初中数学轴对称 (习题及答案)

轴对称（习题）

➢ 例题示范

例1：已知：如图，AE 平分∠FAC ，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ，垂足分别为点F ，G ，DE

是BC 的垂直平分线． 求证：BF =CG ．

【思路分析】 读题标注：

① 从条件出发，看到角平分线考虑“角平分线上的点到角两边的距离相等”，结合

题目其他条件，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ，可得EF =EG ；

② 看到垂直平分线考虑“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，因此连接BE ，CE （如图所示），得到BE =CE ； ③ 题目所求为BF =CG ，证明△BEF ≌△CEG 即可．

【过程书写】

证明：如图，连接BE ，CE

∵AE 平分∠FAC ，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ∴EF =EG

∵DE 是BC 的垂直平分线 ∴BE =CE

∵EF ⊥AF ，EG ⊥AC ∴∠BFE =∠CGE =90° 在Rt △BEF 和Rt △CEG 中

BE CE EF EG =⎧⎨

=⎩

（已证）

（已证） ∴Rt △BEF ≌Rt △CEG （HL ） ∴BF =CG （全等三角形对应边相等）

➢ 巩固练习

G

F

D

C

B A

1.下列是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

2.一个风筝的设计图如图所示，其主体部分（四边形ABCD）关于线段BD所

在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断错误的是（）

A．△ABD≌△CBD

B．△ABC≌△ADC

C．△AOB≌△COB

D．△AOD≌△COD

3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC边上，将△ABC沿BE折

叠，点C恰好落在AB边上的点D处．若∠A=30°，则∠BED=_______．

第3题图第4题图

4.已知：如图，∠AOB=40°，若CD是OA的垂直平分线，则

∠ACB=__________．

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平

分AB，垂足为点E．若DE+BD=3cm，则AC=__________cm．

6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点E，垂足

为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．

C E

D

B

D

B

A

E

D

C

O D

B

A

A

7. 作图题：利用网格线，作出△ABC 关于直线DE 对称的图形△A 1B 1C 1．

8. 已知：如图，P 为∠ABC 内一点，请在AB ，BC 边上各取一点M ，N ，使△PMN

的周长最小．

9. 已知：如图，CD 垂直平分线段AB ，E 是CD 上一点，分别连接AC ，BC ，AE ，

BE ．求证：∠CAE =∠CBE ．

E

C B

A

D

10. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点O ．OD

⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ． 求证：OD =OE ．

11. 已知：如图，在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别是BC ，AB 边上的高，垂

E

D C

O

E D

C B

A

足分别为点D，E，AD与CE相交于点O，连接OB，∠OBC=∠OBA．求证：OA=OC．

O E D

C

B A

➢思考小结

1.轴对称的思考层次：

①全等变换：对应边__________、对应角__________．

②对应点：对应点所连线段被对称轴_________________；

对称轴上的点到对应点的距离_____________．

③应用：奶站问题等．

如图，在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP最小．

B

A

l

【参考答案】

➢巩固练习

1. B

2. B

3.60°

4.80°

5. 3

6.32

7.作图略

8.作点P关于BA的对称点O1，作点P关于BC的对称点O2，连接O1O2，分

别交BA，BC于点M，N，此时△PMN的周长最小．

9.证明略

提示：利用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，得出AC=BC，AE=BE，再证明△CAE≌△CBE

10.证明略

提示：过点O作OF⊥BC于点F，角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论

11.证明略

提示：利用角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，得出OD=OE，再证明△COD≌△AOE

➢思考小结

1.①相等、相等

②垂直平分；相等

③作点A关于街道的对称点A1，连接A1B交街道于点P，则点P即为满足

条件的点