高中数学竞赛函数试题1

高中数学竞赛函数试题1

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高中数学竞赛 函数练习题

（幂函数、指数函数、对数函数）

一、选择题

1．定义在R 上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x +1)，则

A ．g(x)=x, h(x)=lg(10x +10-x +2)

B ．g(x)=

21[lg(10x +1)+x], h(x)=2

1[lg(10x +1)－x] C ．g(x)=21x, h(x)= lg(10x +1)－2

1x D ．g(x)=－21x, h(x)= lg(10x +1)－21x 2．若(log 23)x －(log 53)x ≥(log 23)-y －(log 53)-y ，则

A ．x －y ≥0

B ．x+y ≥0

C ．x －y ≤0

D ．x+y ≤0

3．已知f(x)=ax 2－c 满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是

A ．7≤f(3)≤26

B ．－4≤f(3)≤15

C ．－1≤f(3)≤20

D ．－338≤f(3)≤3

35 4．已知f(n)=log n (n+1) (n ∈N*且n ≥2)，设∑=10232)(100log 1

n n f =p q (p,q ∈N*且(p,q)=1)，则p+q= A ．3 B ．1023 C ．2000 D ．2001

5．如果y=log 56•log 67•log 78•log 89•log 910，则

A ．y ∈(0,1)

B ．y=1

C ．y ∈(1,2)

D ．y ∈[2,3]

6．若实数a, x 满足a>x>1，且A=log a (log a x)，B=log a 2x, C=log a x 2，则

A ．A>C>

B B ．C>B>A

C ．B>C>A

D ．C>A>B

7．设a>0,a ≠1，函数f(x)=log a |ax 2－x|在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是

A ．a>1

B ．a>1或61≤a<4

1 C ．a>1或

81≤a<41 D ．a>1或61

1 8．f(x)是同期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f(x)=2x －1，则f(24log 21)的值是 A ．－2423 B ．－65 C ．－25 D ．－2

1 二、填空题

9．设f(x)=lg(10x +1)+ax 是偶函数，g(x)=x x b 2

4-是奇函数，则a+b 的值为 。 三、解答题

4

10．已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(－x)，且当x ∈(-1,0)时，f(x)=2x 。

①证明：f(x+4)=f(x)；②求f(18log 2

1)的值。

11．解方程lg(4x +2)=lg2x +lg3。

12．设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--0

01221x x x x ，解不等式f(x)>1。

13．设f(x)=221

+x ，求f(－5)+f(－4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)。

14．求函数f(x)=3•4x －2x (x ≥0)的最小值。

15．设函数f(x)=|lgx|，若0f(b)，证明：ab<1。

16．设不等式2(x 21log )2+9x 2

1log +9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时，函数

f(x)=(log 2

2x )(log 28

x )的最大值、最小值。 17．已知实数t 满足关系式log a 3a t =log t 3a y (a>0,a ≠1) ①令t=a x ，求y=f(x)的表达式；

②若x ∈(0,2)时，y min =8，求a 和x 的值。

18．解不等式|x

2

1log 1+2|>23。 19．解不等式1log 2-x +2132

1log x +2>0。 20．已知a 、b 、c 、d 均为正整数，且log a b=

23, log c d=45，若a －c ＝9，求b －d 。 21．已知函数f(x)=ln[3x －x a a )22(23--]的定义域为(0,+∞)，求实数a 的取值范围。

22．解方程log 5(3x +4x )=log 4(5x －3x )。

23．设f(x)=lg n

a n n x x x +-+++)1(21Λ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数，且n ≥2。如果f(x)当x ∈(－∞,1)时有意义，求a 的取值范围。

24．f 是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数，满足条件：对任何x>1,y>1及u>0,v>0,都有f(x u •y v )≤u x f 41)

(•v y f 41)(成立，试确定所有这样的函数f 。

5

函数的最值

一、选择题

1．如果在区间[1,2]上，函数f(x)=x 2+px+q 与g(x)=x+

21x 在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是

A ．4+32211+34

B ．4－3225+34

C ．1－

3221+34 D ．以上答案都不对 2．已知x 、y 都在区间(－2,2)内，且xy=－1，则函数u=244x -+299y

-的最小值是 A ．58 B ．1124 C ．712 D ．5

12 3．已知a 、b 、c ∈R*，则f(x)=a x +2+b x c +-2)(的最小值是

A ．a +b c +2

B ．a c +2+b

C ．2

2c+a +b D ．22)(b a c ++ 二、填空题

4．f(x)=|x 2－a|在区间[－1,1]上的最大值M(a)的最小值为 。

5．函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在区间[－3,3]上的最小值是 。

6．若不等式|x －4|+|x －2|+|x －1|+|x|≥a 对一切实数x 成立，则a 的最大可能值是 。

三、解答题

7．在区间[

21,2]上，函数f(x)=－x 2+px+q 与g(x)=1

2+x x 在同一点取得相同的最大值，求f(x)在区间[21,2]上的最小值。 8．已知定义在R 上的函数f(x)对任意实数对(x,y)恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=－3

2。 ①求证：f(x)为奇函数；②求证：f(x)在R 上是减函数；③求f(x)在[－3,6]上的最值。 9．已知a 为正常数，x>0，求函数y=x+

x a +a x x +2的最小值。 10．已知f(x)=ax 2+bx+c ，其中a ∈N*,b ∈N,c ∈Z 。

①若b>2a ，且f(sinx) (x ∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求f(x)的最小值；

②若对任意实数x ，不等式4x ≤f(x)≤2(x 2+1)恒成立，且存在x 0，使得f(x 0)<2(x 02+1)成立，