高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习题三的答案
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3.30 设随机变量X与Y独立同分布,X的分布列为 P(X=k)=1/2k,k=1,2,…. 试求(1)Z=X+Y的分布列;(2)Z=min(X,Y)的分布列 解 (1) P ( Z k ) P ( X Y k )
P( X 1, Y k 1) P( X 2,Y k 2)
其他
0 x z
f Z ( z) 11dx z ,
0
当 1 z 2 时,
1 z 1
z 1 x 1
f Z ( z) 11dx 2 z ,
0 z 1 z, f Z ( z ) 2 z, 1 z 2 . 0, 其他
y
2e2 y dy
1 1 2 e 2 2
G
0
x y 1
1
x
3.32 设随机变量X与Y独立同均匀分布U[0,1],求Z=X+Y 的概率密度 1, 0 x 1 解 f X ( x) 其他 0, 由卷积公式 ,
f Z ( z)
f X ( x) fY ( z x)dx ,
k 1 i 1
P ( X k 1, Y 1)
k 1 i 1
P ( X i , Y k i ) P ( X i ) P (Y k i )
k 1 1 1 1 k 1 i k i k k ( k 2, 3, ) 2 2 i 1 2 i 1 2 k 1
2e 2 y , 0 x 1, y 0 f ( x, y) f X ( x) fY ( y) 其他 0,
2e2 y , 0 x 1, y 0 f ( x, y ) 其他 0,
解 (2) P( X Y 1)
dx
0 1 1 x 0
3.30 设随机变量X与Y独立同分布,X的分布列为 P(X=k)=1/2k,k=1,2,…. 试求(1)Z=X+Y的分布列;(2)Z=min(X,Y)的分布列 解 (2) P( Z k ) P (min( X , Y ) k ) P( X k ,Y k ) P ( X k ,Y k i ) P ( X k i ,Y k )
3.36 设随机变量(X,Y)的联合分布列为 Y 1 2 3 0 X 1 0.15 0.02 0.15 0.07
0
1
0.06
0.1
0.05 0.15
0.02 0.05
0.03 0.15
求(2)V=min(X,Y)的分布列 解 (2)V所有取值为－1,0,1,
U
P
1
wk.baidu.com
0
0.26
1
0.39
0.35
3.36 设随机变量(X,Y)的联合分布列为 Y 1 2 3 0 X 1 0.15 0.02 0.15 0.07
1 3 k i 4 i 1 2
( k 1, 2, 3, )
3.31 设随机变量X与Y相互独立,X服从均匀分布 U[0,1],Y服从参数为2的指数分布,求(1)(X,Y)的联合 概率密度(2)P(X+Y≤1) 2 y 1, 0 x 1 2e , y 0 解 (1) f X ( x) fY ( y ) 其他 其他 0, 0, ∵X,Y相互独立
3.36 设随机变量(X,Y)的联合分布列为 Y 1 2 3 0 X 1 0.15 0.02 0.15 0.07
0
1
0.06
0.1
0.05 0.15
0.02 0.05
0.03 0.15
求(1)U=max(X,Y)的分布列 解 (1)U所有取值为0,1,2,3
U
P
0
0.21
1
2
3
0.32
0.22
0.25
0
1
0.06
0.1
0.05 0.15
0.02 0.05
0.03 0.15
(4)P( X 1 Y 2), P(Y 3 X 0)
P( X 1, Y 2) 0.05 5 解 (4) P( X 1 Y 2) 0.22 22 P(Y 2)
3 P( X 0, Y 3) 0.03 P(Y 3 X 0) 0.16 16 P( X 0)
0 x 1 0 x 1 仅当 , 即 时, 0 z x 1 z 1 x z
上述积分的被积函数才不等于0 ,
z 0且z 1 1 即0 z 2
1, f X ( x) 0,
当 0 z 1 时,
z
0 x 1
0
1
0.06
0.1
0.05 0.15
0.02 0.05
0.03 0.15
求(3)W= X+Y的分布列 解 (3)W所有取值为－1,0,1,2,3,4
W
P
1
0
1
2
3
0.08
4
0.15 0.08
0.3
0.24
0.15
3.36 设随机变量(X,Y)的联合分布列为 Y 1 2 3 0 X 1 0.15 0.02 0.15 0.07
i 1
i 1
