浅谈函数中点的存在性问题
函数图像中点的存在性问题
专题：函数图像中点的存在性问题一、因动点产生的等腰三角形例1、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．练习已知抛物线2(0)y ax bx c a=++≠顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线54y=作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x＝1上有一点3(1,)4F，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.二、因动点产生的相似三角形问题例2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 在x 轴正半轴上，且P A =PC ，求OP 的长；（3）点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ．①若M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC （点C 与点A 对应），求点M 的坐标；②若⊙M 的半径为，求点M 的坐标．练习如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值；⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）三、因动点产生的直角三角形例3、如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．练习如图，二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴交于1(,0)2A -,(2,0)B 两点，且与y 轴交于点C.（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A C D B、、、四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A C B P、、、四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.四、因动点产生平行四边形例4、如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______．(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．图①BCDPQ图②BCDPQ练习、如图1，抛物线b ax ax y +-=221经过点A （－1，0），C （0，23）两点，且与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线解析式；（2）若抛物线的顶点为点M ，点P 为线段AB 上一动点（不与B 重合），Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x ，MQ=222y ，求2y 于x 的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m ，x=n 分别与抛物线交于E 、G 两点，与（2）中的函数图像交于F 、H 两点，问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求出m 、n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．图 1图 2。
论文正文-浅谈函数的零点问题
学士学位论文题目浅谈函数的零点问题浅谈函数的零点问题摘要：浅谈函数零点问题实质上就是说，函数零点的存在性，零点唯一性，零点的个数问题及其应用的问题。
本文运用零点定理、罗尔定理及其推广和微分中值定理、介值定理等多个重要定理对函数零点存在性、唯一性、个数问题进行多方面的解答，结合典型例题分析、讨论并证明相关问题，得出解决此类问题的解决方法，使得今后在学习函数零点的过程中得到了简便、全面的答题策略。
关键词：函数零点定理 罗尔定理 唯一性 存在性 零点个数 一、预备知识1. 概念及定理函数零点定义：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点。
二、零点的存在性问题2.1 在数学学习中，函数零点的存在性问题始终都是人们研究的热点可课题。
可以用零点定理解决，也能用罗尔定理、函数最值、函数的幂级数展开式及微分中值定理解决此问题。
（1）零点定理 ：若函数在区间[,]a b 上的图像时连续不断的一条曲线，且满足()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =。
这个c 也就是方程()0f x =的实根。
零点定理的证明：不妨设()0,()0.f a f b <> 令{|()0,[,]}.E x f x x a b =<∈由()0f a <知,E ≠∅ 且b 为E 的一个上界， 于是 根据确界存在原理， 存在sup [,]E a b ξ=∈ ，下证()0f ξ=（注意到()0,()0,f a f b ≠≠ 故此时必有(),a b ξ∈）事实上，()1若()0,f ξ<则[,)a b ξ∈。
由函数连续的局部保号性知存在0,σ>对()1,,()0x f x ξξσ∈+<存在11,sup x E x E ∈>,这与sup E 为E 的上界矛盾;()2若()0,f ξ>则(,].a b ξ∈仍由函数连续的局部保号性知存在0,σ>对()1,,()0x f x ξσξ∈->存在1x 为E 的一个上界，且1,x ξ< 这又与sup E 为E 的最小上界矛盾。
函数中点的存在性问题(解析版)
决战2020年中考典型压轴题大突破模块三中考压轴题函数综合题专题考向导航函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型。
近几年的中考压轴题多以数学综合题的形式出现。
解数学综合题一般可分为认真审题、理解题意，探求解题思路，正确解答三个步骤。
解数学综合题必须要有科学分析问题的方法。
数学思想是解数学综合题的灵魂，要善于总结数学综合题中所隐含的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等，更要结合实际问题加以领会与掌握，这是学习解综合题的关键。
函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象,由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力,因此是各地中考的热点题型，并且长盛不衰，年年有新花样。
专题10 函数“存在性”问题方法点拨这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是:假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断. 由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征。
在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识、基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识能力的一次全面的考验。
精典例题(2019·白银)如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN 有最大值，最大值是多少？【点睛】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC ＝AQ 、AC ＝CQ 、CQ ＝AQ 三种情况，分别求解即可； （3）由PN ＝PQ sin ∠PQN =√22（−13m 2+13m +4+m ﹣4）即可求解． 【详解】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y ＝a （x +3）（x ﹣4）＝a （x 2﹣x ﹣12）＝ax 2﹣ax ﹣12a ， 即：﹣12a ＝4，解得：a =−13，则抛物线的表达式为y =−13x 2+13x +4；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝4√2，∠OBC ＝∠OCB ＝45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 并解得：y ＝﹣x +4…①， 同理可得直线AC 的表达式为：y =43x +4，设直线AC 的中点为K （−32，2），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为−34， 同理可得过点K 与直线AC 垂直直线的表达式为：y =−34x +78⋯②， ①当AC ＝AQ 时，如图1，则AC ＝AQ ＝5，设：QM ＝MB ＝n ，则AM ＝7﹣n ，由勾股定理得：（7﹣n ）2+n 2＝25，解得：n ＝3或4（舍去4）， 故点Q （1，3）；②当AC ＝CQ 时，如图1，CQ ＝5，则BQ ＝BC ﹣CQ ＝4√2−5， 则QM ＝MB =8−5√22， 故点Q （5√22，8−5√22）； ③当CQ ＝AQ 时， 联立①②并解得：x =252（舍去）；故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（5√22，8−5√22）； （3）设点P （m ，−13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4）， ∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ， PN ＝PQ sin ∠PQN =√22（−13m 2+13m +4+m ﹣4）=−√26（m ﹣2）2+2√23， ∵−√26＜0，∴PN 有最大值，当m ＝2时，PN 的最大值为：2√23．巩固突破1．(2020·青白江区模拟)如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴相交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，3），点B 在x 轴的负半轴上，且OA ＝3OB ．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P 是抛物线上且位于直线AC 上方的一动点，求△ACP 的面积的最大值及此时点P 的坐标； （3）在线段OC 上是否存在一点M ，使BM +√22CM 的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．【点睛】（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（2）△ACP的面积=12PH×OA=12×3×（x2﹣2x+3+x﹣3）=32（﹣x2+3x），即可求解；（3）故当B、M、N三点共线时，BM+√22CM＝BN最小，即可求解．【详解】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积=12PH×OA=12×3×（x2﹣2x+3+x﹣3）=32（﹣x2+3x），当x=32时，△ACP的面积的最大，最大值为：278，此时点P（32，154）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN=√22CM，故当B、M、N三点共线时，BM+√22CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN=√22AB＝2√2=AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．2．(2019·青海)如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足P A+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）【点睛】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），即可求解；（2）连接B、C交对称轴于点P，此时P A+PC的值为最小，即可求解；（3）S四边形OEBF＝OB×y E＝5×y E＝12，则y E=125，将该坐标代入二次函数表达式即可求解．【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），则5a＝4，解得：a=4 5，抛物线的表达式为：y=45（x2﹣6x+5）=45x2−245x+4，函数的对称轴为：x＝3，顶点坐标为（3，−165）； （2）连接B 、C 交对称轴于点P ，此时P A +PC 的值为最小，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{0=5k +bb =4，解得：{k =−45b =4，直线BC 的表达式为：y =−45x +4， 当x ＝3时，y =85， 故点P （3，85）；（3）存在，理由：四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形， 则S 四边形OEBF ＝OB ×|y E |＝5×|y E |＝12， 点E 在第四象限，故：则y E =−125， 将该坐标代入二次函数表达式得： y =45（x 2﹣6x +5）=−125， 解得：x ＝2或4， 故点E 的坐标为（2，−125）或（4，−125）． 3．(2020·锦江区模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （4，0），B 两点，与y 轴交于点C （0，2），对称轴x =32与x 轴交于点H ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y ＝kx +1（k ≠0）与y 轴交于点E ，与抛物线交于点 P ，Q （点P 在y 轴左侧，点Q 在y 轴右侧），连接CP ，CQ ，若△CPQ 的面积为√172，求点P ，Q 的坐标； （3）在（2）的条件下，连接AC 交PQ 于G ，在对称轴上是否存在一点K ，连接GK ，将线段GK 绕点G 逆时针旋转90°，使点K 恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【点睛】（1）对称轴x =32，则点B （﹣1，0），则抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣4）＝a （x 2﹣3x ﹣4），即可求解； （2）△CPQ 的面积=12×CE ×（n ﹣m ）=√172，即n ﹣m =√17， 联立抛物线于直线PQ 的表达式并整理得：−12x 2+（32−k ）x +1＝0…①，m +n ＝3﹣2k ，mn ＝﹣2，n ﹣m =√17=√(m +n)2−4mn =√(3−2k)2+8，即可求解； （3）证明△GNK ≌△K ′MG （AAS ），NK =32−27=1714=MG ，NG =137−m ，则点K ′（157−m ，4314），将该坐标代入抛物线表达式，即可求解．