及典型例题三角形作为几何学的基础概念之一，是学习几何学不可或缺的部分。
在解三角形的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点和技巧。
本文将对解三角形的相关知识点进行总结，并配以典型例题进行说明。
一、三角形的基本概念三角形由三条边和三个角组成。
根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
根据角的大小，三角形可以分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。
二、重要的定理1. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
利用这个定理，我们可以求解一些已知角的三角形问题。
2. 角平分线定理：角平分线将一个角分为两个大小相等的角。
利用这个定理，我们可以求解一些已知角平分线的三角形问题。
3. 直角三角形的性质：直角三角形的两个直角边平方和等于斜边的平方。
这个定理被广泛应用于解决直角三角形的各类问题。
三、解三角形的方法1. 已知两边和夹角如果我们已知三角形的两边和夹角，我们可以利用余弦定理求解第三边的长度。
余弦定理的数学表达式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为第三边的长度，a和b为已知边的长度，C为已知夹角的度数。
2. 已知两边和对应的角如果我们已知三角形的两边和对应的角，我们可以利用正弦定理求解第三角的长度。
正弦定理的数学表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
3. 已知三边如果我们已知三角形的三边，我们可以利用余弦定理或正弦定理求解其中一个角的大小。
然后，再利用三角形的内角和定理求解其他角的大小。
四、典型例题1. 已知三角形ABC，AB ＝ 8 cm，BC ＝ 6 cm，AC ＝ 10 cm。
求角A、角B和角C的度数。
解：根据余弦定理，cosA ＝ (8² + 10² - 6²) / (2 × 8 × 10) ＝ 0.6cosB ＝ (6² + 10² - 8²) / (2 × 6 × 10) ＝ 0.8cosC ＝ (8² + 6² - 10²) / (2 × 8 × 6) ＝ 0.7通过查表或使用计算器，我们可以得到：角A ≈ 53.13°，角B ≈ 36.87°，角C ≈ 90°2. 在直角三角形ABC中，∠B = 90°，AB ＝ 5 cm，BC ＝ 12 cm。
解三角形题型分类讲解
解三角形知识点总结及题型分类讲解一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况:如果B A sin sin ≥，则B 有唯一解；如果1sin sin <<B A ，则B 有两解； 如果1sin =B ，则B 有唯一解；如果1sin >B ，则B 无解. 3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）.6、三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）. （3）在△ABC 中，π=++C B A ，所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+.（4）2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+. 二、典型例题题型1、计算问题（边角互换）例1、在ABC ∆中，若7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则角C 的度数为 答案：=C 23π 例2、已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b cA B C++++=．答案：2例3、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．求角A 的大小； 答案：π3题型2、三角形解的个数例1.在△ABC 中，已知b=40,c=20,C=60。
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1两角和与差的正弦公式sin( a + B )=sin a cos B +cos a sin B,sin( -a )=sin a cco $ a sin B ・2两角和与差的余弦公式，cos( a + B )=cos a -^os B sin B cos(诩)=cos a cos+sin a sin B3两角和、差的正切公式 tan( a +=B tantan一, (tan tan tan 1 tan tan )；1 tan tan⑶ tan22ta n1 tan 2默写上述公式，检查上次的作业 课本上的!课前复习⑴ sin22sincos .1 si n22 2sincos 2 sin cos(sincos )22⑵ cos2 cos.2sin 22cos1 1 2si n 2升幕公式1 cos2 cos 2 ,1 2 cos 2sin 2 —2降幕公式cos 2 cos 2 1 . 2 ,sin 1 cos22 2简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式: tan( -B )=tan tan. ( tan1 tan tantan tan tan tan ).解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习1正弦定理及其变形 二、典型例题 题型1边角互化 ［例1 ］在 ABC 中，若sin A: sin B : sinC 3:5:7，则角C 的度数为a:b:c 3:5:7，,令 a 、b 、c 依次为 3、5、7，2因为0 C ，所以Ca b sin A sin Bc sin C2R （R 为三角形外接圆半径）(1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式)a b c(2)si nA ——,si nB ——,si nC ——(角化边公式)2R 2R 2Ra sin A a sin A bsin B（3） a:b: c sin A:sinB:sin C （4）— ------ ，— ------ ,------- b sin B c sin C csin C2、正弦定理适用情况： （1） 已知两角及任一边（2） 已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a ，b 和A ,求B 时的解的情况：如果si nA si nB ，则B 有唯一解；如果si nA si nB 1，贝U B 有两解; 如果sin B 1,贝U B 有唯一解；如果si nB 1，则B 无解. 3、余弦定理及其推论2 2 2a b c 2bccosA 222b ac 2accosB 222cab 2abcosCcosC b 2 2c 2 a2bc2 2 2ac b2ac222a b c4、余弦定理适用情况:（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式1 亠（1）S ABC —底咼；2 1（2） S ABC absinC26、三角形中常用结论 1 1bcs in A -casi nB (两边夹一角) 2 2(1)a b c,b ca, a c b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)；(2)在ABC 中，A B a bsi nA si nB(即大边对大角，大角对大边).