2020届全国大联考高三第六次联考文科数学试题及答案(解析版)
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【详解】
解： .
故选：A
【点睛】
本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
7．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】首先利用二倍角正切公式由 ，求出 ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
，
又 和 的图象都关于 对称，
由 ，
得 ， ，
即 ，
又 ，
.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
10．将一块边长为 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为 ，则 的值为（）
证明如下：
连接 交 于点 ，连接 .
、 、 分别为边 、 、 的中点，
.
又 是 的重心，
，
，
平面 ， 平面 ，
平面 .
【点睛】
本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
20．已知抛物线 ： （ ）的焦点 到点 的距离为 .
【详解】
解：∵ ，∴可解得 或 ，
∴“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．
8．下列四个图象可能是函数 图象的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由 的图象沿 轴向左平移1个单位而得到，因为 为奇函数，即可得到函数图象关于 对称，即可排除A、D，再根据 时函数值，排除B，即可得解.
本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.
11．已知函数 ，若 有2个零点，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，可得 ，要使得 有两个实数解，即 和 有两个交点，结合已知，即可求得答案.
【详解】
令 ，
可得 ，
要使得Hale Waihona Puke Baidu有两个实数解，即 和 有两个交点，
，
令 ，
【详解】
解：∵双曲线 的离心率为 ，
所以 ，∴ ，∴ ，双曲线的焦距为 .
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
4．在等差数列 中，若 为前 项和， ，则 的值是（）
A．156B．124C．136D．180
【答案】A
【解析】因为 ，可得 ，根据等差数列前 项和，即可求得答案.
【详解】
18．已知在 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）7（2）14
【解析】（1）在 中， ，可得 ，结合正弦定理，即可求得答案；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】
（1） 在 中， ，
，
，
，
，
.
（2） ，
，
，
解得 ，
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线 ： ， ， ，由原点 在以 为直径的圆的外部，可得 ，联立直线 与椭圆 方程，结合韦达定理，即可求得答案.
【详解】
显然直线 不满足条件，故可设直线 ： ，
， ，由 ，得 ，
，
解得 或 ，
， ，
，
，
，
解得 ，
直线 的斜率 的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】
【详解】
∵ 的定义域为 ，
其图象可由 的图象沿 轴向左平移1个单位而得到，
∵ 为奇函数，图象关于原点对称，
∴ 的图象关于点 成中心对称.
可排除A、D项.
当 时， ，∴B项不正确.
故选：C
【点睛】
本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.
【解析】（1）要证 平面 ，只需证明 ， ，即可求得答案；
（2）连接 交 于点 ，连接 ，根据已知条件求证 ，即可判断 与平面 的位置关系，进而求得答案.
【详解】
（1）
， 为边 的中点，
，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
，
在 内， ， 为所在边的中点，
，
又 ， ，
平面 .
（2）判断可知， 平面 ，
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）
【解析】（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出 ，与临界值表中的数据对照后可得结论；（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求.
【详解】
（1）由题意可得：
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
不经常阅读
合计
200
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.
附： ，其中 .
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是掌握正弦定理边化角，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
19．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， .点 ， ， 分别为线段 ， ， 的中点，点 是线段 的中点.
（1）求证： 平面 .
（2）判断 与平面 的位置关系，并证明.
【答案】（1）见解析（2） 平面 .见解析
2020届全国大联考高三第六次联考
数学试题（文科）
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
C． 或 D．
【答案】D
【解析】首先求出集合 ，再根据补集的定义计算可得；
【详解】
解：∵ ，解得
∴ ，∴ .
故选：D
【点睛】
本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则（）
，
，当且仅当 ，
即 时， 取得最小值 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
16．已知边长为 的菱形 中， ，现沿对角线 折起，使得二面角 为 ，此时点 ， ， ， 在同一个球面上，则该球的表面积为________.
从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共21种，
被选中的 位居民都是经常阅读居民的情况有 种，
所求概率为 .
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力.对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题.
解：∵ ，∴当 时， 满足 ，∴实数 可以为8.
故选：C
【点睛】
本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.
6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以 、 、 、 、 为顶点的多边形为正五边形，且 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减.
当 时， ，
若直线 和 有两个交点，则 .
实数 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
12．设过定点 的直线 与椭圆 ： 交于不同的两点 ， ，若原点 在以 为直径的圆的外部，则直线 的斜率 的取值范围为（）
故该球的表面积为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.
三、解答题
17．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
【点睛】
本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.
15．已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ，则 的最小值为________.
【答案】40
【解析】设等比数列 的公比为 ，根据 ，可得 ，因为 ，根据均值不等式，即可求得答案.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
，
，
等比数列 的各项为正数，
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【解析】推导出 ，且 ， ， ，设 中点为 ，则 平面 ，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．
【详解】
解：如图（4）， 为该四棱锥的正视图，由图（3）可知， ，且 ，由 为等腰直角三角形可知，
，设 中点为 ，则 平面 ，∴ ，
∴ ，解得 .