【详解】解：（1）对称轴x =32，则点B （﹣1，0），则抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣4）＝a （x 2﹣3x ﹣4）， 即﹣4a ＝2，解得：a =−12，故抛物线的表达式为：y =−12x 2+32x +2；（2）设直线PQ 交y 轴于点E （0，1），点P 、Q 横坐标分别为m ，n ，△CPQ 的面积=12×CE ×（n ﹣m ）=√172， 即n ﹣m =√17，联立抛物线于直线PQ 的表达式并整理得：−12x 2+（32−k ）x +1＝0…①，m +n ＝3﹣2k ，mn ＝﹣2，n ﹣m =√17=√(m +n)2−4mn =√(2k −3)2+9 解得：k ＝0（舍去）或3； 故y ＝3x +1，则−12x 2+32x +2＝3x +1，解得：x =−3±√172， 故点P 、Q 的坐标分别为：（−3−√172，−7−3√172）、（−3+√172，−7+3√172）；（3）设点K （32，m ），联立PQ 和AC 的表达式并解得：x =27，故点G （27，137），过点G 作y 轴的平行线交过点K ′与x 轴的平行线于点M ，交过点K 与x 轴的平行线于点N ，则△GNK ≌△K ′MG （AAS ）， NK =32−27=1714=MG ，NG =137−m ，则点K ′（157−m ，4314）将该坐标代入抛物线表达式并解得：m =9±√2114， 故点K （32，9+√2114）或（32，9−√2114）．4．(2020·下陆区模拟)如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y =−49x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ． （1）求抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S ． ①求S 关于m 的函数表达式；②当S 最大时，在抛物线y =−49x 2+bx +c 的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【点睛】（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线y =−49x 2+bx +c ，即可求得抛物线的解析式； （2）①先用m 表示出QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于m 的函数； ②直接写出满足条件的F 点的坐标即可，注意不要漏写． 【详解】解：（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线，得 {c =8−49×36+6b +c =0， 解得：{b =43c =8，∴抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8； （2）①∵OA ＝8，OC ＝6， ∴AC =√OA 2+OC 2=10，过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，则sin ∠ACB =QE QC =AB AC =35， ∴QE 10−m=35，∴QE =35（10﹣m ），∴S =12•CP •QE =12m ×35（10﹣m ）=−310m 2+3m ；②∵S =12•CP •QE =12m ×35（10﹣m ）=−310m 2+3m =−310（m ﹣5）2+152， ∴当m ＝5时，S 取最大值；在抛物线对称轴l 上存在点F ，使△FDQ 为直角三角形， ∵抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8的对称轴为x =32， D 的坐标为（3，8），Q （3，4）， 当∠FDQ ＝90°时，F 1（32，8），当∠FQD ＝90°时，则F 2（32，4），当∠DFQ ＝90°时，设F （32，n ），则FD 2+FQ 2＝DQ 2，即94+（8﹣n ）2+94+（n ﹣4）2＝16，解得：n ＝6±√72， ∴F 3（32，6+√72），F 4（32，6−√72），满足条件的点F 共有四个，坐标分别为 F 1（32，8），F 2（32，4），F 3（32，6+√72），F 4（32，6−√72）．5．(2019·临朐二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +1交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点B（4，0），与过A 点的直线相交于另一点D （3，52），过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段OC 上（不与点O ，C 重合），过P 作PN ⊥x 轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，NE ⊥AD 于点E ，求NE 的最大值；（3）若P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP 的长为t ．是否存在t ，使以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【点睛】（1）将点B 、D 的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）利用NE ＝MN cos ∠ENP =2√55（−34m 2+114m +1−12m ﹣1），即可求解； （3）设：OP ＝t ，则点M （t ，12t +1）、N （t ，−34t 2+114t +1），由|MN |＝CD ，即可求解． 【详解】解：（1）将点B 、D 的坐标代入二次函数表达式得：{16a +4b +1=09a +3b +1=52，解得：{a =−34b =114， 则函数的表达式为：y =−34x 2+114x +1；（2）将点A （0，1）、D 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +n 并解得： 直线AD 的表达式为：y =12x +1，即直线AD 的倾斜角的正切值为12，则tan ∠ENP =12，则cos ∠ENP =2√55，设点N （m ，−34m 2+114m +1）、点M （12m +1），则NE ＝MN cos ∠ENP =2√55（−34m 2+114m +1−12m ﹣1）=−3√510（m −32）2+27√540， 故当m =32时，则NE 的最大值为27√540；（3）设：OP ＝t ，则点M （t ，12t +1）、N （t ，−34t 2+114t +1），点M 可能在CD 得左侧也可能在CD 得右侧，由题意得：|MN |＝CD ， ±52=−34t 2+114t +1−12t ﹣1， 解得：t =9±√2016（舍去负值）， 故t =9+√2016时，以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形． 6．(2019·恩施州)如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，−83），与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AEAB 的值．（3）点F （0，y ）是y 轴上一动点，当y 为何值时，√55FC +BF 的值最小．并求出这个最小值． （4）点C 关于x 轴的对称点为H ，当√55FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【点睛】（1）将点C 、D 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）当△AOC ∽△AEB 时，S △AOC S △AEB=（AC AB ）2＝（√54）2=516，求出y E =−85，由△AOC ∽△AEB 得：AO AC=AE AB=√5，即可求解；（3）如图2，连接BF ，过点F 作FG ⊥AC 于G ，当折线段BFG 与BE 重合时，取得最小值，即可求解； （4）①当点Q 为直角顶点时，由Rt △QHM ∽Rt △FQM 得：QM 2＝HM •FM ；②当点H 为直角顶点时，点H （0，2），则点Q （1，2）；③当点F 为直角顶点时，同理可得：点Q （1，−32）．【详解】解：（1）由题可列方程组：{c =−2a −2a +c =−83，解得：{a =23c =−2∴抛物线解析式为：y =23x 2−43x ﹣2；（2）如图1，∠AOC ＝90°，AC =√5，AB ＝4，设直线AC 的解析式为：y ＝kx +b ，则{−k +b =0b =−2，解得：{k =−2b =−2，∴直线AC 的解析式为：y ＝﹣2x ﹣2； 当△AOC ∽△AEB 时S △AOC S △AEB=（AC AB）2＝（√54）2=516，∵S △AOC ＝1，∴S △AEB =165， ∴12AB ×|y E |=165，AB ＝4，则y E =−85， 则点E （−15，−85）； 由△AOC ∽△AEB 得：AO AC=AE AB=√5∴AE AB=√55； （3）如图2，连接BF ，过点F 作FG ⊥AC 于G ，则FG ＝CF sin ∠FCG =√55CF ，∴√55CF +BF ＝GF +BF ≥BE ， 当折线段BFG 与BE 重合时，取得最小值， 由（2）可知∠ABE ＝∠ACO∴BE ＝AB cos ∠ABE ＝AB cos ∠ACO ＝45=8√55，|y |＝OB tan ∠ABE ＝OB tan ∠ACO ＝3×12=32，∴当y =−32时，即点F （0，−32），√55CF +BF 有最小值为8√55；（4）①当点Q 为直角顶点时（如图3）： 由（3）易得F （0，−32），∵C （0，﹣2）∴H （0，2）设Q （1，m ），过点Q 作QM ⊥y 轴于点M ．则Rt △QHM ∽Rt △FQM ∴QM 2＝HM •FM ， ∴12＝（2﹣m ）（m +32）， 解得：m =1±√334， 则点Q （1，1+√334）或（1，1−√334） 当点H 为直角顶点时：点H （0，2），则点Q （1，2）； 当点F 为直角顶点时： 同理可得：点Q （1，−32）； 综上，点Q 的坐标为：（1，1+√334）或（1，1−√334）或Q （1，2）或Q （1，−32）．7．(2019·阜新)如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2交x 轴于点A （﹣3，0）和点B （1，0），交y 轴于点C ． （1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D 的坐标为（﹣1，0），点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使△MNO 为等腰直角三角形，且∠MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【点睛】（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +3）（x ﹣1）＝a （x 2+2x ﹣3）＝ax 2+2ax ﹣3a ，即﹣3a ＝2，即可求解；（2）S 四边形ADCP ＝S △APO +S △CPO ﹣S △ODC ，即可求解；（3）分点N 在x 轴上方、点N 在x 轴下方两种情况，分别求解．【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +3）（x ﹣1）＝a （x 2+2x ﹣3）＝ax 2+2ax ﹣3a ，即﹣3a＝2，解得：a=−2 3，故抛物线的表达式为：y=−23x2−43x+2，则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1；（2）连接OP，设点P（x，−23x2−43x+2），则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC=12×AO×y P+12×OC×|x P|−12×CO×OD=12×3×（−23x2−43x+2）+12×2×（﹣x）−12×2×1=−x2﹣3x+2，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x=−32时，S的最大值为174；（3）存在，理由：△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况（△M1N1O）：设点N1的坐标为（x，−23x2−43x+2），则M1E＝x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∠FN 1O +∠M 1N 1E ＝90°，∠M 1N 1E +∠EM 1N 1＝90°，∴∠EM 1N 1＝∠FN 1O ， ∠M 1EN 1＝∠N 1FO ＝90°，ON 1＝M 1N 1， ∴△M 1N 1E ≌△N 1OF （AAS ），∴M 1E ＝N 1F ， 即：x +1=−23x 2−43x +2，解得：x =−7±√734（舍去负值）， 则点N 1（−7+√734，−3+√734）； N 2的情况（△M 2N 2O ）： 同理可得：点N 2（−1−√734，−3+√734）； ②当点N 在x 轴下方时，点N 的位置为N 3、N 4， 同理可得：点N 3、N 4的坐标分别为：（−7−√734，−3−√734）、（−1+√734，−3−√734）；综上，点N 的坐标为：（−7+√734，−3+√734）或（−1−√734，−3+√734）或（−7−√734，−3−√734）或（−1+√734，−3−√734）． 8．(2019·通辽)已知，如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点为M （1，9），经过抛物线上的两点A （﹣3，﹣7）和B （3，m ）的直线交抛物线的对称轴于点C ． （1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上A 、M 两点之间的部分（不包含A 、M 两点），是否存在点D ，使得S △DAC ＝2S △DCM ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【点睛】（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，即可求解；（2）S△DAC＝2S△DCM，则S△DAC=12DH（x C﹣x A）=12（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）=12（9﹣1）（1﹣x）×2，即可求解；（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①，则点B（3，5），将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝2x﹣1；（2）存在，理由：二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1），过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1），∵S△DAC＝2S△DCM，则S△DAC=12DH（x C﹣x A）=12（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）=12（9﹣1）（1﹣x）×2，解得：x＝﹣1或5（舍去5），故点D（﹣1，5）；（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，①当AM是平行四边形的一条边时，点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P，即：m﹣4＝s，﹣16＝t，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝6或﹣4，故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；②当AM是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝1±√7，故点P（1+√7，2）或（1−√7，2）；综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1+√7，2）或（1−√7，2）．9．