(3) 在厶 ABC 中, ABC ，所以 sin(A B) sinC ； cos(A B) cosC ； tan(A B) .A B C A B . C tan C .【解析】由正弦定理可得b 2 2abc 2 = 32 52 722 3 5cosAcosB 2ab3若 a 、b 、c 是 ABC 的三边，f(x) b 2x 2A 、有两个交点B 、有一个交点C 、没有交点D 、至少有一个交点【解析】由余弦定理得 b 2 c 2 a 2 2bccos A ，所以2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2f (x) b x 2bccos Agx c = (bx ccos A) c c cos A ，因为 cos A 1,所以 c c cos A 0，因止匕f (x)0恒成立，所以其图像与 x 轴没有交点。
题型2三角形解的个数［例3］在 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A a7, b 14, A 30 ; B 、b 25, c 30, C 150 ;C b4, c 5, B30 ;D a、6 , b 3 , B 60。
题型3面积问题［例4］ ABC 的一个内角为1200，并且三边构成公差为 4的等差数列，则 ABC 的面积为【解析】设厶ABC 的三边分别：x 4, x, x 4 ,/ C=120°,A 由余弦定理得：(x 4)2 (x 4)2 x 2 2x(x 4)cos120°，解得：x 10 , 二 ABC 三边分别为6、10、14,S VABC —ab sinC —6 10— 15. 3.2 2 2题型4判断三角形形状［例5］在 ABC 中，已知(a 2 b 2) sin(A B) (a 2 b 2) sin (A B),判断该三角形的形状。
【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一：a 2［s in (A B) sin(A B)］ b 2［ sin (A B) sin(A B)］2 22a cos Asi nB 2b cos B si nA由正弦定理，即知 si n 2AcosAs in B sin 2 B cos B si nAsin Asin B(sin A cos A sin B cos B) 0sin2A sin2B由 0 2A,2B 2 ，得 2A 2B 或 2A 2B ,即ABC 为等腰三角形或直角三角形2 2 2 2(b c a )x c ,则函数f(x)的图象与x 轴()方法二：同上可得 2a 2cosAsin B 2b 2cosBsin A 5(1)当p ,b 1时，求a,c 的值;4(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围。
所以62三、课堂练习: 1、满足A 45，c ，a 2的 ABC 的个数为m ，则a m 为 2、已知a 5,b5 3， A 30，解三角形。
由正、余弦定理，即得:a 2b^2 2 c a2bc2b 2a a2ac2 2 2 2 2 2 2 2a (bc a ) b (a c b )2 2 2 2 2 即(a b )(c a b )a b 或 c a b ,即ABC 为等腰三角形或直角三角形【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等 方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状;(角化边)二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系, 通过三角恒等变形以及三角形内角和定 理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。
题型5正弦定理、余弦定理的综合运用(边化角)［例6］在 ABC 中，a,b,c 分别为角A.B,C 的对边，且si nA si nCpsin B( pR)且 ac 1b 24【解析】(1)由题设并由正弦定理，得 a5 c -,ac 41 ，解得，a41 、 1,c —或 a41 ,c 4(2)由余弦定理，b 2 a 2c 22ac cos B = (a2c) 2ac 2accosB 即p23〔cosB ，因为 0 2cosB 1，所以 p2(3,2)，由题设知p256、在 ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD 33， sin B —， cos ADC137、在 ABC 中，已知a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，若a cosB ，试确定 b cos A3、在ABC 中，已知a 4 cm , b x cm , A 60 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则x 的取值范围是()A x 4B 、0x4 14、在 ABC 中，若 S (a 2 b 2 4 C 、 4x 8383 35、设R 是 ABC 外接圆的半径，且c 2),则角C.2R(si n 2A si n 2C)(.2a b) sin B ，试求 ABC 面积的最大值。
3，求 AD .5ABC 形状。
1⑵若 cosB 一，b 42,求ABC 的面积。
c a) 3bc ,且 sin A 2sinBcosC ，贝V ABC 是B 、钝角三角形 D 等腰直角三角形2c )则角C ___________3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔 AB ，在塔顶A 处测得山下水平面上一点C 的俯角为 ，在塔底B 处测得点C 的俯角为，若铁塔的高为h m ，则清源山的高度为m 。
cos A 2cosB —C 取得最大值，并求出这个最大值。
25、在 ABC 中，a,b,c 分别为角A 、B 、C 的对边，且满足 csinA acosC (1) 求角C 的大小 (2)求,3sin A cos(B 一)的最大值，并求取得最大值时角 代B 的大小。
48、在 ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，已知 cos A 2cos CcosB2c a b(1)求sin C sin AC、 h sin cos sin( )B、 h cos sin sin( )h sin sinsin( )hcos cos sin( )四、课后作业1、 在 ABC 中，若(a b c)(b A 、等边三角形 C 直角三角形2、 ABC 中若面积 S=1 (a 2 b 24 4、ABC 的三个内角为 A B 、C ，求当A 为何值时,。