单元质量评估(三)

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单元质量评估(三)

第三章概率

(120分钟150分)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.下列事件中,随机事件的个数是( )

①如果a,b是实数,那么b×a=a×b;

②某地6月6日刮风下雨;

③当x是实数时,x2≥0;

④一个电影院某天的上座率超过50%.

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

2.（2011·江苏高考改编）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是( )

（A）1

8（B）1

4

（C）1

3

（D）1

2

3.(2011·顺义高一检测）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，分两次抽取，每次取后放回，则取出的小球标注的数字之和为3的倍数的概率是( )

(A)9

25 (B)8

25

(C)7

25

(D)6

25

4.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个

事件是( )

(A)“至少有一个黑球”与“都是黑球” (B)“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” (C)“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” (D)“至少有一个黑球”与“都是红球”

5.某产品分一、二、三级，其中只有一级是正品，若生产中出现正品的概率是0.97,二级品的概率为0.02，那么出现二级品或三级品的概率是( ) (A)0.01 (B)0.02 (C)0.03 (D)0.04

6.(2011·南京高一检测)从写上0,1,2,…,9的十张卡片中,有放回地每次抽一张,连抽两次,则两张卡片数字各不相同的概率是( ) (A)

910 (B) 1100 (C) 190

(D)1 7.如图，在一个边长为a 、b(a>b>0)的矩形内画一梯形，梯形上、下底分别为1

3

a 与12

a ，高为b.向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )

(A) 13

(B) 12

(C) 25

(D) 512

8.如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a 2

的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是( )

(A) 14

π- (B) 4

π (C) 18

π

- (D)与a 的取值有关

9.抛掷两枚骰子，则两枚骰子点数之和不大于4或不小于11的概率为( ) (A)

14 (B) 13 (C)34 (D) 25

10.下列说法不正确的是( )

(A)在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，这是公平的 (B)如果某种彩票中奖的概率为

1

10

，那么买10张彩票不一定能中奖 (C)不可能事件的概率不一定为0 (D)必然事件的概率一定为1

11.甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1，则称“甲、乙心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为( ) (A)

29 (B) 49 (C) 59 (D) 7

9

12.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.则所选3人中至少有1名女生的概率为( )

(A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 45

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）

13.在一个池塘里随机地捕捞到m 条鱼，作标记后放回，又随机地捕捞到n 条鱼，其中作过标记的有a 条，估计池塘中有______条鱼.

14.(2011·秦皇岛高一检测)今有四张卡片上分别写有“好”、“好”、“学”、“习”四个字，现将其随机排成一行，则恰好排成“好好学习”的概率是_____．

15.如图，四边形ABCD 为矩形，BC=1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是 ______． 16.有下列问题：

(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0．65，乙的命中率为0．60，则目标被命中的概率等于0．65＋0．60＝1．25

(2)一射手命中靶的内圈的概率是0．25，命中靶的其余部分的概率是0．50，则目标被命中的概率等于0．75

(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为2

1

2．由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1-2

12

=34 以上说法中正确的命题为_______．（请把正确的命题的序号都填上） 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.（10分）张华的朋友小明自远方来,小明乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.试求： (1)小明乘火车或乘飞机来的概率; (2)小明不乘轮船来的概率;

(3)如果小明来的概率为0.5,请问小明有可能是乘何种交通工具来的.

18.(12分)(2011·海淀高一检测）在甲、乙两个盒子中分别装有号为1、2、3、4的四个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个小球，每个小球被取出的可能

性相等.

(1)求取出两个小球标号恰好相同的概率;

(2)求取出的两个小球的标号至少有一个大于2的概率.

19.(12分)某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．

20.(12分)(2011·天津高考)编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:

(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：

(2)从得分在区间［20,30)内的运动员中随机抽取2人,

①用运动员编号列出所有可能的抽取结果;

②求这2人得分之和大于50的概率.

21.(12分)某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布如下图所示.

(1)请求出频率分布表中①、②处应填的数据；

(2)为了能选拔最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样法抽取6名学生进入第二轮面试，问第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?

(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行的面试，求第4组有一名学生被考官A面试的概率.

22.(12分)设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．

（1）若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

（2）若a是从区间［0,3］任取的一个数，b是从区间［0,2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

答案解析

1.【解析】选B.根据在一定条件下有可能发生,也有可能不发生的事件为随机事件知②④为随机事件,故选B.

