数学归纳法练习及解答过程

数学归纳法练习及解答过

程

Prepared on 21 November 2021

第七节数学归纳法

知识点数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

易误提醒运用数学归纳法应注意：

(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．

(2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．

[自测练习]

1．已知f(n)＝1

n

＋

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

n2

，则( )

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝1

2

＋

1

3

B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1

2

＋

1

3

＋

1

4

C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝1

2

＋

1

3

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1

2

＋

1

3

＋

1

4

解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且

f(2)＝1

2

＋

1

3

＋

1

4

，故选D.

答案：D

2．(2016·黄山质检)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－1

2

＋

1

3

－

1

4

＋…＋

1

n＋1

＝2

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

n＋2

＋

1

n＋4

＋…＋

1

2n

时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题

为真，则还需要用归纳假设再证n＝( )时等式成立( )

A．k＋1 B．k＋2

C．2k＋2 D．2(k＋2)

解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n＝k(k≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B.

答案：B

考点一用数学归纳法证明等式|

求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n ∈N*)．

[证明] (1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝

2k·1·3·5·…·(2k－1)．

当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2)

＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)

＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)

＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．

这就是说当n＝k＋1时，等式成立．

根据(1)，(2)知，对n∈N*，原等式成立．

1．用数学归纳法证明下面的等式：

12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1nn＋1 2

.

证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，

右边＝(－1)0·1×1＋1

2

＝1，

∴原等式成立．

(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，

即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1kk＋1 2

.

那么，当n＝k＋1时，则有

12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1kk＋1

2

＋(－

1)k·(k＋1)2

＝(－1)k·k＋1

2

[－k＋2(k＋1)]

＝(－1)k k＋1k＋2

2

.

∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n∈N*，有

12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1nn＋1

2

.考点二用数学归纳法

证明不等式|

设数列{a n}各项均为正数，且满足a n＋1＝a n－a2n.

求证：对一切n≥2，都有a n≤

1

n＋2

.

[证明] ∵数列{a n}各项均为正数，且满足a n＋1＝a n－a2n，∴a2＝a1－a21>0，解得0

当n＝2时，a3＝a2－a22＝1

4

－

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

a

2

－

1

2

2≤

1

4

，不等式成立，

假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即a k≤

1

k＋2

，

则当n＝k＋1时，a k＋1＝a k－a2k＝1

4

－

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

a

k

－

1

2

2≤

1

4

－

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

k＋2

－

1

2

2＝

k＋1

k＋22

<

k＋1

k＋1k＋3

＝

1

k＋1＋2

，

∴当n＝k＋1时，不等式也成立，

由数学归纳法知，对一切n≥2，都有a n≤

1

n＋2

.

2．数列{a n}满足a n＋1＝

a

n

2a n＋1

，a1＝1.