概率论解题方法解析
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要熟练掌握其基本概念.
例2. 已知事件 A, B满足 P( AB) P( AB),
且P(A)=p,求P.(B)
解： P( AB) P( A B) 1 P( A B) 1 P(A) P(B) P(AB)
由P(AB) P(AB),有 1-P(A)-P(B)=0,即P(B)=1-P(A)=1-p.
A) C)
X
P{X
Y
Y
}
1
B)
P{X Y} 1
D) 以上常不正确
2
分布列相同的两个随机变量不一定相等，与它们本身的定 义有关，故A)不对；由于
P{X Y} P{X 0,Y 0} P{X 1,Y 1}
P{X 0} P{Y 0} P{X 1} P{Y 1}
故选C).
1111 1 22 22 2
例5.三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有2个 黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球2个白球. 求：
（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的 概率是多少？
（2）已知取出的是白球，此球属于第三个箱子的概率
分析：设 A:取出的球为白球；B：此球来自于第i个箱子，i=1,2,3, 则
及由此推出的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式
例3. 一次掷十颗骰子，已知至少出现一个一点， 问至少出现两个一点的概率是多少？
分析：设A：至少出现一个一点； B：至少出现两 个一点, 则所求为
P(B A) P(AB) P(B) 1 P(B) ; P(A) P(A) 1 P(A)
另可知 AB “正好出现一次1，点因”此
数学知识系列讲座
概率论解题方法分析举例
主要内容
概率的计算； 概率大小的比较； 贝努里试验模型； 概率分布； 边缘分布； 随机变量函数的分布； 连续与离散两种随机变量相结合。
一、概率的计算
1. 利用事件间的关系与运算规律计算. 如
AB A B A AB;
A B A B; A B A B;
P(B) 1 P(A)
C) P(A B) P(A) D)
A, B相容
分析：A)是独立条件；B)与对立（互逆）相关；C)是差事件 的运算；D)是互不相容的问题.显然：A)错；B)不相干； D)中令 B=A,则A与B互不相容故,D)错. 又由于
P(A B) P(A) P(AB) P(A)
故C)对. 本题主要考查事件的几种关系： 差、互逆、互不相容及独立.
且
P(Bi
)
1 3
(i
1,
2,
3);
P( A
B1 )
1 4
;
P(
A
B2
)
3 5
;
P(
A
B3
)
2 5
.
（1）由全概率公式有
P( A)
3 i 1
P( A
Bi )P(Bi )
1 (1 34
3 5
2) 5
5. 12
（2）由贝叶斯公式有
P(B3
A)
P(B3)P( A P( A)
B3 )
12 35
5
24 . 75
12
练习. 某工厂生产的产品以100件为一批，现从
每批中任取10件来检查，如果发现有次品，则 认为这批产品不合格。假定每批产品中的次品 数最多不超过4件，且每次次品数从0到4是等 可能的。求： （1）一批产品通过检查的概率； （2）假设所检查这批产品通过检查，其中确实 没有次品的概率.
关键事件：A：产品通过验收； B：i 每批产 品中有i件次品，i=0,1,2,3,4.
A AS A (B B) AB AB;
若A, B互逆，则P(B) 1 P( A); 若A, B互不相容，则P(AB) 0 若A, B独立，则P(AB) P(A)P(B).
例1. A, B 为概率不为零的两事件，且互不相容，则正确 的是（ ）
A) P(AB) P(A)P(B) B)
P(B A) 1 P(B A) 1 P( AB) 1 C110 59 / 610
P( A)
1 510 / 610
关键利用了互逆事件及条件概率的性质 .
例4. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别 为0.5和0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是多 少？
分析：设A：甲射击一次命中目标；B：乙射击一次命中目标.
例7.已知随机变量X的分布函数为
0,
F
(
x)
0.2, 0.7,
1,
x 1; 1 x 2; 2 x 4; x 4.
1 0.7 0.2
-1 2 4
（1）求 P{X 0.5}; （2）求X的分布律.
分析：由分布函数的意义 F(x) PX x知
P{X a} 1 P{X a} 1, F(a) PX a F(a) F(a 0)
则目标被命中为 A所B,求概率为 P(B A B).
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
P(A) P(B) P(A)P(B)
于是
P(B A
0.5 0.4 0.50.4 0.7;
B) P[B (A B)] P(B) 0.4 0.57. P(A B) P(A B) 0.7
于是 P{X 0.5} 1 F(0.5) 1 0.2 0.8;
端点处的概率即为上下阶梯之差，X的分布律为
( xi , y j ) G
Px1 X x2
x2 f (x)dx.
x1
若（X，Y)为二维连续型：则wenku.baidu.com
P(X ,Y ) G f (x, y)dxdy. ( x, y)G
例6. 已知 X ,Y独立， X ,Y的分布律为
X 01
Y 01
Pk
1 2
1 2
11 Pk 2 2
则以下结论正确的是（ ）
3. 运用随机变量的分布
利用分布函数求概率：
F(x) PX x Px1 X x2 F(x2) F(x1).
若X为一维离散型：则
Px1 X x2
P{X xk}.
若（X，Y)为二维离散型：则
x1xk x2
P( X ,Y ) G P{X xi ,Y y j}.
若X为一维连续型：则
此题关键是掌握德谟根定律及事件的逆以及加法公式.
