振动之同方向的简谐振动的合成

这种振动的振幅变化是周期性的， 相对于简谐振动来说是缓慢的。
fp
1 Tp
| 2
2π
1
2π
||
f2
f1 | .
由于余弦函数的绝对值的周期 为π，设时间周期为Tp，则有
|
2
1
2
| Tp
π
因此拍频如上
不妨设两 个振动的 初相都为 零，第一 个角频率 为π/2，第 二个角频 率比第一 个角频率 大Δω = π/10。
x
x1
x2
2 A cos(2
1
2
t) cos(2
1
2
t
成之后不是简谐振动， )也没有明显的周期性。
当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：|ω2 - ω1| << ω2 + ω1，方程就表示了振幅按2Acos[(ω2 - ω1)t/2]变化 的角频率为(ω2 + ω1)/2的“近似”的简谐振动。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
[讨论] x = cos(ωt + φ), A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
①当两个分振动同相时 Δφ = φ2 - φ1 = 2kπ,(k = 0，±1，±2，...) 因为cos(φ2 - φ1) = 1，所以
A A12 A22 2A1A2 A1 A2
合振幅等于原来两个简谐振动的 振幅之差的绝对值，振动减弱。
如果A1 = A2，则合振动的 结果使质点处于静止状态。
一般情况下，合振幅介于A1 + A2和|A1 - A2|之间。
如果第一个振 动的振幅和初 相分别为 0.03m和0，
第二个振动 的振幅和初 相分别为 0.04m和0，
两个振动同相， 合振动加强，振 幅达到0.07m 。
因为质点振幅的改变是周期性的，就形成 时强时弱的现象，这种现象称为“拍”。
如果将两 个振动的 角频率之 差改小一 些，例如
Δω = π/ 15，两个 振动的最 大值重合 的周期随 着发生变 化。
两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大。
n个简谐振动可表示为 x1 = ΔAcosωt，x2 = ΔAcos(ωt + Δφ)， x3 = ΔAcos(ωt + 2Δφ)，…，xn = ΔAcos[ωt
+
φ ΔA2Δφ ΔA 1 (n - 1)Δφ]
根据矢量合成法则，这
由于各个振动的振幅相同且相差
些简谐振动对应的旋转
恒为Δφ，图中各个矢量的起点和
ΔA 1
这是多个等幅同频振动的初相公式。
合振动为x = Acos(ωt + φ) A sin(n / 2) cos(t n 1 )
sin( / 2)
2
这是多个等幅同频振动的振动公式。
当Δφ→0时，有A→nΔA， φ→0，这就是等幅同频同 相振动合成的情况。
如果nΔA = 2π，就是 所有矢量旋转构成一 个正多边形，则A = 0。
拍频为fp = Δω/2π = 1/20Hz，拍频的周期为T p = 1/fp = 20s。
一条曲线的角频率较大，是两个分振动的角频率的 平均值；另一条曲线的角频率较小，称为调制线。
每经过 20s， 两个振 动的最 大值重 合。经 过10s， 两个振 动的极 大值和 极小值 重合。
调制线决定了振幅的范围。
矢量的合成如图所示。
终点都在以C为圆心的圆周上。
设圆的半径为r，每个矢量对 A 2r sin
应的圆心角都是Δφ ，因此
2
这是多个 等幅同频
全部矢量对应的圆 心角是nΔφ，因此
A 2r sin n
2
A sin(n / 2) sin( / 2)
振动的合 振幅公式。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
[解析](3)设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振 动，角频率分别为ω1和ω2，为了突出频率不同所产生的效果， 设分振动的振幅和初相位都相同，因此两个分振动方程为
x1 = Acos(ω1t + φ)，x2 = Acos(ω2t + φ) 可见：两个同方向不
利用和差化积公式可得合振动为
同频率的简谐振动合
(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都
是ΔA，相差都是Δφ，第一个振动的初相为零。求N个C
简谐振动的振幅和初相。
nΔφ
M Δφ ΔA5
振幅 A A sin(n / 2)
r Δφ A ΔA 4Δφ
sin( / 2)
初相为
1 (π ) 1 (π n) n 1
2
2
2
ΔA 3Δφ φ ΔA2Δφ
ωM ω
A2 A ω
φ2
φ φ1
A1
P
可见：合振幅等于原来两个简谐 振动的振幅之和，振动加强。
②当两个分振动反相时
O x2 x1
x
x
Δφ = φ2 - φ1 = (2k + 1)π ,(k = 0，±1，±2，...)
因为cos(φ2 - φ1) = -1，所以 A A12 A22 2A1A2 | A1 A2 |
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都
是ΔA，相差都是Δφ，第一个振动的初相为零。求n个 C
简谐振动的振幅和初相。
nΔφ
M Δφ ΔA5
[解析](2)采用旋转矢量法可使问题得到 r Δφ A ΔA 4Δφ
简化，从而避开烦琐的三角函数运算。
Байду номын сангаас
ΔA 3Δφ
如果有7个分振动，相差依次为20度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定。
将各个 分振动 叠加之 后，振 幅越来 越大， 初位相 也越来 越大。
矢量首尾相接形成多边形的
一部分，最后首尾相接的矢 量就是合振动，合振幅为A = 5.4ΔA ，初相为60度。
取10 个分 振动， 相差 依次 为30 度。
如果两个振动 的振幅不变， 角度分别是0 和90，x2超前 x1的相位π/2，
合振幅为 0.05m，初 相的度数 达到53。
如果将两 个角度数 改为0和 180，则两 个振动反 相，合振 动减弱， 振幅只有 0.01m。
如果将两个角度数改为0和90，x2滞后x1的相位π/2。
除了同相和反相 的情况外，合振 动的极大值的横 坐标处在两个分 振动的极大值的 横坐标之间。
当各振 动逐级 叠加时， 合振幅 先增加 再变小。
合振幅为A = 1.9 ΔA，初相为135度。
如果分振动的相差为零，那 么，正多边形变成一条线。
取12个分振动，相差依 次为30度，分振动就构 成一个完整的正多边形， 合振幅为零。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(3)求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动。