故选：D
【点睛】
【答案】
【解析】根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
从袋中任意地同时摸出两个球共 种情况，其中有 种情况是两个球颜色不相同；
故其概率是
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
14．已知函数 ，则 ________；满足 的 的取值范围为________.
【答案】
【解析】首先由分段函数的解析式代入求值即可得到 ，分 和 两种情况讨论可得；
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
∵ ，
∴当 时， 满足题意，∴ ；
当 时，由 ，
解得 .综合可知：满足 的 的取值范围为 .
故答案为： ； .
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，根据复数的几何意义得到 、 的关系式，即可得解；
【详解】
解：设
∵ ，∴ ，解得 .
故选：B
【点睛】
本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.
3．若双曲线 的离心率为 ，则双曲线的焦距为（）
A． B． C．6D．8
【答案】A
【解析】依题意可得 ，再根据离心率求出 ，即可求出 ，从而得解；
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
130
不经常阅读
40
30
70
合计
140
60
200
则 ，
所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人.
采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为 、 、 、 、 ；
不经常阅读的有2人，记为 、 .
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按 ， 编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母 ， 的概率为________.
，
，
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了求等差数列前 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
5．已知 ， ， ，若 ，则正数 可以为（）
A．4B．23C．8D．17
【答案】C
【解析】首先根据对数函数的性质求出 的取值范围，再代入验证即可；
【详解】
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，点 、 分别在第一和第二象限内，求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为 ，可得 ，即可求得答案；
（2）分别设 、 的斜率为 和 ，切点 ， ，可得过点 的抛物线的切线方程为 ： ，联立直线 方程和抛物线 方程，得到关于 一元二次方程，根据 ，求得 ， ，进而求得切点 ， 坐标，根据两点间距离公式求得 ，根据点到直线距离公式求得点 到切线 的距离 ，进而求得 的面积.
【答案】
【解析】分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，由图形的对称性可知球心必在 的延长线上，设球心为 ，半径为 ， ，由勾股定理可得 、 ，再根据球的面积公式计算可得；
【详解】
如图，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，
则易得 ， ， ， ，
由图形的对称性可知球心必在 的延长线上，
设球心为 ，半径为 ， ，可得 ，解得 ， .
9．已知将函数 （ ， ）的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 和 的图象都关于 对称，则 的值为（）
A．2B．3C．4D．
【答案】B
【解析】因为将函数 （ ， ）的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，可得 ，结合已知，即可求得答案.
【详解】
将函数 （ ， ）的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象
解： .
故选：A
【点睛】
本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
7．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】首先利用二倍角正切公式由 ，求出 ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
，
又 和 的图象都关于 对称，
由 ，
得 ， ，
即 ，
又 ，
.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
10．将一块边长为 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为 ，则 的值为（）
证明如下：
连接 交 于点 ，连接 .
、 、 分别为边 、 、 的中点，
.
又 是 的重心，
，
，
平面 ， 平面 ，
平面 .
【点睛】
本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
20．已知抛物线 ： （ ）的焦点 到点 的距离为 .
【详解】
解：∵ ，∴可解得 或 ，
∴“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．
8．下列四个图象可能是函数 图象的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由 的图象沿 轴向左平移1个单位而得到，因为 为奇函数，即可得到函数图象关于 对称，即可排除A、D，再根据 时函数值，排除B，即可得解.
本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.
11．已知函数 ，若 有2个零点，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，可得 ，要使得 有两个实数解，即 和 有两个交点，结合已知，即可求得答案.
【详解】
令 ，
可得 ，
要使得Hale Waihona Puke Baidu有两个实数解，即 和 有两个交点，
，
令 ，
【详解】
解：∵双曲线 的离心率为 ，
所以 ，∴ ，∴ ，双曲线的焦距为 .
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
4．在等差数列 中，若 为前 项和， ，则 的值是（）
A．156B．124C．136D．180
【答案】A
【解析】因为 ，可得 ，根据等差数列前 项和，即可求得答案.
【详解】
18．已知在 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）7（2）14
【解析】（1）在 中， ，可得 ，结合正弦定理，即可求得答案；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】
（1） 在 中， ，
，
，
，
，
.
（2） ，
，
，
解得 ，
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线 ： ， ， ，由原点 在以 为直径的圆的外部，可得 ，联立直线 与椭圆 方程，结合韦达定理，即可求得答案.
【详解】
显然直线 不满足条件，故可设直线 ： ，
， ，由 ，得 ，
，
解得 或 ，
， ，
，
，
，
解得 ，
直线 的斜率 的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】
【详解】
∵ 的定义域为 ，
其图象可由 的图象沿 轴向左平移1个单位而得到，
∵ 为奇函数，图象关于原点对称，
∴ 的图象关于点 成中心对称.
可排除A、D项.
当 时， ，∴B项不正确.
故选：C
【点睛】
本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.
