解三角形知识点总结及典型例题

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1两角和与差的正弦公式

sin( a + B )=sin a cos B +cos a sin B,

sin( -a )=sin a cco $ a sin B ・

2两角和与差的余弦公式，

cos( a + B )=cos a -^os B sin B cos(诩)=cos a cos+sin a sin B

3两角和、差的正切公式 tan( a +=B tan

tan

一, (tan tan tan 1 tan tan )；

1 tan tan

⑶ tan2

2ta n

1 tan 2

默写上述公式，检查上次的作业 课本上的!

课前复习

⑴ sin2

2sin

cos .

1 si n2

2 2

sin

cos 2 sin cos

(sin

cos )2

2

⑵ cos2 cos

.2

sin 2

2cos

1 1 2si n 2

升幕公式1 cos

2 cos 2 ,1 2 cos 2sin 2 —

2

降幕公式cos 2 cos 2 1 . 2 ,sin 1 cos2

2 2

简单的三角恒等变换

二倍角的正弦、余弦和正切公式: tan( -B )=

tan tan

. ( tan

1 tan tan

tan tan tan tan ).

解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习

1正弦定理及其变形 二、典型例题 题型1边角互化 ［例1 ］在 ABC 中，若sin A: sin B : sinC 3:5:7，则角C 的度数为

a:b:c 3:5:7，,令 a 、b 、c 依次为 3、5、7，

2

因为0 C ，所以C

a b sin A sin B

c sin C

2R （R 为三角形外接圆半径）

(1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式)

a b c

(2)si nA ——,si nB ——,si nC ——(角化边公式)

2R 2R 2R

a sin A a sin A b

sin B

（3） a:b: c sin A:sinB:sin C （4）— ------ ，— ------ ,-

------ b sin B c sin C c

sin C

2、正弦定理适用情况： （1） 已知两角及任一边

（2） 已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）

已知a ，b 和A ,求B 时的解的情况：

如果si nA si nB ，则B 有唯一解；如果si nA si nB 1，贝U B 有两解; 如果sin B 1,贝U B 有唯一解；如果si nB 1，则B 无解. 3、余弦定理及其推论

2 2 2

a b c 2bccosA 2

2

2

b a

c 2accosB 2

2

2

cab 2abcosC

cosC b 2 2

c 2 a

2bc

2 2 2

a

c b

2ac

2

2

2

a b c

4、余弦定理适用情况:

（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式

1 亠

（1）S ABC —底咼；

2 1

（2） S ABC absinC

2

6、三角形中常用结论 1 1

bcs in A -casi nB (两边夹一角) 2 2

(1)

a b c,b c

a, a c b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)

；

(2)

在ABC 中，A B a b

si nA si n

B(即大边对大角，大角对大边)

.

(3) 在厶 ABC 中, ABC ，所以 sin(A B) sinC ； cos(A B) cosC ； tan(A B) .A B C A B . C tan C .

【解析】由正弦定理可得

b 2 2ab

c 2 = 32 52 72

2 3 5

cosA

cosB 2ab

3

若 a 、b 、c 是 ABC 的三边，f(x) b 2x 2

A 、有两个交点

B 、有一个交点

C 、没有交点

D 、至少有一个交点

【解析】由余弦定理得 b 2 c 2 a 2 2bccos A ，所以

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

f (x) b x 2bccos Agx c = (bx ccos A) c c cos A ，因为 cos A 1,所以 c c cos A 0，因止匕

f (x)

0恒成立，所以其图像与 x 轴没有交点。

题型2三角形解的个数

［例3］在 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是

()

A a

7, b 14, A 30 ; B 、b 25, c 30, C 150 ;

C b

4, c 5, B

30 ;

D a

、6 , b 3 , B 60。

题型3面积问题

［例4］ ABC 的一个内角为1200，并且三边构成公差为 4的等差数列，则 ABC 的面积为

【解析】设厶ABC 的三边分别：x 4, x, x 4 ,

/ C=120°,A 由余弦定理得：(x 4)2 (x 4)2 x 2 2x(x 4)cos120°，解得：x 10 , 二 ABC 三边分别为6、10、14,

S VABC —ab sinC —6 10

— 15. 3.

2 2 2

题型4判断三角形形状

［例5］在 ABC 中，已知(a 2 b 2) sin(A B) (a 2 b 2) sin (A B),判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一：a 2［s in (A B) sin(A B)］ b 2［ sin (A B) sin(A B)］

2 2

2a cos Asi nB 2b cos B si nA

由正弦定理，即知 si n 2AcosAs in B sin 2 B cos B si nA

sin Asin B(sin A cos A sin B cos B) 0

sin2A sin2B

由 0 2A,2B 2 ，得 2A 2B 或 2A 2B ,

即ABC 为等腰三角形或直角三角形

2 2 2 2

(b c a )x c ,则函数f(x)的图象与x 轴()