上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

5.函数 f (x) x2 4x(x 0) 的反函数为_________；
【答案】 2 x 4(x 0)
【解析】
【分析】
x 2 y 4 y 0
利用函数表达式解得
，得到反函数.
y f (x) x2 4x x 22 4(x 0) x 2 y 4 y 0
【详解】
故函数的反函数为 f 1(x) 2 x 4(x 0)
a
3 4
1
a
，无解，
当1
a
4
时，
g
(
x)
x
a x
在区间 [1,
a ] 上单调减，在[
a , 4]上单调增，
其最小值为 g( a ) 2 a ，
1 a 4
所以有
a
3 4
2
a
5a4
，解得 2
，
[5 , 4] 所以 a 的取值范围是 2 ，
[5 , 4] 故答案为： 2 .
【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题
；
3 [ 所以 a 的取值范围为 4
13 , 3 4
13
]
1 2
[
3 4
,
)
，
[ 3
13 , 3
13
]
1
[
3
,
)
故答案为： 4
4
2 4 .
【点睛】该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有
含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目.
二.选择题
11.已知函数
f
(x)
ax2
3 4
，
g(x)
x
a x
，对任意的
x1
[1, 2] ，存在
x2
[1, 2] ，使得
f x1 g x2 恒成立，则 a 的取值范围为__________.
【答案】
5 2
,
4
【解析】
【分析】
对任意的 x1 [1, 2] ，存在 x2 [1, 2] ，使得 f x1 g x2 恒成立，等价于
到结果.
f (x 1) 1
f (x 2) 1 f (x)
【详解】由
f (x) ，得
f (x 1)
，
所以 f (x) 是周期为 2 的周期函数，
所以 f (2 x) f (x) ，因为 f (x) f (2 x) 0 ， 所以 f (x) f (x) 0 ，
所以 f (x) 是奇函数， 故答案为：奇函数. 【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周 期性来完成，属于简单题目.
【详解】当 a 1时：函数 y f (x) ax 单调递增，
f 2 a2 2, f (4) a4 4a 2
；
当 0 a 1时：函数
y
f
(x) ax 单调递减，
f
2 a2
4,
f (4) a4
2
，无解.
综上所述： a 2
故答案为 2
【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握.
【答案】 (,1]
【解析】
【分析】
首先将函数解析式进行化简，之后令
2x
1
t
(1,
)
，将函数化为
y
t
c t
1
t (1, ) ，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围.
f (x) 4x 2x c 2x (2x 1) c 2x c (2x 1) c 1
【详解】
2x 1
2x 1
2x 1
.
【解析】
【分析】
首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使 f (4a2 6a) f (4a) ，会出
现哪些情况，列出对应的式子求解即可.
1 x x 31 , x 1
f (x)
x
1
x3
1
x 1
x
3 1
,1
x
3
【详解】因为
x
1
x
3
1
,
x
3
，
3, x 1
f
(x)
2x
所以 c 的取值范围为 (,1] ，
故答案为： (,1] .
【点睛】该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点
有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目.
10.关于 x 的方程 x2 8 m x2 2 有两个不同解，则 m 的取值范围为_________.
8.函数
y
x2
x 2x
5
单调递增区间为_______.
【答案】[ 5, 5]
【解析】 【分析】
首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当 x 0 时，将函数解析式进行变
y 1
x 5 2
u x 5
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形得到
x ，再利用
x 的单调区间，结合复合函数的单调性法则，确定出
函数
y
x2
x 2x
5
本身的单调增区间，求得结果.
【详解】因为函数
y
x2
x 2x
5
的定义域为 R
，
y 1
当 x 0 时，
x 5 2 x，
u
因为
x
5 x
在
(,
5) 和(
5, ) 上单调递增，在[
5, 0) 和 (0,
5] 上单调递减，
y 1
根据复合函数单调性法则，可知
x
5 x
2
应该在
[
5, 0) 和 (0,
5] 上单调递增，
y x 而函数 x2 2x 5 本身在 x 0 处有意义，且函数图象不间断，
f (x)min g(x)max 在区间[1, 2] 上恒成立，对 a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出
f (x)min 和 g(x)min ，列出关于 a 的不等式组求得答案.
【详解】当 a 0 时，
f
(x)
ax2
3 4 在区间[1, 2] 上单调递减，
f
( x)min
f
(2)
4a
3 4，
g(x)
x
a x
在区间[1, 2] 上单调递增，
g ( x)min
1 a，
4a 3 1 a
a 1
所以 4
，解得 12 ，因为 a 0 ，所以无解；
当a
0 时，可知
f
( x)min
f
(1)
a
3 4
，
当
0
a
1时，
g
(
x)
x
a x
在区间
[1,
2]
上单调递增，其最小值为
g
(1)
1
a
，
0 a 1
所以有
所以函数
y
x2
x 2x
5
的增区间是 [
5,
5] ，
故答案为：[ 5, 5] .
【点睛】该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区
间，复合函数单调性法则，属于简单题目.
f (x) 4x 2x c
9.函数
2x 1 在定义域上单调递增，则 c 的取值范围__________.
【答案】[0, )
【解析】
【分析】
根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案.
(1)x 0
(1)x 1 1
【详解】因为 2
，所以 2
，
(1)x 1 0
y
根据根式有意义，有 2
，所以
(1)x 2
1
的值域为 [0,
)
，
故答案为：[0, ) .
【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目.
