向量的点积与叉积

2020年6月7日
高等数学
北京工商大学 杨益民
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第二节 数量积、向量积与混合积
一、两向量的数量积
引例：求质点在常力F 作用
ur
F
下，沿直线从点 A 移动到点
B 所作的功？
A
B
ur uuur ur uuur
ur uuur
W
F
uuur AB
AB
F AB cos F , AB
定义
ar
称为
ar,
rr b的,混c合积。
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例
5
求同时垂直a
3i
2
j
4k ，b
i
j
2k
的单位向量。
例 6 已知△ABC 顶点坐标为 A(1,2,3)、B(3,4,5)、
C(2,4,7)，求△ABC 的面积。
解：
1 uuur uuur
SVABC 2 AB AC
)
b
(ar b
)
(3)
ar
r b
r b
ar
(4)
r a
r (b
r c)
r a
r b
r a
r c;
r (a
r b)
r c
r a
r c
r b
r c
证明（第一个等式）
(5)
( ar )
r b
ar
(
r b)
(ar
r b );
(
ar)
r
(b)
(ar
r b)
证明（第一个等式）
r r r r r ur
r 2 r 2 ur 2
向量积也称为“叉积”、“外积”。
几何解释：
| a b|等于a和b所决定
的平行四边形的面积 S。
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cr
ar
r b
r
b
S
ar
r b
ar
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向量积的性质：
(1)
ar
ar
r 0
( 0 sin 0)
(2)
a//
b
ar
r b
r 0
rr
a b
ax ay az bx by bz
r b
r b
r a
（2）
(ar
r b)
cr
ar
cr
r b
cr
（3）
( ar
)
r b
ar
r
( b )
(ar
r b)
向量积的坐标表达式
设
a
a
x
i
a
y
j
az
k,
b bxi by j bzk
a
b
(a
x
i
a
y
j
az
k)
(bx
i
by
j
bz
k)
r
r
r
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
r ar
b
Pr
r jra
b
ar
r b
r
b
axbx a yby bx2 by2
azbz bz2
r r rr a b a b 0 axbx ayby azbz 0
例1
证明c与(a
c)b
(b
c)a垂直。
证明：
[(a
c)b
(b
c)a]
c
[(a
c)b
(b
c)a]c
[(a
c)b
rr rr r r r (3) i i j j k k 0 ;
rr rr r rrr r i j k, j k i , k i j; rr r r r rr r r j i k, k j i , i k j
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向量积满足下列运算规律
（1）
r a
cos
ax
rr a,b
bx
ay
r a r
byr br
a z bz
| a || b |
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
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r bar
Pr
r jarb
ar
r b
ar
axbx a yby ax2 ay2
a z bz az2
例 7 已知△ABC 顶点坐标为 A(1,-1,2)、B(5,-6,2)、
C(1,3,-1)，求 AC 边上的高BD。
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例8 设向量m, n, p两两垂直，符合右手规则，且 | m | 4，| n| 2，| p| 3，计算(m n) p。
解：
ur r ur ur r ur
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向量积还可用三阶行列式表示
ar
r b
(a ybz
azby
r )i
(azbx
a x bz
r )j
(axby
a ybx
r )k
rrr
i jk
ax ay az
bx by bz
记住：欲求同时垂直于
的向量，ar、请用br叉积吧！
ar,
r b,
r c
共面
rrr (a b) c 0
在xoy平面上，求一单位向量，使它与
r a
r i
r j
ur k
垂直。
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二、两向量的向量积
支点O
力臂l
力
ur F
A作用点
支点O
力臂l
A作用点
力
ur F
力矩
uur M
方向：向外（拧松） 向内（拧紧） uur ur ur uuur ur uuur
大小：M F l F OA sin F ,OA
(6) i j i j j k 0, i j k 1
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数量积的坐标表示：
r a
Leabharlann Baidu
r b
|
r a
r
||
r
rb
|
cosr
r a,
r
r b
|
a
|
(bar
)
b
(ar b
)
设
a
ax
i
a
y
j
az
k,
b bxi by j bzk
rr
a b (axi ay j azk ) (bxi by j bzk )
方向总是依
OuuAur成, 右Fur手, uM系ur，且垂直于
平面。
uuur ur OA, F
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定义
两个向量a与b的向量积为：cr
ar
r b
cr
ar
r b
模：
| cr
|
ar
r b
|
ar
||
r b
|
sin
ar,
r b
cr
ar
,
r b 所定的平面。
方向：
依ar,
r b,
cr序成右手系。
r b
|
ar
||
r b
|
cos
ar,
r b
|
ar
|
r (bar
)
r b
r (ar
b
)
数量积也称为“点积”、“内积”。
r b
r a
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数量积的若干性质：
ar
r b
|
ar
||
r b
|
cos
ar,
r b
(1)
r a
r a
|
r a
|2
(2)
a
b
0
ar
r b
r r rr
|
a
|
(bar
c
(b
c)a
c]
0
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例
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已知a
{1,1,4}，b
{1,2,2}，求：
（1）a与b的夹角；（2）a在
b 上的投影。
解： (1) 3 ;
4
(2)
Pr
r jba
3
例3 证明三角函数的余弦定理： c2 a2 b2 2abcos
证明： 如图
A
c
b
B
a
C
例4
ur r ur
(m n) p | m n || p | cos m n, p
ur r ur | m n || p | cos 0o
ur r ur r
ur r
m n m n sin m, n 4 21 8
ur r ur (m n) p 8 31 24