(2019·长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x﹣1与抛物线y=−512x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣6，点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与点A，B重合）．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接P A，PB，在点P运动的过程中，是否存在某一位置，使得△P AB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，以PD为直径的⊙E与直线AB相交于点G，求DG的最大值．【点睛】（1）在函数y=12x﹣1中，求出A（2，0）、B（﹣6，﹣4），将A（2，0），B（﹣6，﹣4）代入y=−512x2+bx+c中，即可求解；（2）存在，理由：由A、B点坐标得：则点E（﹣2，﹣2），则AE=√(−2−2)2+(−2)2=2√5，tan∠OAC=AOAE=ACAF，即：2√5=√5AF，则AF＝5，可得直线EF的表达式为：y＝﹣2x﹣6…②，联立①②即可求解；（3）GD ＝PD sin ∠DPG =5（−512x 2−76x +4−12x +1），即可求解．【详解】解：（1）在函数y =12x ﹣1中， 当y ＝0时，x ＝2，∴A （2，0）， 当x ＝﹣6时，y ＝﹣4，∴B （﹣6，﹣4）， 将A （2，0），B （﹣6，﹣4）代入y =−512x 2+bx +c 中， 得{−512×22+2b +c =0−512×(−6)2−6b +c =−4，解得{b =−76c =4，∴该抛物线得解析式为y =−512x 2−76x +4…①； （2）存在，理由：设直线AB 交y 轴于点C ，则点C （0，﹣1），如图所示，作线段AB 的垂直平分线交x 轴于点F 、交y 轴于点E ，由A 、B 点坐标得：则点E （﹣2，﹣2），则AE =√(−2−2)2+(−2)2=2√5， tan ∠OAC =AO AE =ACAF ，即：2√5=√5AF，则AF ＝5， 故点F （﹣3，0），由点E （﹣2，﹣2）、F （﹣3，0）得直线EF 的表达式为：y ＝﹣2x ﹣6…②， 联立①②并解得：x ＝﹣4或6（舍去x ＝6）， 故点P 的坐标为（﹣4，2）， PE =√(−4+2)2+(2+2)2=2√5；（3）如下图所示，PD 为直径，则∠PGD ＝90°， 即：PG ⊥AC∠OAC ＝90°﹣∠PDC ＝∠DPG ， 在Rt △AOC 中，sin ∠OAC =15=sin ∠DPG ， 则GD ＝PD sin ∠DPG ，设点P 坐标为（x ，−512x 2−76x +4），则点D （x ，12x ﹣1），GD ＝PD sin ∠DPG =1√5（−512x 2−76x +4−12x +1），当x =−b2a =−2时，GD 最大，最大值为：4√53．10．(2019·硚口区区模拟)抛物线y =ax 2−12x +54经过点E （5，5），其顶点为C 点． （1）求抛物线的解析式，并直接写出C 点坐标．（2）将直线y =12x 沿y 轴向上平移b 个单位长度交抛物线于A 、B 两点．若∠ACB ＝90°，求b 的值． （3）是否存在点D （1，a ），使抛物线上任意一点P 到x 轴的距离等于P 点到点D 的距离？若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【点睛】（1）将点E 坐标代入解析式，求出系数a ，获得解析式，并求出顶点C 坐标；（2）平移直线y =12x ，获得平移后的解析式y =12x +b ，直线与抛物线交于两点A 、B ，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），因为∠ACB ＝90°，利用A 、B 、C 三点构造相似，得到1−x 1y 2−1=y 1−1x 2−1，将直线与抛物线联立获得方程，根据韦达定理，获得x 1+x 2，x 1•x 2，从而获得关于b 的方程，求出b 值；（3）过点P 作PQ ⊥x 轴，设点P （m ，14m 2−12m +54）因为PQ ＝PD ，所以PQ 2＝PD 2，整理可得(a −2)m 2+2(a −2)m +2(a −2)(a −12)=0，所以当a ＝2时，存在点D （1，2）． 【详解】解：（1）将点E （5，5）代入y ＝ax 2−12x +54 5＝25a −52+54 a =14∴y =14x 2−12x +54，顶点（1，1）（2）直线y =12x 平移后获得解析式y =12x +b 交抛物线于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2） y 1=12x 1+b ，y 2=12x 2+b 联立{y =12x +by =14x 2−12x +54x 2﹣4x +5﹣4b ＝0 ∴x 1+x 2＝4，x 1•x 2＝5﹣4b如图，过点A 、B 作y 轴的平行线与过点C 平行于x 轴的线交于点E ，F可证△ACE ∽△BCF ∴1−x 1y 2−1=y 1−1x 2−1∴（x 1+x 2）﹣（x 1•x 2）﹣1＝y 1•y 2﹣（y 1+y 2）+1 ∴b 2﹣5b +94=0， 解，b 1=92，b 2=12（舍） ∴b =92．（3）设P（m，n），作PQ⊥x轴于Q若PQ＝PD，则PQ2＝PD2（m﹣1）2+（n﹣a）2＝n2整理得m2﹣2m+1+a2﹣2an＝0将n=14m2−12m+54代入整理得(a−2)m2+2(a−2)m+2(a−2)(a−12)=0当a＝2时，方程成立∴D（1，2）11．(2020·云南模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的交点A，与x轴的另一个交点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△P AD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△P AD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．【点睛】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）易知直线AD 解析式为y ＝﹣x +3，设M 点横坐标为m ，则P （t ，﹣t 2+2t +3），M （t ，﹣t +3），可得l ＝﹣t 2+2t +3﹣（﹣t +3）＝﹣t 2+3t ＝﹣（t −32）2+94，利用二次函数的性质即可解决问题； （3）由S △P AD =12×PM ×（x D ﹣x A ）=32PM ，推出PM 的值最大时，△P AD 的面积最大；（4）如图设AD 的中点为K ，设P （t ，﹣t 2+2t +3）．由△P AD 是直角三角形，推出PK =12AD ，可得（t −32）2+（﹣t 2+2t +3−32）2=14×18，解方程即可解决问题；【详解】解：（1）把点 B （﹣1，0），C （2，3）代入y ＝ax 2+bx +3， 则有{a −b +3=04a +2b +3=3，解得{a =−1b =2，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3． （2）在y ＝﹣x 2+2x +3中，令y ＝0可得0＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝﹣1或x ＝3， ∴D （3，0），且A （0，3）， ∴直线AD 解析式为y ＝﹣x +3，设M 点横坐标为m ，则P （t ，﹣t 2+2t +3），M （t ，﹣t +3）， ∵0＜t ＜3，∴点M 在第一象限内，∴l ＝﹣t 2+2t +3﹣（﹣t +3）＝﹣t 2+3t ＝﹣（t −32）2+94， ∴当t =32时，l 有最大值，l 最大=94； （3）∵S △P AD =12×PM ×（x D ﹣x A ）=32PM ，∴PM 的值最大时，△P AD 的面积中点，最大值=32×94=278． ∴t =32时，△P AD 的面积的最大值为278．（4）如图设AD 的中点为K ，设P （t ，﹣t 2+2t +3）．∵△P AD 是直角三角形， ∴PK =12AD ，∴（t −32）2+（﹣t 2+2t +3−32）2=14×18， 整理得t （t ﹣3）（t 2﹣t ﹣1）＝0，解得t ＝0或3或1±√52，∵点P 在第一象限， ∴t =1+√52． 12．(2019·大渡口区模拟)如图，抛物线y =−35x 2+125x +3与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连结BC ．（1）如图1，点N 为抛物线上的一动点，且位于直线BC 上方，连接CN 、BN ．点P 是直线AB 上的动点．当△NBC 面积取得最大值时，求出点N 的坐标及△NBC 面积的最大值，并求此时PN +CP 的最小值； （2）如图2，点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点，连接PM 、PC ，是否存在这样的点P ，使△PCM 为等腰三角形，△PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【点睛】（1）S△NBC=12HN×OB=52（−35x2+125x+3+35x﹣3）=−32x2+152x，求出N的坐标是(52，214)，点C关于直线AB的对称点C'（0，﹣3），PN+PC的最小值为NC′即可求解；（2）利用△BMP～△BOC，即可求解．【详解】解：（1）过点N作y轴的平行线交直线BC与点H，y=−35x2+125x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝5或﹣1，即点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（5，0）、（0，3），则直线BC的表达式为：y＝kx+3，将点B坐标代入上式并解得：k=−3 5，则直线BC的表达式为：y=−35x+3，设点N（x，−35x2+125x+3），点H（x，−35x+3），S△NBC=12HN×OB=52（−35x2+125x+3+35x﹣3）=−32x2+152x，∵−32＜0，则S△NBC有最大值，当x=52时，△NBC面积最大，最大值为758；此时点N的坐标是(52，214)，如图，点C 关于直线AB 的对称点C '（0，﹣3）， PN +PC 的最小值NC′=√(214+3)2+(52)2=√11894； （2）存在，∵B （5，0），C （0，3）， ∴BC =√32+52=√34，①当∠PMB ＝90°，则∠PMC ＝90°，△PMC 为等腰直角三角形，MP ＝MC ， 设PM ＝t ，则CM =t ，MB =√34−t ， ∵∠MBP ＝∠OBC ， ∴△BMP ～△BOC ， ∴PM OC=BM OB=BP BC，即t3=√34−t5=√34， 解得t =3√348，BP =174， ∴OP =OB −BP =5−174=34， 当∠PMB ＝90°，CM ＝PM 时，同理可得：点P （3√34−95，0）；此时P 点坐标为(34，0)或（3√34−95，0）．13．(2019·崇安区一模)已知二次函数y ＝ax 2﹣9ax +18a 的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），图象的顶点为C ，直线AC 交y 轴于点D ．（1）连接BD ，若∠BDO ＝∠CAB ，求这个二次函数的表达式；（2）是否存在以原点O 为对称中心的矩形CDEF ？若存在，求出这个二次函数的表达式，若不存在，请说明理由．【点睛】（1）利用配方法求出抛物线y ＝ax 2﹣9ax +18a 的顶点C 的坐标为（92，−94a ）．作CM ⊥x 轴于M ，则OM =92，CM ＝|−94a |．求出A （3，0），B （6，0）．再证明△ODA ∽△OBD ，根据相似三角形对应边成比例求出OD ＝3√2．根据平行线分线段成比例定理得出ODCM=OAAM，求得CM =3√22，那么|−94a |=3√22，求出a ，即可得到二次函数的解析式； （2）连接OC ，根据矩形的性质得出OC ＝OD ，那么∠ODC ＝∠OCD ．再证明∠OCD ＝∠DCM ．作AN ⊥OC 于N ，根据角平分线的性质得出AN ＝AM =32．由sin ∠AON =AN OA =12，得出∠AON ＝30°，求出CM ＝OM •tan30°=3√32，那么|−94a |=3√32，求出a ，即可得到二次函数的解析式． 【详解】解：（1）∵y ＝ax 2﹣9ax +18a ＝a （x −92）2−94a ， ∴顶点C （92，−94a ）．作CM ⊥x 轴于M ，则OM =92，CM ＝|−94a |． 当y ＝0时，ax 2﹣9ax +18a ＝0，解得x 1＝3，x 2＝6， ∴A （3，0），B （6，0）．∵∠BDO ＝∠CAB ，∠CAB ＝∠DAO ， ∴∠DAO ＝∠BDO ． 在△ODA 与△OBD 中， {∠DAO =∠BDO ∠AOD =∠DOB =90°， ∴△ODA ∽△OBD ， ∴OD OB=OA OD，即OD 6=3OD，∴OD ＝3√2． ∵CM ∥OD ， ∴OD CM=OA AM，即3√2CM =392−3， ∴CM =3√22， ∴|−94a |=3√22， ∴a ＝±2√23， ∴二次函数的解析式为y =2√23x 2﹣6√2x +12√2或y =−2√23x 2+6√2x ﹣12√2； （2）存在．连接OC ，则OC ＝OD ．∴∠ODC ＝∠OCD ． ∵CM ∥OD ， ∴∠ODC ＝∠DCM ， ∴∠OCD ＝∠DCM ．作AN ⊥OC 于N ，AN ＝AM =32．∵sin ∠AON =AN OA =323=12，∴∠AON ＝30°， ∴CM ＝OM •tan30°=92×√33=3√32， ∴|−94a |=3√32， ∴a ＝±2√33， ∴二次函数的解析式为y =2√33x 2﹣6√3x +12√3或y =−2√33x 2+6√3x ﹣12√3．14．(2019·长沙一模)如图，已知直线y ＝kx ﹣6与抛物线y ＝ax 2+bx +c 相交于A ，B 两点，且点A （1，﹣4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上． （1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．【点睛】（1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解．（2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC ＝∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y ＝﹣x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件．（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．【详解】解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2， ∴y ＝2x ﹣6，令y ＝0，解得：x ＝3， ∴B 的坐标是（3，0）． ∵A 为顶点，∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4， 把B （3，0）代入得：4a ﹣4＝0， 解得a ＝1，∴y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣3．（2）存在．∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ，∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ， 此时PO 平分第二象限，即PO 的解析式为y ＝﹣x ． 