【解析】（1）要证 平面 ，只需证明 ， ，即可求得答案；
（2）连接 交 于点 ，连接 ，根据已知条件求证 ，即可判断 与平面 的位置关系，进而求得答案.
【详解】
（1）
， 为边 的中点，
，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
，
在 内， ， 为所在边的中点，
，
又 ， ，
平面 .
（2）判断可知， 平面 ，
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）
【解析】（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出 ，与临界值表中的数据对照后可得结论；（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求.
【详解】
（1）由题意可得：
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
不经常阅读
合计
200
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.
附： ，其中 .
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是掌握正弦定理边化角，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
19．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， .点 ， ， 分别为线段 ， ， 的中点，点 是线段 的中点.
（1）求证： 平面 .
（2）判断 与平面 的位置关系，并证明.
【答案】（1）见解析（2） 平面 .见解析
2020届全国大联考高三第六次联考
数学试题（文科）
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
C． 或 D．
【答案】D
【解析】首先求出集合 ，再根据补集的定义计算可得；
【详解】
解：∵ ，解得
∴ ，∴ .
故选：D
【点睛】
本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则（）
，
，当且仅当 ，
即 时， 取得最小值 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
16．已知边长为 的菱形 中， ，现沿对角线 折起，使得二面角 为 ，此时点 ， ， ， 在同一个球面上，则该球的表面积为________.
从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共21种，
被选中的 位居民都是经常阅读居民的情况有 种，
所求概率为 .
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力.对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题.
解：∵ ，∴当 时， 满足 ，∴实数 可以为8.
故选：C
【点睛】
本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.
6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以 、 、 、 、 为顶点的多边形为正五边形，且 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减.
当 时， ，
若直线 和 有两个交点，则 .
实数 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
12．设过定点 的直线 与椭圆 ： 交于不同的两点 ， ，若原点 在以 为直径的圆的外部，则直线 的斜率 的取值范围为（）
故该球的表面积为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.
三、解答题
17．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
【点睛】
本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.
15．已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ，则 的最小值为________.
【答案】40
【解析】设等比数列 的公比为 ，根据 ，可得 ，因为 ，根据均值不等式，即可求得答案.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
，
，
等比数列 的各项为正数，
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【解析】推导出 ，且 ， ， ，设 中点为 ，则 平面 ，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．
【详解】
解：如图（4）， 为该四棱锥的正视图，由图（3）可知， ，且 ，由 为等腰直角三角形可知，
，设 中点为 ，则 平面 ，∴ ，
∴ ，解得 .
故选：D
【点睛】
【答案】
【解析】根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
从袋中任意地同时摸出两个球共 种情况，其中有 种情况是两个球颜色不相同；
故其概率是
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
14．已知函数 ，则 ________；满足 的 的取值范围为________.
【答案】
【解析】首先由分段函数的解析式代入求值即可得到 ，分 和 两种情况讨论可得；
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
∵ ，
∴当 时， 满足题意，∴ ；
当 时，由 ，
解得 .综合可知：满足 的 的取值范围为 .
故答案为： ； .
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，根据复数的几何意义得到 、 的关系式，即可得解；
【详解】
解：设
∵ ，∴ ，解得 .
故选：B
【点睛】
本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.
3．若双曲线 的离心率为 ，则双曲线的焦距为（）
A． B． C．6D．8
【答案】A
【解析】依题意可得 ，再根据离心率求出 ，即可求出 ，从而得解；
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
130
不经常阅读
40
30
70
合计
140
60
200
则 ，
所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人.
采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为 、 、 、 、 ；
不经常阅读的有2人，记为 、 .
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按 ， 编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母 ， 的概率为________.
，
，
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了求等差数列前 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
5．已知 ， ， ，若 ，则正数 可以为（）
A．4B．23C．8D．17
【答案】C
【解析】首先根据对数函数的性质求出 的取值范围，再代入验证即可；
【详解】
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，点 、 分别在第一和第二象限内，求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为 ，可得 ，即可求得答案；
（2）分别设 、 的斜率为 和 ，切点 ， ，可得过点 的抛物线的切线方程为 ： ，联立直线 方程和抛物线 方程，得到关于 一元二次方程，根据 ，求得 ， ，进而求得切点 ， 坐标，根据两点间距离公式求得 ，根据点到直线距离公式求得点 到切线 的距离 ，进而求得 的面积.
【答案】
【解析】分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，由图形的对称性可知球心必在 的延长线上，设球心为 ，半径为 ， ，由勾股定理可得 、 ，再根据球的面积公式计算可得；
【详解】
如图，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，
则易得 ， ， ， ，
由图形的对称性可知球心必在 的延长线上，
设球心为 ，半径为 ， ，可得 ，解得 ， .
9．已知将函数 （ ， ）的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 和 的图象都关于 对称，则 的值为（）
A．2B．3C．4D．
【答案】B
【解析】因为将函数 （ ， ）的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，可得 ，结合已知，即可求得答案.
【详解】
将函数 （ ， ）的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象