第六章 近独立粒子的最概然分布(习题课)

第六章 近独立粒子的最概然分布(习题课)

本章题型

一、基本概念：

1、粒子相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态、系

统微观状态；经典相格与粒子微观状态；系统宏观态与系统微观态。 2、等概率原理（统计物理学的基本假设）：平衡态孤立系统的各个微观态出现的概率相等。最概然分布作为平衡态下的分布近似。 3、近独立粒子孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微观状态数及各分布出现的几率、最概然分布。

,,,,21l τττ∆∆∆

,,,,21l εεε

}{l a

,,,,21l ωωω

,,,,21l a a a

与分布}{l a 对应的微观状态数为()l a Ω分布{}l a 要满足的条件是：

N a l

l =∑

E =∑l

l l a ε

系统总的微观状态数()()lm m an a l a a l

ΩΩ=Ω∑~总

系统某时刻的微观状态只是其中的一个。在宏观短，微观长时间内（一瞬间）系统经历了所有的微观状态()()lm man a l a a l

ΩΩ∑~----各态历经假

说。且各微观态出现的概率相等

()()lm

man a l a a l

Ω≈Ω=

∑1

1ρ

()l

e a a l lm l βε

αωδ--=⇒=Ω0ln ---玻耳慈曼分布。

此分布（宏观态）的概率为

()()()()()

()1=ΩΩ≈ΩΩ=

Ω=∑lm

man lm man a l lm man lm man lm a a a a a a p l

ρ 即：最概然分布几乎就是孤立系统的平衡态分布。

4、热力学第一定律的统计解释：

Q d W d dU +=

l l

l l l

l l l da d a dU a U ∑∑∑+=⇒=εεε

比较可知：l l

l d a W d ε∑= l l

l da Q d ∑=ε

即：从统计热力学观点看，

做功：通过改变粒子能级引起内能变化； 传热：通过改变粒子分布引起内能变化。 二、相关公式 1、分布与微观状态数

①、 ()l a l l

l

l l B M a a ω∏=

Ω∏!N!

.. ②、 ()∏--+=

Ωl l

l l l E B a a a )!1(!)!

1(..ωω ③、 ()∏-=Ωl l l

l l D F a a a )!

(!!

..ω

ω

④、 ()l a r l l l

l l cl h a N a ) ( ! !

ω∆∏∏=

Ω 2、最概然分布

玻耳兹曼分布l

e a l l βεαω--=

玻色-爱因斯坦分布1

-=

+l e a l

l βεαω

费米-狄拉克分布1

+=

+l e a l

l ω

本章题型

※、第一类是求粒子运动状态在μ空间的相轨迹:

关键是由已知条件写出广义坐标q 和广义动量p 满足的函数关系

()0,=p q f 。

※、第二类是求粒子能态密度()εD ；

已知粒子的哈密顿量H 与广义坐标q 和广义动量p 满足的函数关系

()p q H H ,=，求粒子能态密度()εD 。不同方法有不同步骤，方法有：

方法一：量子力学方法。

第一步，解薛定谔方程()()p q ,p q,H ψ=ψε

，求能量本证值i ε 第二步，求出粒子能量小于ε的量子态数()εω

第三步，求出粒子能量在ε到εεd +范围的量子态数()εεd D 。 方法二：半经典近似法。

该方法的依据是：对自由度为r 的一个粒子，对每一个可能的状态对于μ空间中大小为r h 的一个相体积元，因此，粒子能量小于ε的量子态数为

()()⎰⎰<=εεωp q H r h

dqdp

,

由此求得粒子能量在到范围的量子态数()()εε

εωεεd d d d D =。

计算步骤：

第一步、写出粒子自由度r 和粒子哈密顿()p q H H ,=。 第二步、由()()⎰⎰<=εεωp q H r h

dqdp

,

求出粒子能量小于的状态数。 第三步、求出粒子态密度()()ε

εωεd d D =

。

[例1]、对于二维自由粒子，在长度L 2内，求粒子在ε到εεd +的能量范

围内量子态数()εεd D 。 方法一：解，量子力学方法:

边长为L 的正方形平面内，粒子哈密顿算符的能量本征方程为

()

εϕϕϕ=+=22ˆ21H Y X P P m

设：()()()y Y x X y x =,ϕ 则

22222222222112 εεm dy Y d Y dx X d X XY XY y x m -=+⇒=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂- 2

2

22222222;1;1

εm k k k dy Y d Y k dx X d X y x y x =+-=-=其中 解得：()()()()()y p x p i

y k x k i y x y x e e y Y x X y x ++===

A

1A 1,ϕ 利用周期性边界条件：⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-2L ,2L ,;,2

L ,2

L x x y y ϕϕϕϕ得：

2,1,0;,2;2±±===

y x y y x x n n n L

p n L p ππ 由上式可知，量子数y x n n ，完全决定了粒子的量子状态。以y x n n ，为直角坐标轴，构成二维量子数空间，每一组数()y x n n ，对应一个点，它代表一个量子态，这种点成为代表点，此空间中边长为1的一个正方形（面积为1）内有1个代表点，即相应于1个量子态。

由()()

2

22

2222221y x y x n n mL

p p m +=+= πε可知，在数空间中能量ε的等能线为半径(

)

21

22221

22

2R ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+= πεmL n

n y

x 的圆，它所包围的面积为2222R πεπmL =，而单位面积对应1个量子态，所以粒子能量小于ε的量子态数为()2

22 πε

εωmL =，所以粒