设P （m ，﹣m ），则﹣m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m =1−√132（m =1+√132＞0，舍）， ∴P （1−√132，√13−12）． （3）①如图，当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ， ∴AD OD=DQ 1DB ，即√56=13√5，∴DQ 1=52， ∴OQ 1=72，即Q 1（0，−72）；②如图，当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴OB OD=OQ 2OB ，即36=OQ 23，∴OQ 2=32，即Q 2（0，32）；③如图，当∠AQ 3B ＝90°时，作AE ⊥y 轴于E ， 则△BOQ 3∽△Q 3EA ，∴OBQ 3E =OQ 3AE ，即34−OQ 3=OQ 31，∴OQ 32﹣4OQ 3+3＝0，∴OQ 3＝1或3，即Q 3（0，﹣1），Q 4（0，﹣3）．综上，Q 点坐标为（0，−72）或（0，32）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．15．(2019·海南)如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +5经过A （﹣5，0），B （﹣4，﹣3）两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结CD ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ．①当点P 在直线BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P ，使得∠PBC ＝∠BCD ？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【点睛】（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①S △PBC =12PG （x C ﹣x B ），即可求解；②分点P 在直线BC 下方、上方两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式得：{25a −5b +5=016a −4b +5=−3，解得：{a =1b =6，故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，即点C（﹣1，0）；（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1…②，设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），S△PBC=12PG（x C﹣x B）=32（t+1﹣t2﹣6t﹣5）=−32t2−152t﹣6，∵−32＜0，∴S△PBC有最大值，当t=−52时，其最大值为278；②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，∵∠PBC ＝∠BCD ，∴点H 在BC 的中垂线上，线段BC 的中点坐标为（−52，−32），过该点与BC 垂直的直线的k 值为﹣1，设BC 中垂线的表达式为：y ＝﹣x +m ，将点（−52，−32）代入上式并解得：直线BC 中垂线的表达式为：y ＝﹣x ﹣4…③，同理直线CD 的表达式为：y ＝2x +2…④，联立③④并解得：x ＝﹣2，即点H （﹣2，﹣2），同理可得直线BH 的表达式为：y =12x ﹣1…⑤，联立①⑤并解得：x =−32或﹣4（舍去﹣4），故点P （−32，−74）；当点P （P ′）在直线BC 上方时，∵∠PBC ＝∠BCD ，∴BP ′∥CD ，则直线BP ′的表达式为：y ＝2x +s ，将点B 坐标代入上式并解得：s ＝5，即直线BP ′的表达式为：y ＝2x +5…⑥，联立①⑥并解得：x ＝0或﹣4（舍去﹣4），故点P （0，5）；故点P 的坐标为P （−32，−74）或（0，5）．16．(2019·山西)综合与探究如图，抛物线y ＝ax 2+bx +6经过点A （﹣2，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （1＜m ＜4）．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【点睛】（1）由抛物线交点式表达，即可求解；（2）利用S △BDC =12HD ×OB ，即可求解；（3）分BD 是平行四边形的一条边、BD 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）由抛物线交点式表达式得：y ＝a （x +2）（x ﹣4）＝a （x 2﹣2x ﹣8）＝ax 2﹣2ax ﹣8a ， 即﹣8a ＝6，解得：a =−34，故抛物线的表达式为：y =−34x 2+32x +6；（2）点C （0，6），将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：y =−32x +6，如图所示，过点D 作y 轴的平行线交直线BC 与点H ，设点D （m ，−34m 2+32m +6），则点H （m ，−32m +6）S △BDC =12HD ×OB ＝2（−34m 2+32m +6+32m ﹣6）＝2（−34m 2+3m ），34S △ACO =34×12×6×2=92，即：2（−34m 2+3m ）=92，解得：m ＝1或3（舍去1），故m ＝3；（3）当m ＝3时，点D （3，154），①当BD 是平行四边形的一条边时，如图所示：M 、N 分别有三个点，设点N （n ，−34n 2+32n +6）则点N 的纵坐标为绝对值为154，即|−34n 2+32n +6|=154， 解得：n ＝﹣1或3（舍去）或1±√14，故点N （N ′、N ″）的坐标为（﹣1，154）或（1+√14，−154）或（1−√14，−154）， 当点N （﹣1，154）时，由图象可得：点M （0，0），当N ′的坐标为（1+√14，−154），由中点坐标公式得：点M ′（√14，0）， 同理可得：点M ″坐标为（−√14，0），故点M 坐标为：（0，0）或（√14，0）或（−√14，0）；②当BD 是平行四边形的对角线时，点B 、D 的坐标分别为（4，0）、（3，154） 设点M （m ，0），点N （s ，t ），由中点坐标公式得：{4+3=m +s 154+0=t +0，而t =−34s 2+32s +6， 解得：t =154，s ＝﹣1，m ＝8，故点M 坐标为（8，0）；故点M 的坐标为：（0，0）或（√14，0）或（−√14，0）或（8，0）．17．(2019·眉山)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =−49x 2+bx +c 经过点A （﹣5，0）和点B （1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．【点睛】（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1），即可求解；（2）PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG），即可求解；（3）分MN＝DM、NM＝DN、DN＝DM，三种情况分别求解．【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1）=−49x2−169x+209，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，−49m2−169m+209），则PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（−49m2−169m+209−4﹣2m）=−89（m+174）2+252，∵−89＜0，故当m=−174时，矩形PEFG周长最大，此时，点P的横坐标为−17 4；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM ∽△AMN ，AN BM =AM BD ，而AB ＝6，AD ＝BD ＝5，①当MN ＝DM 时，∴△BDM ≌△AMN ，即：AM ＝BD ＝5，则AN ＝MB ＝1； ②当NM ＝DN 时，则∠NDM ＝∠NMD ，∴△AMD ∽△ADB ，∴AD 2＝AB ×AM ，即：25＝6×AM ，则AM =256， 而AN BM =AM BD ，即AN 6−256=2565，解得：AN =5536； ③当DN ＝DM 时，∵∠DNM ＞∠DAB ，而∠DAB ＝∠DMN ， ∴∠DNM ＞∠DMN ，∴DN ≠DM ；故AN ＝1或5536．。
浅议函数中任意性与存在性问题
浅议函数中任意性与存在性问题姻文/陈刚盐城市阜宁县陈集中学，江苏阜宁224400函数的任意性与存在性问题，是一种常见题型，也是高考的热点之一。
它们既有区别又有联系，意义和转化方法各不相同，容易混淆。
对于这类问题，利用函数与导数的相关知识，可以把相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数最值大小的比较。
下面结合实例来看看函数中的任意性与存在性问题在解题中的区别。
1. 若函数()f x 的定义域为D ，对任意x D Î时有()0f x ³恒成立min ()0f x Û³；()0f x £恒成立max ()0f x Û£。
例1. 设函数32()29128f x x x x c =-++，若对任意[0,3]x Î，都有2()f x c <成立，则实数c 的取值范围是解析 因为32()29128f x x x x c =-++，由2()f x c < 所以32229128x x x c c -++<，所以32229128x x x c c -+<-令32()2912g x x x x =-+，欲使2()8g x c c <-对任意[0,3]x Î恒成立，则需使max ()g x <28c c -对任意[0,3]x Î成立即可。
所以 2()61812g x x x ¢=-+ 令()0g x ¢=，得121,2x x ==，当(0,1)x Î时，()0g x ¢>，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递增；当(1,2)x Î时，()0g x ¢<，所以函数()g x 在区间(1,2)上单调递减；当(2,3)x Î时，()0g x ¢>，所以函数()g x 在区间(2,3)上单调递增.又由(1)5,(3)9g g ==，故当[0,3]x Î时，max ()9g x =由题意得 298c c <-，得91c c ><-或。
函数图象中点的存在性问题1
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例 7、（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程 C1：y=-������ （x+2）（x-m）（m＞0）与 x 轴 相交于点 B、C，与 y 轴相交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧． （1）若抛物线 C1 过点 M（2，2），求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积； （3） 在 （1 ） 条件下， 在抛物线的对称轴上找一点 H， 使 BH+EH 最小，并求出点 H 的坐标； （4） 在第四象限内， 抛物线 C1 上是否存在点 F， 使得以点 B、 C、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求 m 的值；若 不存在，请说明理由．
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例 10、 （本题满分 12 分）已知一次函数 y = - x +7 与正比例函数 y =
4 3
x 的图象交于点 A，
且与 x 轴交于点 B. （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C，过点 B 作直线 l∥y 轴．动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单 位长的速度，沿 O—C—A 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平 移， 在平移过程中， 直线 l 交 x 轴于点 R， 交线段 BA 或线段 AO 于点 Q． 当点 P 到达点 A 时， 点 P 和直线 l 都停止运动．在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒. ①当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？ ②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请 说明理由．
1
例 8、（2012•福州）如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx（a≠0）经过 A（3，0） 、B（4，4）两 点． （1）求抛物线的解析式； （2） 将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后， 得 到的直线与抛物线只有一个公共点 D，求 m 的 值及点 D 的坐标； （3）如图 2，若点 N 在抛物线上，且∠NBO= ∠ ABO ，则在（ 2 ）的条件下，求出所有满足 △POD∽△NOB 的点 P 坐标（点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应） ．
“知”如何到“用”——浅谈函数零点存在性定理的应用
解．故得 ｍ 的取值 范围为［一２，０］．
例 ４ 已知函数，（ ）： 的图像 在 点（１，，（１））处
，
＇ 、
的切线与 轴平行，是否存在区间ｌ‘，ｔ＋÷ ｌ（ｔ＞０）使 函数
厂（ ）在 此 区间上存在 极值 和零点？
．
解 易得 ａ＝１，函数 ，（ ）在 （０，１）上单调 递增 ，在 （１， ＋＊ ）上单调递减．故 由零点存在性定理 ，得 ，（ ）在 区间 （０，
１）存在唯一零点．故可得 ０＜ｔ＜１＜ ＋÷ 和．厂（ｔ）＜０，解得 Ｊ
１
１
丁 ＜ ＜＿ ．
点评 主要考查 同学们对复合 函数零点存 在性定 理 的
Ｃ．（一Ｏ０，一２）
Ｄ．（一。ｏ，一１）
分析 如果直接考虑 函数 的单 调性再应用 函数零 点存
在 性定理这一相关结论 ，得选 Ｃ．
例 ６ （２０１６年 全 国卷 Ｉ理科 数 学第 ２１题 ）已知 函数
厂（ ）＝（ 一２）ｅ ＋ａ（ｘ一１） 有两个零点．求 口的取值 范 围．
．
解 ① 当 口＝０时 ，不符 ；② 当 ｏ＞０时 ，若 ∈（一＊ ， １） （∞）＜０，若 Ｅ（１，＋。ｏ），厂（ ）＞０，．‘．ｆ（ ）在 （一＊ ， Ｉ）单调递 减 ，在 （１，＋ ）单 调递增．又 １）＝ 一ｅ， ２）＝
很好地应 用了方程 转化 为 函数 的零 点来求 解 ，但 是分 类是 对 问题 没有考虑清楚．解 ３是最 快最简 洁的办 法．对 于这类 问题笔者 又做 了如下拓展．
例 ２ 设 集合 Ａ＝｛（ ，Ｙ）ｌ ＋砌 一Ｙ＋２＝０｝，Ｂ＝ ｛（ ，ｙ）ＩＹ＝ ＋１，０≤ ≤２｝，Ａ ｎＢ≠ ，求实 数 ｍ 的取值
函数图象中点的存在性问题