2.【解析】选C.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）6个基本事件，其中一个数是另一个的两倍的有（1，2），（2，4）2个基本事件，所以其中一个数是另一个的两倍的概率是21

63

=.

3.【解析】选B.随机取出2个小球得到的结果数有5×5=25种.取出的小球标注的数字之和为3或6或9的结果为（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（5，4）共8种，故所求答案为B.

4.【解析】选C.由互斥、对立事件的定义知A、B不是互斥事件，C是互斥事件但不对立，D是对立事件.

5.【解析】选C.由对立事件的概率公式可得1-0.97=0.03.

6.【解析】选A.总的基本事件为{(x,y)|0≤x≤9,0≤y≤9,x∈N,y∈N}，基本事件总数n=100，记A＝“两张卡片数字各不相同”，A＝“两张卡片数字相同”＝{（0，0），（1，1），…，（9，9）}，事件A含基本事件数m=10,所以

P(A)=1-P(A)=m109

1

n10010

=-=.

7.【解析】选D.记事件“所投的点落在梯形内部”为A，由几何概型得P(A)=

1 2(1

3

a+1

2

a)×b/ab=5

12

.

8.【解析】选A.阴影部分的面积=边长为a的正方形的面积－半径为a

2

的圆的面

积=a2-π(a

2)2=4

4

-πa2.所以击中阴影部分的概率为：

P=

2

2

4

a4

4

a4

-π

-π

==

阴影部分的面积

正方形的面积

.

9.独具【解题提示】解答本题可先用图表列出所有可能的结果，然后根据图表统计两枚骰子点数之和不大于4或不小于11的基本事件个数，进而求出相应的概率.

【解析】选A.抛掷两枚骰子，所有可能的结果有36种，记A=“点数之和不大于4”，则A包含的基本事件为（1,1）（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（3,1）共6个，B=“点数之和不小于11”，B包含的基本事件为（5,6）（6,5）（6，6）共3个，且A、B互斥，因此所求概率为P(A+B)=631

36364

+=.

10.【解析】选C.对于A：因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5.故A正确；买10张彩票相当于做10次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，10张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖，故B正确，由不可能事件、必然事件的概念知C错误，D正确.

11.独具【解题提示】可用列表法得出所有的基本事件.

【解析】选B.

∵a,b∈{1,2,3,4,5,6}

∴a-b所有可能的结果如图所示，

共有36种不同结果，而|a-b|≤1的结果共有16种.

因此P（|a-b|≤1）=164

=.

369

12.【解析】选A.从编号为男1、2、3、4号和女5、6号的6个人中选3人的方法数有

（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，5）、（1，2，6）、

（1，3，4）、（1，3，5）、（1，3，6）、

（1，4，5）、（1，4，6）、

（1，5，6）、

（2，3，4）、（2，3，5）、（2，3，6）、

（2，4，5）、（2，4，6）、

（2，5，6）、

（3，4，5）、（3，4，6）、（3，5，6）

（4，5，6）、

共20种方法.

方法1 所选3人都是男生的情况有（1，2，3）、（1，2，4）、（2，3，4）、（1，3，4）共4种方法，故所选3人都是男生的概率为41

=

205

“所选3人中至少有1名女生”的对立事件为“所选3人都是男生”，故所求事

件的概率为14155

-=.

方法2 “所选3人中至少有1名女生”是两互斥事件“所选3人中恰有1名女生”、“所选3人中恰有2名女生”的和事件，所选3人中恰好有1名女生的情况有（1，2，5）、（1，2，6）、（2，3，5）、（2，3，6）、（3，4，5）、（3，4，6）、（1，3，5）、（1，3，6）、（1，4，5）、（1，4，6）、（2，4，5）、（2，4，6）共12种方法，

所选3人中恰好有2名女生的情况有（1，5，6）、（2，5，6）、（3，5，6）、（4，5，6）4种情况，故所选3人中至少有1名女生的概率为124420205

+=. 独具【方法技巧】解决概率综合题的方法：

解答概率综合题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥事件，然后运用加法公式求解或采用其对立事件求解，运用“正难则反”的思想进行转化，以简化解答过程.

