第3章连续时间信号的变换域分析[1]

n1
其中
cn 2 a n 2 b n 2
n arctan ( a b n n)
（2）
c0a 0
5
第3章连续时间信号的变换域分析 [1]
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
f (t)
Fnejn1t
n
其中
Fn
1 T1
t0T1 f (t)ejn1tdt
t0
F0 a0 c0
（3） ------ 复振幅
FnFn ejn1 2(anjbn)
2. 周期信号频谱的特点 （1）离散性 -------- 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱
称为离散频谱。
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。 （3）收敛性 -------- 幅度谱的谱线幅度随着 n而逐渐
衰减到零。
12
第3章连续时间信号的变换域分析 [1]
3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系
T1 2
t
T1
a0
1 T1
T1 f (t)dt 0
0
an
2 T1
T1 0
f(t)cosn1tdt0
8
2E
bnT 21
T1 0
f(t)sinn1tdt n
0
n1,3,5
第3章连续时间信号的变换域分析
n2,4,6 [1]
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
2E
c n bn n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
n
2
(n1,3,5 )
cn 2E
Fn nE
n 2
Hale Waihona Puke Baidu 2
2E
0 n
Ω1
Ω1
0
2
3
2E
5
5Ω1 3Ω1 Ω1
3Ω1 5Ω1
Ω
n
3Ω1 5Ω1
Ω 5Ω1 3Ω1 Ω1
2
(n1,3,5 )
(n1,3,5)
(n1,3,5)
Fn E
EE
3 5
Ω 1 3Ω1 5Ω1
2
Ω1
3Ω 1
5Ω1
Ω
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
Fn
1 2
an2bn2 1 2cn
n
arctan(
bn an
)
F n 为 n 1 的偶函数， n 为 n 1 的奇函数
6
第3章连续时间信号的变换域分析 [1]
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
1. 周期信号的频谱
f(t)a 0 (a nco n1 s tb nsinn1 t)
（1）
n 1
3
第3章连续时间信号的变换域分析 [1]
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
设周期信号为 f
(
t
) , 其重复周期是T1,角频率
1
2
f1
2
T1
f(t)a0 (ancosn 1tbnsinn 1t)
（1）
n1
直流分量：
1
a0
T1
t0T1 f (t)dt
t0
余弦分量的幅度：
an
2 T1
t0T1 t0
情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱和相位
7频谱。
第3章连续时间信号的变换域分析 [1]
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
例3-1 求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅 里叶级数，并画出各自的频谱图。
解：一个周期内 f ( t ) 的表达式为：
E
f
(t)
2
E 2
0 t T1 2
已知信号 f ( t ) 展为傅里叶级数的时候，如果 f ( t )是实函数而 且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出 现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称 性有两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称。
（1）偶函数
f (t) f (t)
bn
2 T1
T1
2 T1
2
f(t)sinn1tdt 0
f(t)cosn1tdt
正弦分量的幅度：
2
bn
T1
t0T1 t0
f(t)sinn1tdt
以上各式中的积分限一般取： 0 ~ T 1
4
或 T1 ~ T1 2 2 第3章连续时间信号的变换域分析
[1]
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f(t)c0 cncos(n1tn)
第3章 连续时间信号的变换域分析
3.1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
3.2 典型周期信号的频谱
3.3 非周期信号的频谱分析——傅里叶变换
3.4 典型非周期信号的频谱
3.5 傅里叶变换的基本性质
3.6 周期信号的傅里叶变换
3.7 拉普拉斯变换
3.8 拉普拉斯变换的基本性质
3.9 拉普拉斯逆变换
1
3.10 连续信号的频域与复频域的第3章M连A续时T间L信A号B的变分换域析分析
narcta bn n a) n(2 (n1,3,5 )
因此
f(t)2E
n1,3,5
1nsinn1t
2E(sin1t13sin31t15sin51 )
或
9
2E
f(t)
n1,3,5
1cos(n n
t ) 1 2 第3章连续时间信号的变换域分析
[1]
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
Fn1 2(anjb n)jb 2n 0n jE
n1,3,5 n2,4,6
f(t) jE e j 1 t jE e j3 1 t jE e j 1 t jE e j3 1 t
3
3
Fn
E
n
(n1,3,5
)
n
2
(n 1,3,5 ) (n 1, 3, 5
)
10
2
第3章连续时间信号的变换域分析 [1]
2E
cn n
n 1,3,5
0
n 2,4,6
f(t)c0 cncon s1(tn)
（2）
n1
f (t)
Fnejn1t
n
（3）
为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量，
各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图来直观地表示。
如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出 c n 及 n
等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位
2
第3章连续时间信号的变换域分析 [1]
3.1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
任何周期函数在满足狄里赫利的条件下，可以展开成 正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函 数集或复指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是 “傅里叶级数”。前者称为三角形式的傅里叶级数，后者 称为指数形式的傅里叶级数，它们是傅里叶级数两种不同 的表示形式。
[1]
第3章 傅里叶变换分析
从本章起，我们由时域分析进入变换域分析，即傅里 叶变换（频域）分析和拉普拉斯变换（复频域）分析。在 频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论 非周期信号的傅里叶变换及其性质，还要介绍周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。在复频域分析 中，首先介绍从傅里叶变换推广到拉普拉斯变换的概念， 进而引出拉普拉斯变换的定义，然后介绍拉普拉斯变换的 性质及拉普拉斯逆变换。