函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1满分解答（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OHA (-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点， 设y ＝ax (x －2)，代入点A(-，可得a =．图2所以抛物线的表达式为2(2)333y x x x x =-=-．（2）由221)y x x x ==-，得抛物线的顶点M 的坐标为(1,．所以tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A(-、B (2,0)、M (1,，得tan 3ABO ∠=，AB =3OM =． 所以∠ABO ＝30°，OA OM=因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当3BA OA BC OM ==时，23233BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当3BC OA BA OM==时，33236BC BA ==⨯=．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图5例2 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14bb =-．解得8b =±Q 为(1,2．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。
三次函数零点存在性问题探讨
求 m 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 3,1 ．
【解析】（1） f x 3x2 3a 3 x2 a ，
当 a 0 时，对 x R ，有 f x 0 ， f x 的单调增区间为 , ， 当 a 0 时，由 f x 0 解得 x a 或 x a ， 由 f x 0 解得 a x a ，
0得
x1
1 3
，
x2
1，
当
x
,
1 3
时，f
(x)
0
；当
x
1 3
,1
时，f
(x)
0
；当
x
1,
时，f
(
x)
0
，
x1
1 3
与
x2
1分别为
f
x
的极大值点与极小值点，
f
( x)极大值
f
( 1) 3
a
5 27
，
f
( x)极小值
的两个极值为
f
(0)
b，
f
2a 3
4 27
a3
b
，
则函数
f
(x)
有三个不同的零点等价于
f
0
f
2a 3
0
函数中存在性问题
函数中存在性问题
函数中存在性问题
——探讨
在数学中，有些题目的结论经常出现“存在”，“不存在”，
“至少有”等有关语句，这就是数学中的存在性问题。
具体点说，存在性问题考虑的是具有某种性质的数学对象是否存在，或数学对象是否具有某种性质。
它的回答可能是肯定的，也可能否定的，有时还设计为“是否存在”的探索性问题解这类问题，常常从结论入手分析，运用平面几何，数论组合计数等知识。
常用直接求解法，假设求解法。
（1）直接求解法
这是一种直接从已知条件入手，逐步试探，求出
满足条件的对象，使问题得到解决的解法。
线和直线交第一象限于点A，如果在x 轴上存在点P，使得
△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是——
（2）假设求解法
先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理；若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在。
A、点B，（点B 在X 轴的正半轴上），与y 轴交于点C，其顶点为D，直线DC 的函数关系式为y=Kx+3，又tan∠OBC=1 （1）求a、K 的值。
（2）探究；在该二次函数的图象上。
函数的存在性问题和零点问题
函数的存在性问题和零点问题【知识梳理】1．函数的零点：使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点．(1)函数的零点⇔方程的根；(2)零点存在理论：在区间[a ，b ]上连续；f (a )·f (b )<0.2．常见求解方法(1)直接解方程，如一元二次方程；(2)用二分法求方程的近似解；(3)一元二次方程实根分布规律；(4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点．画出y ＝f (x )图象可用到以下方法：①用图象变换法则画复杂函数图象；②用求导得出较复杂函数的单调性，然后再画图象，如y ＝ln x x ；③可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程e x ln x ＝1，转化为y ＝ln x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ； ④如果是带有参数的方程，可以进行参数分离变为m ＝g (x )，再画y ＝g (x )与y ＝m (常数函数)的图象．【热点探究】► 探究点一 用零点存在定理判断函数零点零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方法．只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数，不能够准确求解零点的值．【例1】 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20112011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 20112011，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ](a <b ，a ，b ∈Z)内，则b －a 的最小值为________．► 探究点二 用图象判定方程的根由于函数的零点⇔方程的根，所以当方程的根不能够直接求出时，可以通过图象来判断对应方程的根的个数．【例2】 (1)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x ＋log 2x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为________．(2)设定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －3|，x ≠3，1，x ＝3，若关于x 的方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是________．►探究点三不定方程的根的判断所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组．常见问题有：(1)求不定方程的解；(2)判定不定方程是否有解；(3)判定不定方程的解的个数．【例3】设m∈N，若函数f(x)＝2x－m10－x－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为________．►探究点四含参数的方程根的问题含有参数的方程根的问题，随着参数取值不同，方程根的个数不同，所以需要借助于数形结合和分类讨论的思想来解决．【例4】已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)．(1)若函数f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；(2)讨论方程f(x)＝0的解的个数，并说明理由．【例5】已知定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h(x)=x-a x且g（x）在x=1处取得极值．（1）求函数g（x）在x=2处的切线方程；（2）求函数h（x）的单调区间；（3）把h（x）对应的曲线C1向上平移6个单位后得到曲线C2，求C2与g（x）对应曲线C3的交点个数，并说明理由．【巩固训练】（全国II 理）已知函数()x x x f -=3。
第三讲 零点存在性问题
第三讲 零点存在性问题例1 设0a >，讨论方程2x e ax =的实根的个数．解 原议程等价于2ln ln x a x =+，令2()ln ln f x x a x =--则221()x f x x x -'=-=． 220()f x x''=>．且0x =是()f x 的不可导点．（１）0(,)x ∈-∞时，20()x f x x-'=>，所以()f x 严格增，因此原方程到多有一个实根，但0(),()f f -∞=-∞=+∞，所以原方程至多有一个实根．因此原方程在0(,)-∞内有唯一实根．（２）0(,)x ∈+∞时，()f x 在2x =取极小值，且为最小值．而22244()ln ln ln e f a a=--=．20()f >，即24e a <时，原方程无实根；20()f =，即24e a =时，原方程有一个实根；20()f <，即24e a >时，原方程有两个实根．综上得：24e a <，原方程有一个实根，24e a =原方程有两个实根，24e a >原方程有三个实根．例２ 设0a >，讨论方程a xx a =的实根个数．解 原方程等价于ln ln a x x a =，即ln ln x ax a =．令 0ln ln (),x a f x x x a=->，则21ln ()x f x x -'=，故x e=时，0()f x '=，又323ln ()x f x x -''=，故0()f e ''<，因此1ln ()af e e a=-为取大值．如果记1ln ()a g a e a =-，则21ln ()a g a a-'=，a e =为()g a 的稳定点，又因为332ln ()a g a a -''=，所以3320ln ()e g e a -''=>，所以10ln ()eg e e e =-=为最小值．即 10ln ()a f e e a=-≥．由于0(,)x e ∈时，()f x 严格增，(,)x e ∈+∞时，()f x 严格减，ln ()af a+∞=-，00()f +=-∞．（１） 当a e =，10ln ()a f e e a=-=，方程有唯一实根． （２） 当01a <≤时，10ln ()af e e a=->，方程有一实根0(,)x e ∈， 0ln ()af a+∞=-≥，在(,)e +∞上无实根，此时原方程有唯一实根．（３） 当1a >时，10ln ()af e e a=->，方程有一实根0(,)x e ∈，而 0ln ()af a+∞=-<，在(,)e +∞上方程也有一实根，此时原方程有两个实根．例3设函数()f x 、()g x 在[,]a b 中可导，且对于任意[,]x a b ∈，()()()()f x g x f x g x ''≠。
点的存在性
点的存在性题型特点存在性问题是指判断某种特殊条件或状态是否存在的问题，比如长度、角度、面积满足一定关系的点的存在性、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性等．点的存在性问题常以函数为背景，探讨是否存在点，满足某种关系或构成某种特殊图形．比如线段倍分、平行垂直、角度定值、面积成比例、全等三角形、相似三角形、特殊四边形等．解题思路解决点的存在性问题，遵循函数与几何综合中处理问题的原则．难点拆解点的存在性问题关键是利用几何特征建等式．建等式的方式有：①直接表达建等式．分析点存在所满足的特殊条件或关系，直接表达线段长．②转化表达建等式．如面积关系问题，转化面积关系为线段关系，结合关键点所在图形的边角信息及几何特征，建等式．③构造模型建等式．如角度间关系，需转化、构造将其放到三角形中，再借助线段间关系建等式．1.（2009湖北武汉）如图，抛物线经过A(﹣1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P 的坐标．2.（2012江苏南通改编）如图，经过点A(0，﹣4)的抛物线与x轴交于点B(﹣2，0)和点C，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式．（2）将抛物线先向上平移个单位长度、再向左平移m（m>0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围．（3）若点M在y轴上，且∠OMB＋∠OAB=∠ACB，求点M的坐标．3.（2011广东深圳）如图1，抛物线（a≠0）的顶点为C(1，4)，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，其中点B的坐标为(3，0)．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使以D，G，F，H四点为顶点的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及G，H两点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．图1图3图24.（2012浙江温州）如图，过原点的抛物线（m>0）与x轴的另一个交点为A．过点P(1，m)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B，C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长．（2）当m>1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并求出相对应的点E的坐标；若不存在，请说明理由．5.（2012辽宁沈阳）如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(0，2)，点E为线段AB上的一动点（点E不与点A，B重合）．以E 为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC AB，抛物线的图象经过A，C两点．（1）求此抛物线的函数表达式．（2）求证：∠BEF=∠AOE．（3）当△EOF为等腰三角形时，求点E的坐标．（4）在（3）的条件下，设直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（）倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．点的存在性1. （1）抛物线的解析式为．（2）点关于直线对称的点的坐标为(0，1)．（3）点的坐标为．2. （1）抛物线的解析式为y =12x 2-x -4．（2）符合条件的m 的取值范围为0＜m ＜52．（3）M (0，6)或M (0，-6)．3. （1）抛物线的解析式为y ＝-(x -1)2+4．（2）存在，四边形DFHG的周长最小为2+，点G 坐标为(1，1)，点H 坐标为(12，0)．（3）存在，点T 的坐标为(32，154)．4. （1）A (6，0)，BC =4．（2）m =32．（3）当m ＞1时，当点E 在x 轴上，m =2，点E 的坐标是(2，0)； 当点E 在y 轴上，m =2，点E 的坐标是(0，4)． 当0＜m ＜1时，当m =23时，点E 的坐标是(43，0)．5. （1）抛物线的表达式为y =-x 2-x +2．（2）证明略．（3）E (-1，1)或E (-，2-)． （4）存在，P (0，2)或P (-1，2)．234y x x =-++D BC P 266525⎛⎫- ⎪⎝⎭，2222222。
探解以二次函数为载体的点的存在性问题