令 x2 t (0,8) (8, ) ，
m t2
则方程
t 8 只有一个正根，
m t2
画出函数
t 8 的图象如图所示：
(1 ,1]
可知所求 m 的 取值范围是： 4 ，
(1 ,1] 故答案为： 4 . 【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，
注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目.
件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.
7.己知函数
f
(x) 定义域为 R
，且恒满足
f
(x)
f
(2 x)
0，
f
(x 1)
f
1 (x)
，则函数
f (x) 的奇偶性为________. 【答案】奇函数 【解析】 【分析】
f (x 1) 1
由
f (x) ，能导出 f (x) 是周期为 2 的周期函数，由此能够证明 f (x) 是奇函数，得
2
故答案为： x 3 .
【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.
4.若指数函数 y ax 的定义域和值域都是 2, 4 ，则 a _________；
【答案】 2
【解析】 【分析】
讨论 a 1和 0 a 1两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.
上海市上海中学 2019-2020 学年高一数学上学期期末考试试题（含解
析）
一.填空题
1.方程 lg(2x 1) lg x 1 的解为_________.
x=1
【答案】
8
.
【解析】
【分析】
在保证对数式的真数大于 0 的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程
得答案.
【详解】因为
lg(2
【详解】因为
3 a2 3a
0
log3
，所以
3 a2 3a
log3 1
，
因为函数 y log3 x 是 (0, ) 上的单调增函数，
0 3 a2 1 所以有 3 a ，解得 0 a 1，
所以 a 的取值范围是 (0,1) ，
故答案为： (0,1) .
【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条
2.5 4a2 6a 3 2.5 4a 3 ③ 4a2 6a 4a ，无解.
1 4a2 6a 3 1 4a 3 ④ 4a2 6a 4a 5 ，无解；
⑤
4a2 6a
4a
3
3
，解得
a
3 4
，
4a2 6a 2
⑥
4a
3
，无解；
⑦
4a2 6a
4a
2
3
，解得
a
1 2
2x 1 ，
令 2x 1 t (1, ) ，且 t 随 x 的增大而增大，
且当
c
0
时，
y
c t
在
(1,
)
上是增函数，
所以函数
y
t
c t
1
在
(1,
)
上是增函数，
所以函数
f
(x)
4x
2x 2x 1
c
在定义域上是增函数，
当
c
0
时，函数
y
t
c t
1
在
[
c, ) 上是增函数，
所以 c 1 ，即 c 1 ，
13.设 f (x) 是定义域为 R 的偶函数，且在 (, 0) 递增，下列一定正确的是（ ）
2 3
f (0) f 2 3 f 2 2
A.
f
3 2 2
f
2 2 3
f
log3 4
C.
【答案】C
f
2 2 3
f
3 2 2
f
log3 4
B.
5
,1
x
3
即
1, x 3
，
画出函数图象如图所示：
可以看到 f (2) f (3) 1，
要使 f (4a2 6a) f (4a) ，则有以下几种情况：
①
4a 4a
2 6a 1
1
，解得
3
4
13
x
3 4
13
；
1 4a2 6a 2.5 1 4a 2.5 ② 4a2 6a 4a ，无解；
D.
f
log3
1 4
f
2 2 3
f
3 2 2
【解析】
【分析】
首先根据偶函数在 (, 0) 上递增，得到其在 (0, ) 上递减，将自变量放在同一个单调区间，
借助于自变量的 大小，得到函数值的大小，从而得到结果
【详解】因为函数 f (x) 是定义域为 R 的偶函数，且在 (, 0) 上递增，
所以函数 f (x) 在 (0, ) 上递减，
3
因为 0 2 2
2
2 3 ，所以
f (0)
3
f (2 2 )
2
f (2 3 ) ，所以 A 项不正确；
3
2
3
2
2 2 2 3 1 log3 4 ，所以 f (2 2 ) f (2 3 ) f (log3 4) ，
【答案】
1 4
,1
【解析】
【分析】
m x2 2 x2 8
m t2 t 8
根据式子的意义，将式子转化为
，将方程有两个不同的解转化为
只有
一个正根，画出函数图象求得结果.
【详解】因为 x2
2 0 恒成立，所以原式可化为
x2
8
m
x2
2
，
m x2 2
x2 8 0
x2 8
可知
，所以
，
因为方程有两个不同的解，所以 x 0 不是方程的根，
意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.
12.已知函数 f (x) || x 1| | x 3 | 1| ，若 f 4a2 6a f (4a) ，则实数 a 的取值范围
为_______.
3
【答案】
4
13 , 3 4
13
1 2
3 4
,
x
1)
lg
x
1
，所以
lg
2x x
1
lg10
，
x 0
2x
1
0
2x
1
10
所以 x
，
x=1 解得 8 ，
x=1 故答案为： 8 .
【点睛】该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条
件，对数式的运算法则，属于基础题目.
y
2.函数
1 2
x
1
的值域为________.
3.若幂函数图像过点 (8, 4) ，则此函数的解析式是 y ________.
2
【答案】 x 3
【解析】
【分析】
先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项.
【详解】设幂函数的解析式为 y x ，
由于函数图象过点 (8, 4)
，故有
4
8
，解得
2 3
，
2
所以该函数的解析式是 y x 3 ，
故答案为 2 x 4(x 0)
【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.
log3
6.若
3 a2 3a
0 ，则实数 a 的取值范围是_______.
【答案】 (0,1)
【解析】
【分析】
将 0 写成 1 的对数，之后根据函数的单调性整理出关于 a 的不等式组，求得结果.
log3