中考数学专题题库∶反比例函数的综合题及答案解析

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．

（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C （﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；

（2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为，那么k=________；（可在图1中进行研究）

（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．

①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．

②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．

【答案】（1）3；

（2）﹣4

（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF 垂直），

；

②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，

由得，即点M（﹣，），

由得：，即点N（﹣，），

则﹣≤x≤﹣，

图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），

即图形W与图形N之间的距离为d，

d=

=

=

∴当x=﹣时，d的最小值为 = ，

即图形W和图形N之间的距离．

【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 = ，

故答案分别为：3，；

（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为，

∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）．

过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，

由得，即点F（﹣，），

则OF= = ，

∴OE=OF+EF=2 ，

在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，

则有OG=EG= OE=2，

∴点E的坐标为（﹣2，2），

∴k=﹣2×2=﹣4，

故答案为：﹣4；

【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；

（2）根据题意即可得k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EG⊥x 轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF 求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（﹣2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.

（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；

②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即

可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d 最小值.

2．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，

y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．

（1）求反比例函数y= 的解析式；

（2）求点P2和点P3的坐标；

（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）．

【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，

则B1与P1关于y轴对称，

∵B1（﹣1，1），

∴P1（1，1）．

则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=

（2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，

又点P1的坐标为（1，1），

∴OA1=2，

设点P2的坐标为（a，a+2），

代入y=得a=-1，

故点P2的坐标为（-1，+1），

则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，

设点P3的坐标为（b，b+2），

代入y=（>0）可得b=-，

故点P3的坐标为（-，+）

（3）1；（-，+）

【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，…

∴△P n B n O的面积为1，

由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ），

故答案为：1、（﹣， +）．

【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；

（2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；

（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.

3．如图，点P（ +1，﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．