探解以二次函数为载体的点的存在性问题作者：孟庆涛来源：《数理化学习·初中版》2013年第04期近年来各地试卷频频出现以二次函数为载体的点的存在性问题，是考察学生分析问题和解决问题能力的探究性题型.解决这类问题时往往要借助数学的分类思想，通过周密的思考和有条理的安排来逐一的解决问题.本文就这类问题进行归类探究，供大家参考.一、等腰三角形中点的存在性问题例1如图1，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）.（1）求抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.解析：等腰三角形中何边为腰未确定时，可分下面三种情况.由题意易知抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.设Q点坐标为（1，m），则AQ=4+m2，BQ=1+（3-m）2，又AB=10.①当AB=AQ时，4+m2=10，解得：m=±6，所以Q点坐标为（1，6）或（1，-6）.②当AB=BQ时，10=1+（3-m）2，解得：m1=0，m2=6.所以Q点坐标为（1，0）或（1，6）.③当AQ=BQ时，4+m2=1+（3-m）2，解得：m=1，所以Q点坐标为（1，1）.所以抛物线的对称轴上存在着点Q（1，6）、（1，-6）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形.二、直角三角形中点的存在性问题例2在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图2所示；抛物线y=ax2-ax-2经过点B.（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.解析：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，可知△BDC≌△CAO=90°，所以点B的坐标为（3，1），可得抛物线的解析式为y=12x2-12x-2.假设存在点P，使得△ACP是直角三角形，可分三种情况：①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图3.可证△MCP1≌△BCD，于是CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（-1，-1）；经检验点P1（-1，-1）在抛物线y=12x2-12x-2上.②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图4.同理可得△AP2N≌△CAO，于是NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（-2，1），经检验点P2（-2，1）也在抛物线y=12x2-12x-2上.[TP.tif>，BP#][TS（][HT5”SS][JZ]图4图5[TS）]③若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图5同理可得△AP3H≌△CAO；所以HP3=OA=2，AH=OC=1，可求得点P3（2，3），经检验点P3（2，3）不在抛物线y=12x2-12x-2上.故符合条件的点有P1（-1，-1），P2（-2，1）两个.三、相似三角形中点的存在性问题例3如图6，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，52）.（1）求抛物线的解析式；（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.解析：（1）由题意知抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，52），可得抛物线的解析式为y=12x2-4x+6.（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.由抛物线的解析式y=12x2-4x+6可知抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，-2）.则AN=4.又知直线AC过A（0，6），C（7，52）.所以直线AC的解析式为y=-12x+6.可得点E的坐标为（4，4），F的坐标为（4，-8）.于是可证△ANF≌△MNF，得∠CFE=∠AFE.（3）假设△AFP与△FDC相似可分两种情况.由C的坐标为（7，52），F坐标为（4，-8），A的坐标为（0，6）.所以CF=（52+8）2+（7-4）2=3532，FA=（6+8）2+42=253.又DF=6，由题意易知∠PAF=∠DFC，①若△AFP1∽△FCD，则P1ADF=AFCF，即P1A6=2533532，解得P1A=8，求得0 P1=8-6=2，所以P1的坐标为（0，-2）.②若△AFP2∽△FDC.则P2ACF=AFDF，即P2A3532=2536，解得P2A=532，求得0 P2=532-6=412.所以P2的坐标为（0，-412）.所以符合条件的点P的坐标是两个，分别是P1（0，-2），P2（0，-412）.四、特殊四边形中点的存在性问题例4如图7，抛物线y=13x2-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且对称轴x=1.（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标.[TP.tif>，BP#][TS（][HT5”SS][JZ]图7图8[TS）]解析：（1）由对称轴x=1可知--m2×13=1得m=23，又n=-1，所以抛物线的解析式为y=13x2-23x-1，由13x2-23x-1=0得x=-1或x=3，所以A（-1，0），B（3，0）.（2）假设四边形QPAB是平行四边形，则PQ与AB存在两种位置关系平行或平分，故可分两种情况讨论：①当PQ平行等于AB时，PQ=4，当P在y轴右侧时，P的横坐标为4，当P在y轴左侧时，P的横坐标为-4，所以P1（4，53），P2（-4，7）.②当PQ与AB互相平分时，PQ过AB的中点（1，0），可得P的横坐标为2，所以P3（2，-1）.综上所述P的坐标为（4，53）或（-4，7）或（2，-1）.数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法.在运用分类思想解决点的存在性问题时，其关键是抓住图形的特征，进行系统的分类，既不重复、也不遗漏. 另外在解决此问题时往往先假设问题的存在，再通过对图形的特性的分类得出相应线段的等量关系，并转化为方程来解决问题.。
函数图象中点的存在性问题
第一部分函数图象中点的存在性问题这部分压轴题的主要特征是先求函数的解析式,然后在函数的图象上探求符合几何条件的点.简单一点的题目,就是用待定系数法直接求函数的解析式.复杂一点的题目,先根据图形给定的数量关系,运用数形结合的思想,求得点的坐标,进而用待定系数法求函数的解析式.还有一种常见题型,解析式中有待定字母,这个字母可以和根与系数的关系联系起来求解,或者根据题意列出方程组求解.§1.1因动点产生的相似三角形问题相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步: 寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验.如果已知∠A=∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两边表示出来,按照对应边成比例,分=和=两种情况列方程.应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等.应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.求线段的长,要用到两点间的距离公式,而这个公式容易记错.理解记忆比较好.如图,如果已知A、B两点的坐标,怎样求A、B两点间的距离呢?我们以AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了.水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离,等于A、B两点的横坐标相减;竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离,等于A、B两点的纵坐标相减.如图1所示,已知二次函数y=-x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过A(3, 1)、C(0, 4)两点,顶点为M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.(1) 求该二次函数的解析式及点M的坐标;(2) 若将该二次函数的图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;(3) 点P是直线AC上的动点,若点P、C、M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).图1 备用图如图1,已知抛物线y=ax2-x+c的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(-1, 0),顶点为B.点C(5, m)在抛物线上,直线BC交x轴于点E.(1) 求抛物线的表达式及点E的坐标;(2) 连结AB,求∠B的正切值;(3) 点G为线段AC上一点,过点G作CB的垂线交x轴于点M(位于点E右侧),当△CGM 与△ABE相似时,求点M的坐标.图1如图1,△ABC的边AB是☉O的直径,点C在☉O上,已知AC=6cm, BC=8cm,点P、Q分别在边AB、BC上,且点P不与A、B重合,BQ=kAP(k>0),连结PC、PQ.(1) 求☉O的半径长;(2) 当k=2时,设AP=x, △CPQ的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(3) 如果△CPQ与△ABC相似,且∠ACB=∠CPQ,求k的值.图1 备用图如图1所示,直线y=-x+c与x轴交于点A(3, 0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B.(1) 求点B的坐标和抛物线的解析式;(2) M(m, 0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N.①点M在线段OA上运动,若以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;②点M在x轴上自由运动,若三个点M、P、N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M、P、N三点为“共谐点”.请直接写出使得M、P、N三点成为“共谐点”的m的值.图1备用图§1.2因动点产生的等腰三角形问题我们先回顾两个画图问题:1.已知线段AB=5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?2.已知线段AB=6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?已知腰长画等腰三角形,用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C.已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外.在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类.如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况.解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题既好又快.几何法一般分三步: 分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢?如果△ABC的∠A(的余弦值)是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法.①如图1,如果AB=AC,直接列方程;②如图2,如果BA=BC,那么AC=AB cos∠A;③如图3,如果CA=CB,那么AB=AC cos∠A.代数法一般也分三步: 罗列三边长,分类列方程,解方程并检验.如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长(的平方)就可以罗列出来.图1图2图3如图1所示,直线y=-x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0, 4),抛物线y=x2+bx+c经过点A交y轴于点B(0, -2).点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD ⊥PD于点D,连结PB,设点P的横坐标为m.(1) 求抛物线的解析式;(2) 当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;(3) 如图2所示,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD'P',且旋转角∠PBP'=∠OAC,当点P的对应点P'落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.图1图2备用图如图1所示,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A、B两点,与y 轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连结CE,已知点A、D的坐标分别为(-2, 0)、 (6, -8).(1) 求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;(2) 试探究抛物线上是否存在点F,使△FOE≌△FCE,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;(3) 若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0, m),直线PB与直线l交于点Q.试探究: 当m为何值时,△POQ是等腰三角形.图1如图1,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(3, 1),点B的坐标为(6, 5),点C的坐标为(0, 5),某二次函数的图象经过A、B、C三点.(1) 求这个二次函数的解析式;(2) 假如点Q在该二次函数图象的对称轴上,且△ACQ是等腰三角形,请直接写出点Q的坐标;(3) 如果点P在(1)中求出的二次函数的图象上,且tan∠PCA=,求∠PCB的正弦值.图1如图1,矩形ABCD中,AB=6, BC=8, P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD是矩形,连结CF.(1) 若△PCD为等腰三角形,求AP的长;(2) 若AP=,求CF的长.图1如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(-3, 0),点B的坐标为(4, 0),连结AC、BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时动点Q从点O出发,在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒,连结PQ.(1) 填空: b= , c= ;(2) 在点P、Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;(3) 在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;(4) 如图2,点N的坐标为-,线段PQ的中点为H,连结NH,当点Q关于直线NH的对称点Q'恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q'的坐标.图1 图2备用图如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-x-与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4, n)在抛物线上.(1) 求直线AE的解析式;(2) 如图2,点P是直线CE下方抛物线上的一点,连结PC、PE.当△PCE的面积最大时,连结CD、CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK 的最小值;(3) 点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2-x-沿x轴正方向平移得到新抛物线y', y'经过点D, y'的顶点为F.在新抛物线y'的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.图1 图2。
函数图象中点的存在性问题
