概率论与数理统计期末复习资料讲解

概率的定义
概率：做n次重复试验，事件A发生的次数记为nA， 当n很大时，若频率 nA / n 稳定在常数P附近，则称 P为随机事件A发生的概率，记作P(A)=P。
fn ( A) P(A)(n )
概率的公理化定义：设E是随机试验，S是样本空 间，对E的每个随机事件A，赋予一个实数P(A)， 若它满足：
等可能概型（古典概型）
预备知识：排列、组合
1. 分类计数原理(加法原理)：设完成一件事有k类方 法，每类分别有m1, m2, , mk 种方法，则完成这件事 情共有m1 m2 mk 种方法.
2. 分步计数原理(乘法原理)：设完成一件事有k个步 骤，第一步有 m1种方法，…,第k步有 mk 种方法， 则完成这件事情共有m1m2 mk 种方法.
P(An | A1, A2 , An1)P(An1 | A1, A2, An2 ) P(A2 | A1)P(A1)
例7 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而 他随意地拨号，（1）求他拨号不超过3次而接通 所需电话的概率；（2）若已知最后一个数字是 奇数，那么此概率是多少？
乘法定理：设P(A)>0，则有P(AB)=P(B|A)P(A) 推广：P(AB)>0，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)
则 P(A1 A2
An ) P(A1) P( A2 ) P( An )
2. A 是A的对立事件，则 P A 1 P A
3. A B 则 P(B A)=P(B) P(A)
4. 一P(A B) P(A) P(B) P(AB) ，当A，B互斥 即AB
时 P(A B) P(A) P(B)
解：样本空间S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}。则可得：
P(B|A)＝1/3
条件概率的计算公式：
P
B|A
P AB P A
AB中包含的基本事件 A中包含的基本事件
例5 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7， 求其中有一颗为1点的概率.
例6
设P(A)= 1 ,P(A|B)= 1，P(B|A)= 2，求P(AB)，
5. P() 0, P(S) 1
6. P(A) 1
推广：P(A B C) P(A) P(B) P(C)
P(AB) P(AC) P(BC)
源自文库
P( ABC )
例2
已知P(A)=0.4,P(B)=0.25,P(A-B)=0.25,求P(AB), P(A B),P(B-A),P(AB).
Ch1 概率论的基本概念
1.随机现象、随机试验 2.样本空间、样本点 3.随机事件（事件）
基本事件
事 件
复合事件
不可能事件
事 件
必然事件
一般事件
事件间的关系与事件的运算
1. 事件间的关系
① 包含关系：事件A发生必然导致B发生，记为A B
② 相等关系：A B且B A，记为A=B。 ③ 积事件：事件A与B同时发生，记为AB。 ④ 和事件：事件A或B至少有一个发生，记为 A B ⑤ 差事件：事件A发生而B不发生，记为A-B。 ⑥ 互斥事件：事件A、B不能同时发生，即 AB ，又称A
① 非负性：0 P(A) 1 ② 规范性： P(S)=1 ，S为必然事件 ③ 可列可加性：若事件 A1, A2 , , An ,
P(A1 A2 ) P(A1) P( A2 )
中 Ai Aj ,i 则j
则称P(A)为事件A的发生概率。
概率的基本性质
1. 有限可加性：有限个两两互斥的事件 A1, A2, , An
4
2
3
P(B)，P(A B)。
乘法定理：设P(A)>0，则有P(AB)=P(B|A)P(A) 推广：P(AB)>0，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)
= P(C|AB) P(B|A)P(A) 设 A1, A2 , , An 为n个事件 (n 2) ，且 P(A1A2 An1) 0
P(A1A2 An ) P(An | A1A2 An1)P(A1A2 An1)
、B为互不相容事件。 ⑦ 逆事件：“A不发生”这一事件称为A的逆事件，记为 A
，A与 A 又称为对立事件。
AA , A A S A S A
2. 事件的运算律
① 交换律： A B B A; AB BA ② 结合律： ( A B) C A (B C);
( AB)C A(BC) ③ 分配律： ( A B)C ( AC) (BC);
例3 将3只球随机地放入4个杯子中，则杯子中 球的最大个数为1的概率为（ ）.
例4 从1至10共十个自然数中任取一个，然后
放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不
相同的概率等于（
）。
条件概率定义及计算
1. 定义：事件A已发生的条件下事件B发生的概率，称 为条件概率，记为P(B|A)。
例 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正面的情况，设 A={至少有一次为正面H}，B={两次掷出同一面}， 求P(B|A)
Cnm Anm m!
n! n(n 1) m!(n m)!
(n m 1) m!
等可能概型（古典概型）的定义及概率计算
1. 定义：具有以下性质的随机试验称为等可能概型
① 试验的样本空间的元素只有有限个 ② 试验中每个基本事件发生的可能性相同
2. 等可能概型中事件概率的计算公式：
P A k
n n为随机试验的总的结果数，即样本点的总数，k为事件A包 含的结果数。
3. 排列：从n个不同元素中取出m个元素，按一定次 序排成一列.
排列数：从n个不同元素中取出m个元素的所有排
列的个数记为 Anm,
Anm n(n 1)
(n
m
1)
(n
n! m)!
4. 组合：从n个不同元素中取出m个元素并成一组(与 顺序无关).
组合数：从n个不同元素中取出m个元素的所有组 合的个数，记为 Cnm,
A (BC) ( A B)( A C) ④ 对偶律（De Morgan德摩根律）：
A B AB; AB A B;
⑤ 减法： A B A AB AB
例1 某工人连续生产了三个零件，Ai 表示它生 产的第i个零件是正品(i 1, 2,3) ，试用 Ai 表示
以下事件： （1）没有一个是次品 （2）至少有一个是次品 （3）只有一个是次品 （4）至少有两个不是次品 （5）恰好有三个是次品