13.【解析】设池塘中有x 条鱼，则应有n a

x

m

=

， 解得x=

mn

a . 答案: mn

a

14.独具【解题提示】可用树图法不重不漏写出所有的基本事件.

【解析】总的基本事件为：好好学习，好好习学，好学好习，好习好学，好学习好，好习学好，学好好习，学好习好，学习好好，习好好学，习好学好，习学好好，共12个，故恰好排成“好好学习”的概率为112

. 答案:

112

15.【解析】如图，连结AC 交圆弧DE 为点M,当点P 在圆弧ME 上时，直线AP 与线段BC 有公共点.则直线AP 与线段BC 有公共点的概率为

BAM 301

BAD 903

∠?==∠?的度数的度数.

答案:1

3

16.【解析】(1)不正确．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥．

(2)正确．因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件．

(3)不正确．因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1．

答案:（2）

17.【解析】（1）记“小明乘火车来”为事件A1，“小明乘轮船来”为事件A2，“小明乘汽车来”为事件A3，“小明乘飞机来”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥.

故P(A1∪A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.

即小明乘火车或乘飞机来的概率为0.7.

(2)P(

A)=1-P(A2)=1-0.2=0.8.

2

即小明不乘轮船来的概率为0.8.

(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,

1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.1+0.4)=0.5,

故小明有可能是乘火车或轮船来;也有可能是乘汽车或飞机来.

18.【解析】利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果：

可以看出，试验的所有可能结果有16种，且每种结果都是等可能的.

(1)所取两个小球上的标号为相同整数的结果有1-1，2-2，3-3，4-4共4种.

根据古典概型公式，所求概率P=

41164

=. 即取出的两个小球上的标号为相同整数的概率为14

.

(2)记事件“取出两个小球上的标号至少有一个大于2”为A ，

所取出的两个小球上的标号都不大于2的结果有1-1，1-2，2-1，2-2，共4种. 故P （A ）=

41164=,P(A)=1-P(A )=34

. 即取出的两个球上的标号至少有一个大于2的概率为3

4

.

19.独具【解题提示】到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的.

【解析】设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于［50,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=

60501606-=，即此人等车时间不多于10分钟的概率为1

6

． 独具【方法技巧】转化与化归思想的应用

在许多实际问题中，其几何概型特征并不明显，要能将它们转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．如与时间有关的等候问题、约会问题，与数域有关的点集问题等等. 20.【解析】(1)4,6,6

(2)①得分在区间［20,30)内的运动员编号为A 3,A 4,A 5,A 10,A 11,A 13.从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{A 3,A 4},{A 3,A 5},{A 3,A 10},{A 3,A 11},{A 3,A 13},{A 4,A 5}, {A 4,A 10},{A 4,A 11},{A 4,A 13},{A 5,A 10}，{A 5,A 11},{A 5,A 13},{A 10,A 11},{A 10,A 13},{A 11,A 13},共15种.

②“从得分在区间［20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有:{A 4,A 5},{A 4,A 10},{A 4,A 11},{A 5,A 10},{A 10,A 11},共

5种.

所以P(B)=51

.

153

21.【解析】(1)由题可知,

第2组的频数为0.35×100=35（人），

=0.300.

第3组的频率为30

100

(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的学生人数分别为：

第3组：30

×6=3（人）；

60

×6=2（人）；

第4组：20

60

×6=1（人）；

第5组：10

60

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.

(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从6名同学中抽取2名同学有15种如下可能：

(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1).

其中第4组的2位同学B1，B2有一位同学入选的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1）8种可能，所以第4组

.

有一位同学入选的概率为8

15

22.独具【解题提示】（1）为古典概型问题，（2）为几何概型问题.

【解析】设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”．当a>0，b>0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b．

（1）基本事件共12个：

(0,0),(0,1),(0,2),

(1,0),(1,1),(1,2),

(2,0),(2,1),(2,2),

(3,0),(3,1),(3,2).

其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．

事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)=93

124

=．（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a,b）|0≤a≤3,0≤b≤2}．构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}．

所以所求的概率为

2

1

3222

2

323

?-?

=

?

．

独具【误区警示】本题中不少考生在区域约束条件不等式列式过程中出现错误．导致平面区域的面积求解出现偏差,在几何概型问题的分析中，试验的构成区域决定着概率运算的正确性，因而列式时要注意范围列式中边界值的确定依据．