函数图象中点的存在性问题由比例线段产生的函数关系问题例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3思路点拨1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65MD =． 因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425OA =． ③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =． 在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+． 整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85BF =． 在Rt △OMF 中，OF ＝8421055x x --=-，所以222426()()55OM x =-+． 在Rt △BPQ 中，BP ＝1，35PQ =，45BQ =． 在Rt △OPQ 中，OF ＝4461055x x --=-，所以222463()()55OP x =-+． ①当MO ＝MP ＝1时，方程22426()()155x -+=没有实数根． ②当PO ＝PM ＝1时，解方程22463()()155x -+=，可得425x OA == ③当OM ＝OP 时，解方程22426()()55x -+22463()()55x =-+，可得658x OA ==．例2 2012年连云港市中考第26题如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1答案 ：（1）当M 、N 都在O 右侧时，24122OM t t OA-==-，642163ON t t OB -==-， 所以OM ON OA OB≠．因此MN 与AB 不平行． （2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ． ②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么ON OA OM OB=． 所以462426t t -=-．解得t ＝2．图2 图3 图4（3）①如图2，24OM t =-，12OH t =-，3(12)MH t =-．(64)(12)52NH ON OH t t t =-=---=-．②如图3，42OM t =-，21OH t =-，3(21)MH t =-．(64)(21)52NH ON OH t t t =+=-+-=-．③如图4，42OM t =-，21OH t =-，3(21)MH t =-．(21)(46)52NH OH ON t t t =-=---=-．综合①、②、③，s 222MN MH NH ==+22223(21)(52)16322816(1)12t t t t t ⎡⎤=-+-=-+=-+⎣⎦． 所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米． 例3 2011年上海市中考第25题在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12sin 13EMP ∠=．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y 关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．图1 图2 备用图思路点拨1．本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐．反复解直角三角形，注意对应关系．2．备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E在BC上的图形画在备用图中．3．第（3）题当E在BC上时，重新设BP＝m可以使得运算简便一些．满分解答（1）在Rt△ABC中，BC＝30，AB＝50，所以AC＝40，3sin5A∠=，3tan4A∠=．在Rt△ACP中，3sin40245CP AC A=⋅∠=⨯=．在Rt△CMP中，因为12sin13CPCMPCM∠==，所以131324261212CM CP==⨯=．（2）在Rt△AEP中，3tan4EP AP A x=⋅∠=．在Rt△E MP中，因为12sin13EPEMPEM∠==，所以12tan5EPEMPMP∠==．因此55351212416MP EP x x==⨯=，13133131212416EM EP x x==⨯=．已知EM＝EN，PE⊥AB，所以MP＝NP516x =．于是52150501616y BN AB AP NP x x x ==--=--=-．定义域为0＜x＜32．（3）①如图3，当E在AC上时，由AM ENME NB=，得51316161321501616x x xx x-=-．解得x＝AP＝22．②如图4，当E在BC上时，设BP＝m，那么AP＝50－m．在Rt△BEP中，43EP m=．在Rt △EMP 中，5545121239MP EP m m ==⨯=，131313412129EM EP m m ==⨯=． 所以514505099AM AB BP MP m m m =--=--=-，54599BN BP NP m m m =-=-=． 这时由AM EN ME NB =，得1413509913499m m m m -=．解得m ＝BP ＝8．所以AP ＝50－m ＝42．图3 图4 图5考点伸展如果第（3）题没有条件“△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应”，那么还存在图5所示的一种情况，∠EAM ＝∠EBN ，此时PE 垂直平分AB ，AP ＝25．由面积产生的函数关系问题例1 2012年广东省中考第22题如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ． （1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)． 所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ． 所以2()ADE ACB S AE S AB ∆∆=． 而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ， 所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=． m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE m AD AE m-==． 因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD m S AD m ∆∆-==． 所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+． 当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818． 此时E 是AB 的中点，92BE =． 如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ． 在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以3313sin 1313B ==． 在Rt △BEH 中，93132713sin 21326EH BE B =⋅=⨯=． 当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==． 考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例2 2012年河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=． 探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2图3 图4答案 ：探究 AH ＝12，AC ＝15，S △ABC ＝84．拓展 （1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ． （2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x+=． 由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14． 所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12．（3）x 的取值范围是x ＝565或13＜x ≤14． 发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为565． 例3 2011年淮安市中考第28题如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ．（1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是________；（2）当1＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？图1思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4．（2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t =．所以24S t =． ②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44NE AE t ==-． 于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-， 211422233NHQ S NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭． ③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+． 所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t =．图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t =-，2EH EF t ==，由2324t t =-，得611t =． 如图9，当G 落在AC 上时，2AF t =+，2GF EF t ==，由2324t t =+，得65t =．图8 图9例4 2011年山西省中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点，点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t ＞0），△MPQ 的面积为S ．（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？图1思路点拨1．用含有t 的式子表示线段的长，是解题的关键．2．第（2）题求S 与t 的函数关系式，容易忽略M 在OC 上、Q 在BC 上的情况．3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．满分解答（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43y x =． （2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502t ＜≤． 在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43PM t =． 在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65AE t =． 于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153S PE PM t t =⋅=+． ②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532t ＜≤． 因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-． 因此2132223S PF PM t t =⋅=-+． ③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163t =． 因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-． 所以16322S MQ PM t =⋅=-+．图2 图3 图4（3）①当502t ＜≤时，222162160(20)153153S t t t =+=+-． 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大， 所以当52t =时，S 最大，最大值为856． ②当532t ＜≤时，2232812822()339S t t t =-+=--+． 因为抛物线开口向下，所以当83t =时，S 最大，最大值为1289． ③当1633t ＜≤时，16322S MQ PM t =⋅=-+． 因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14． 综上所述，当83t =时，S 最大，最大值为1289．考点伸展第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？此时161332t＜≤，216316MQ t t t=+-=-．因此16322S MQ PM t=⋅=-．图5例5 2011年重庆市中考第26题如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线P A的同侧．设运动的时间为t秒（t ≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中．2．用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况．3．探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况．满分解答（1）在Rt△ABC中，233 tan63BCBACAB∠===，所以∠BAC＝30°．如图2，当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，在Rt△BCF中，∠BFC＝60°，BC=23，所以BF＝2．因此PF＝3－2＝1，运动时间t＝1．图2（2）①如图3，当0≤t ＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE ，2343S t =+． ②如图4，当1≤t ＜3时，重叠部分为五边形BQMNE ，234333S t t =-++． ③如图5，当3≤t ＜4时，重叠部分为梯形FMNE ，43203S t =-+．④如图6，当4≤t ＜6时，重叠部分为等边三角形EFG ，23(6)S t =-．图3 图4 图5（3）等腰△AOH 分三种情况：①AO ＝AH ，②OA ＝OH ，③HA ＝HO ．在△AOH 中，∠A ＝30°为定值，AO ＝3为定值，AH 是变化的．△AEH 的形状保持不变，AH ＝3AE ．当E 由O 向A 运动时，AE ＝3－t ；当E 经A 折返后，AE ＝t －3．图6 图7 图8①当AO ＝AH 时，解3(3)3t -=，得33t =-（如图7）； 解3(3)3t -=，得33t =+（如图8）．②当OA ＝OH 时，∠AOH ＝120°，点O 与点E 重合，t ＝0（如图9）．③当HA ＝HO 时，H 在AE 的垂直平分线上，AO ＝3AH ＝3AE ．解3(3)3t -=，得t ＝2（如图10）；解3(3)3t -=，得t ＝4（如图11）．图9 图10 图11。
函数图象中点的存在性问题