P ( X k ) P (Y k ) P ( X k ) P (Y k i ) P ( X k i )P (Y k )
i 1 i 1
1 1 1 1 1 2 k k 2 k k i 2 k 2 k 2 2 2 2 2 i 1 2
P( X 1, Y k 1) P( X 2,Y k 2)
其他
0 x z
f Z ( z) 11dx z ,
0
当 1 z 2 时,
1 z 1
z 1 x 1
f Z ( z) 11dx 2 z ,
0 z 1 z, f Z ( z ) 2 z, 1 z 2 . 0, 其他
y
2e2 y dy
1 1 2 e 2 2
G
0
x y 1
1
x
3.32 设随机变量X与Y独立同均匀分布U[0,1],求Z=X+Y 的概率密度 1, 0 x 1 解 f X ( x) 其他 0, 由卷积公式 ,
f Z ( z)
f X ( x) fY ( z x)dx ,
k 1 i 1
P ( X k 1, Y 1)
k 1 i 1
P ( X i , Y k i ) P ( X i ) P (Y k i )
k 1 1 1 1 k 1 i k i k k ( k 2, 3, ) 2 2 i 1 2 i 1 2 k 1
2e 2 y , 0 x 1, y 0 f ( x, y) f X ( x) fY ( y) 其他 0,
2e2 y , 0 x 1, y 0 f ( x, y ) 其他 0,
解 (2) P( X Y 1)
dx
0 1 1 x 0
3.30 设随机变量X与Y独立同分布,X的分布列为 P(X=k)=1/2k,k=1,2,…. 试求(1)Z=X+Y的分布列;(2)Z=min(X,Y)的分布列 解 (2) P( Z k ) P (min( X , Y ) k ) P( X k ,Y k ) P ( X k ,Y k i ) P ( X k i ,Y k )
3.36 设随机变量(X,Y)的联合分布列为 Y 1 2 3 0 X 1 0.15 0.02 0.15 0.07
0
1
0.06
0.1
0.05 0.15
0.02 0.05
0.03 0.15
求(2)V=min(X,Y)的分布列 解 (2)V所有取值为－1,0,1,
U
P
1
wk.baidu.com
0
0.26
1
0.39
0.35
3.36 设随机变量(X,Y)的联合分布列为 Y 1 2 3 0 X 1 0.15 0.02 0.15 0.07
1 3 k i 4 i 1 2
( k 1, 2, 3, )
3.31 设随机变量X与Y相互独立,X服从均匀分布 U[0,1],Y服从参数为2的指数分布,求(1)(X,Y)的联合 概率密度(2)P(X+Y≤1) 2 y 1, 0 x 1 2e , y 0 解 (1) f X ( x) fY ( y ) 其他 其他 0, 0, ∵X,Y相互独立
3.36 设随机变量(X,Y)的联合分布列为 Y 1 2 3 0 X 1 0.15 0.02 0.15 0.07
0
1
0.06
0.1
0.05 0.15
0.02 0.05
0.03 0.15
求(1)U=max(X,Y)的分布列 解 (1)U所有取值为0,1,2,3
U
P
0
0.21
1
2
3
0.32
0.22
0.25
0
1
0.06
0.1
0.05 0.15
0.02 0.05
0.03 0.15
(4)P( X 1 Y 2), P(Y 3 X 0)
P( X 1, Y 2) 0.05 5 解 (4) P( X 1 Y 2) 0.22 22 P(Y 2)
3 P( X 0, Y 3) 0.03 P(Y 3 X 0) 0.16 16 P( X 0)
0 x 1 0 x 1 仅当 , 即 时, 0 z x 1 z 1 x z
上述积分的被积函数才不等于0 ,
z 0且z 1 1 即0 z 2
1, f X ( x) 0,
当 0 z 1 时,
z
0 x 1
0
1
0.06
0.1
0.05 0.15
0.02 0.05
0.03 0.15
求(3)W= X+Y的分布列 解 (3)W所有取值为－1,0,1,2,3,4
W
P
1
0
1
2
3
0.08
4
0.15 0.08
0.3
0.24
0.15
3.36 设随机变量(X,Y)的联合分布列为 Y 1 2 3 0 X 1 0.15 0.02 0.15 0.07
i 1
i 1
P ( X k ) P (Y k ) P ( X k ) P (Y k i ) P ( X k i )P (Y k )
i 1 i 1
1 1 1 1 1 2 k k 2 k k i 2 k 2 k 2 2 2 2 2 i 1 2