2. 运用概率计算公式 . 如
加法公式
P( A B) P( A) P(B) P( AB);
P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC);
条件概率公式
P( B A) P( AB) ; P( A)
例2. 已知事件 A, B满足 P( AB) P( AB),
且P(A)=p,求P.(B)
解： P( AB) P( A B) 1 P( A B) 1 P(A) P(B) P(AB)
由P(AB) P(AB),有 1-P(A)-P(B)=0,即P(B)=1-P(A)=1-p.
A) C)
X
P{X
Y
Y
}
1
B)
P{X Y} 1
D) 以上常不正确
2
分布列相同的两个随机变量不一定相等，与它们本身的定 义有关，故A)不对；由于
P{X Y} P{X 0,Y 0} P{X 1,Y 1}
P{X 0} P{Y 0} P{X 1} P{Y 1}
故选C).
1111 1 22 22 2
例5.三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有2个 黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球2个白球. 求：
（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的 概率是多少？
（2）已知取出的是白球，此球属于第三个箱子的概率
分析：设 A:取出的球为白球；B：此球来自于第i个箱子，i=1,2,3, 则
及由此推出的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式
例3. 一次掷十颗骰子，已知至少出现一个一点， 问至少出现两个一点的概率是多少？
分析：设A：至少出现一个一点； B：至少出现两 个一点, 则所求为
P(B A) P(AB) P(B) 1 P(B) ; P(A) P(A) 1 P(A)
另可知 AB “正好出现一次1，点因”此
数学知识系列讲座
概率论解题方法分析举例
主要内容
概率的计算； 概率大小的比较； 贝努里试验模型； 概率分布； 边缘分布； 随机变量函数的分布； 连续与离散两种随机变量相结合。
一、概率的计算
1. 利用事件间的关系与运算规律计算. 如
AB A B A AB;
A B A B; A B A B;
P(B) 1 P(A)
C) P(A B) P(A) D)
A, B相容
分析：A)是独立条件；B)与对立（互逆）相关；C)是差事件 的运算；D)是互不相容的问题.显然：A)错；B)不相干； D)中令 B=A,则A与B互不相容故,D)错. 又由于
P(A B) P(A) P(AB) P(A)
故C)对. 本题主要考查事件的几种关系： 差、互逆、互不相容及独立.
且
P(Bi
)
1 3
(i
1,
2,
3);
P( A
B1 )
1 4
;
P(
A
B2
)
3 5
;
P(
A
B3
)
2 5
.
（1）由全概率公式有
P( A)
3 i 1
P( A
Bi )P(Bi )
1 (1 34
3 5
2) 5
5. 12
（2）由贝叶斯公式有
P(B3
A)
P(B3)P( A P( A)
B3 )
12 35
5
24 . 75
12
练习. 某工厂生产的产品以100件为一批，现从
每批中任取10件来检查，如果发现有次品，则 认为这批产品不合格。假定每批产品中的次品 数最多不超过4件，且每次次品数从0到4是等 可能的。求： （1）一批产品通过检查的概率； （2）假设所检查这批产品通过检查，其中确实 没有次品的概率.
关键事件：A：产品通过验收； B：i 每批产 品中有i件次品，i=0,1,2,3,4.
A AS A (B B) AB AB;
若A, B互逆，则P(B) 1 P( A); 若A, B互不相容，则P(AB) 0 若A, B独立，则P(AB) P(A)P(B).
例1. A, B 为概率不为零的两事件，且互不相容，则正确 的是（ ）
A) P(AB) P(A)P(B) B)
P(B A) 1 P(B A) 1 P( AB) 1 C110 59 / 610
P( A)
1 510 / 610
关键利用了互逆事件及条件概率的性质 .
例4. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别 为0.5和0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是多 少？
分析：设A：甲射击一次命中目标；B：乙射击一次命中目标.
例7.已知随机变量X的分布函数为
0,
F
(
x)
0.2, 0.7,
1,
x 1; 1 x 2; 2 x 4; x 4.
1 0.7 0.2
-1 2 4
（1）求 P{X 0.5}; （2）求X的分布律.
分析：由分布函数的意义 F(x) PX x知
P{X a} 1 P{X a} 1, F(a) PX a F(a) F(a 0)
则目标被命中为 A所B,求概率为 P(B A B).
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
P(A) P(B) P(A)P(B)
于是
P(B A
0.5 0.4 0.50.4 0.7;
B) P[B (A B)] P(B) 0.4 0.57. P(A B) P(A B) 0.7
于是 P{X 0.5} 1 F(0.5) 1 0.2 0.8;
端点处的概率即为上下阶梯之差，X的分布律为
( xi , y j ) G
Px1 X x2
x2 f (x)dx.
x1
若（X，Y)为二维连续型：则wenku.baidu.com
P(X ,Y ) G f (x, y)dxdy. ( x, y)G
例6. 已知 X ,Y独立， X ,Y的分布律为
X 01
Y 01
Pk
1 2
1 2
11 Pk 2 2
则以下结论正确的是（ ）
3. 运用随机变量的分布
利用分布函数求概率：
F(x) PX x Px1 X x2 F(x2) F(x1).
若X为一维离散型：则
Px1 X x2
P{X xk}.
若（X，Y)为二维离散型：则
x1xk x2
P( X ,Y ) G P{X xi ,Y y j}.
若X为一维连续型：则
此题关键是掌握德谟根定律及事件的逆以及加法公式.
2. 运用概率计算公式 . 如
加法公式
P( A B) P( A) P(B) P( AB);
P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC);
条件概率公式
P( B A) P( AB) ; P( A)