第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1 考点伸展在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图5 例2 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1考点伸展 第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB ＝4OC 矛盾．例3 2012年黄冈市中考模拟第25题如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x mm=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．例4 2010年义乌市中考第24题如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例5 2009年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1例6 2008年苏州市中考第29题图1．考点伸展在本题情景下，怎样计算PB的长？如图3，作AF⊥AB交OP于F，那么△OBC≌△OAF，OF＝OC 233PF＝2233P A 3323)313=-=，所以31PB=．因动点产生的等腰三角形问题例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC 交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图考点伸展如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解256 BP ．例2 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3 2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 2011年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43y x=的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．例5 2010年南通市中考第27题如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1例 6 2009年江西省中考第25题如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图31.3 因动点产生的直角三角形问题例12013年山西省中考第26题如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1 考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值． 考点伸展如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线k y x=（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A 、C 关于直线y ＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形．因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．图4 图5 例4 2011年浙江省中考第23题设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长； ②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值．如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图1 例 7 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan ∠ABO 的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．图1第（3）题如果改为：点M 是抛物线上的一个点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1 图2例3 2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A 为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1例4 2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．图1例5 2011年江西省中考第24题将抛物线c 1：2y =x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c 2的表达式；（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．①当B 、D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图1例6 2010年山西省中考第26题在直角梯形OABC 中，CB //OA ，∠COA ＝90°，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2EB ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2 例7 2009年江西省中考第24题如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF的面积为S ，求S 与m 的函数关系．1.6 因动点产生的面积问题例1 2013年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1例 2 2012年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1 中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；（2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1 例 4 2011年南通市中考第28题如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和m y x=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？例5 2010年广州市中考第25题如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1 例 6 2010年扬州市中考第28题如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．图1 备用图 例7 2009年兰州市中考第29题如图1，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．（4）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．1.7 因动点产生的相切问题例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1tanA=时，求AP的长；（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图22），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tanA=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，3试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3例2 2012年河北省中考第25题如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1例3 2012年无锡市中考模拟第28题如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？图一1.8 因动点产生的线段和差问题例12013年天津市中考第25题在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2例2 2012年滨州市中考第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图1例3 2012年山西省中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1第二部分 函数图象中点的存在性问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2013年宁波市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为(－4,0)，点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD ．过P 、D 、B 三点作⊙Q ，与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于F ，连结EF 、BF ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）当点P 在线段AB （不包括A 、B 两点）上时．①求证：∠BDE ＝∠ADP ；②设DE ＝x ，DF ＝y ，请求出y 关于x 的函数解析式；（3）请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B 、D 、F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sinB ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3例3 如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1例4 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12sin 13EMP ∠=． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图2.2 由面积产生的函数关系问题 如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1例2 如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1例3 如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=．探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2例4 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ． （1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是________；（2）当1＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？。
二次函数图象上点的存在性问题
联合函数y＝x2 可得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P（3，9）
M
练习：(2009—2010 昌平二模)如图，抛物线y=ax2+bx-4a经 过A(-1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关 于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点， 且∠DBP=45°，求点P的坐标．
例1已知抛物线 y＝x2－2x－3 的的顶点为 D，点 P、 Q 是抛 物线上的动点，若△DPQ 是等边三角形，求△DPQ的面积。
解：根据 y＝x2－2x－3可得D（1，-4），因为△QPD是等边三
角形，所以直线DQ的斜率为 ，因为D（1，-4），
所以l DQ: y＝ x-4-
,与二次函数y＝x2－2x－3联立起来解方 程，可得xQ=1+
∵P点在抛物线上，
∴P (
)
全等、相似与角度
板块二：二次函数与多个角
技巧和方法： 在抛物线上找点，满足两角和(差)关系。
例1二次函数 y＝x2－2x－3 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于 C 点，在二次函数的图 象上是否存在点 P，使锐角∠PCO＞∠ACO？若存在，请你 求出 P 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由。
例3 (2010 苏州)如图，以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B。 已知 A、 B 两点的坐标分别为(3， 0)、 (0， 4)。 ⑶在⑵的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点 P， PA2＋PB2＋PM2＞28 是否总成立？ 请说明理由
解：(1) （1）设y=a(x-3)2，把B（0，4）代入，得a= （2）∵m，n为正整数∴ (m-3)2 应该是9的整数，∴m是3的倍数， 又∵m>3，∴m=6，9，12...， 当m=6时，n=4，此时MA=5，MB=6， ∴四边形OAMB的四边长为3，4，5，6， 当m≥9时，MB>6，∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的 正整数，∴点M坐标只有一种可能（6，4）； （3）设P（3，t），MB与对称轴交点为D，
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浅谈函数中点的存在性问题
作者：王青
来源：《学习与科普》2019年第03期
摘要：存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题数学解题策略，含有與
三角形，四边形，面积等问题相结合，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”.这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论.
关键词：存在性问题；一般思路；假设
1 引言
这类试题向来是中考数学压轴题，它的主要特征是先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点.
列出方程组求解.
函数图象形象地展现了函数的性质，为探究点的存在性提供了直观基础，体现了数形结合的思想[2] 这类问题具有灵活性，多变性融入三角形，四边形，面积等综合运用全等知识，相似知识，三角函数，勾股定理等知识，同时又产生变量，又利用一次函数，二次函数性质解释存在性问题.通过猜想，然后证明猜想的方法是通过取特殊的图形或特殊的位置，或应用极端
原理等，即用数学实验的方法，也就是以从特殊到一般的思考方法寻求问题的解，然后经过严格的推理论证，得到问题的最终解决[3].
2 与三角形有关的存在性问题
以函数为载体三角形图像为基础的点的存在性问题中，先要确定函数的解析式，函数图像，然后再是存在问题，在解决存在性问题时假定结论成立，然后依据已知条件和有关的知识进行推理，能推出正确的结论，那么就存在，不能推出，就不存在.
例1 如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.。