辅助角公式专题练习

辅助角公式专题训练2015-3-23.

袁毅

一．知识点回顾

对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =

++++a b x a a b

x b a b

222

2

2

2

(sin cos )·

·

。记

a a b

2

2

+=cos θ，

b a b 22

+=sin

θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+

由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*

cos ,θ=

sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终

化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。 二．训练

1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1

）1sin 2αα+； （2

cos αα+；

（3）sin cos αα- （4

）sin()cos()6363

ππ

αα-+-．

（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +

2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5

3.若函数()(1)cos f x x x =+，02

x π

≤<

，则()f x 的最大值为 ( )

A ．1

B ．2

C 1

D 2

4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈

5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-

π

8

对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝

⎛

⎭

⎪⎫

x ＋

π3的最大值是________．

7.2)cos()12

12

3x x π

π

+

++

=

，且 02

x π

-<<，求sin cos x x -的值。

8.求函数f x k x k x x ()cos(

)cos()sin()=+++--++61326132233

2πππ

(,)x R k Z ∈∈的值域。

6.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4

π

=x 处

取得最小值，则函数)4

3(

x f y -=π

是 （ ）

A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称

B ．偶函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称

C ．奇函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称

6.D

9.

若sin(50)cos(20)x x +++=o o 0360x ≤

11.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1

(cos(),)32

b x π=+-r ,

(sin(),0)3

c x π

=+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x 的值.

（本题中可以选用的公式有21cos 21

cos ,sin cos sin 222

a αααα+=

=）

参考答案

1.（6

）

sin cos )

)

a x

b x x x x ϕ+==+

其中辅助角ϕ

由cos sin ϕϕ⎧

=⎪

⎪

⎨⎪=

⎪⎩

确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b

2.[答案] C

[解析] y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π

6＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫π

6＋x ＝cos ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

6(x ∈R )． ∵x ∈R ，∴x ＋π

6∈R ，∴y min ＝－1.

3.答案：B

解析

因为()(1)cos f x x x =

=cos x x +=2cos()3

x π

-

当3

x π=

是，函数取得最大值为2. 故选B

4.答案 C

解析 ()2sin()6

f x x π

ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，

由2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

得，,3

6

k x k k z π

π

ππ-

≤≤+

∈，故选C

5.解：可化为y a x =++122sin()θ。 知x =-π

8

时，y 取得最值±12+a ，即

7. [答案]

3

[解析] 法一：y ＝cos ⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＋cos ⎝⎛⎭

⎫x ＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋3

2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3⎣⎡

⎦

⎤

32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3

＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－x －π3＝3cos ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

6≤ 3.