用仿射变换解决初等几何中的一些问题
第四章 仿射变换在初等几何证明中的作用_作业
一、必做作业
1．用仿射几何与初等几何两种方法证明以下各题：
1）过的顶点任作一条直线，
与边及中线分别交于点及，求
证．
证明1(初等几何)：过点B作CF∥BH,
并延长AD交HB于点G.
因为CD=DB,易得四边形CFBH为平行四边形，从而得到ED=DG;
由平行线分线段成比例，则AE:EG=AF:FB,又EG=2ED,所以AE:2ED=AF:FB,即AE:ED=2AF:FB.
证明2（仿射变换）建立仿射坐标系：A(0，
0),B(b，0)，C(0，c)则D(b/2,c/2),下面设
CF:y=kx+c,分别求E和F的坐标。
因为AB:y=0，
从而得到F(-c/k,0),
2）（梅耐劳斯定理）设
分别在的边
及（或延长线）上，
求证：三点共线的充
要条件是
证明：如图，建立仿射坐标系：
3）已知
中，是边上的中点，是上的任一点，连结
并延长交于，连并延长交
于，求证//．
证明：如图，延长AD 至K 使得
AKC 中，根据平行线分线=AF AE FB EC ，所以FE ∥BC。
仿射变换理论及其在几何中的应用
(1.14)
证以 为原点 为坐标向量建立仿射坐标系如图五
若令 则根据定比分点公式,有关点的坐标为
,
共线的充要条件是 ,而
所以 的充要条件是
化简得 ,(1.14)式成立.
古希腊亚历山大里亚的数学家、天文学家梅内劳斯(公元98年左右),在其幸运的保留下来的三卷≤球面几何≥( )[4]中提出了着个定理.
1平面上的仿射坐标系与仿射变换
我们引进仿射坐标系：在平面上任取一点 及两个不共线的向量
(不一定是单位向量，且 不一定垂直的)这样我们就建立了仿射坐标系
如图1
对于平面上任一点 ，则向量 可唯一地表示为
数组 称为关于仿射坐标系 的仿射坐标.
定理1.0 在仿射坐标系下，直线方程一定是关于仿射坐标系的一次方程
故
推论1 两个平行四边形面积之比是仿射不变量.
推论2 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.
例1 求椭圆的面积(图4).
方法一:解 在直线坐标系下,
椭圆
经仿射变换 (1.13)
变为圆
如图4,椭圆内 经(1.13)对应为 ,其中 , , , 从而
即
于是,椭圆的面积为
方法二[2]:解 化椭圆为参数方程
求得椭圆所围面积为
,
即 共线.
定义1.1在平面上点之间的一个线性变换
（1.05）
叫做仿射变换，其中 分别是 的仿射坐标.
从仿射变换的代数表示可知平面内不共线的三对对应点（原像不共线，像也不共线）唯一决定一个仿射变换，称为仿射几何的基本定理.
例1 有公式所确定的变换表示分别沿轴与轴两个压缩变换的乘积，显然是一个仿射变换.
仿射不变性与不变量在初等平面几何中的应用举例
仿射不变性与不变量在初等平面几何中的应
用举例
1 什么是仿射不变性
仿射不变性是指几何形状在仿射变换或者多个仿射变换的组合中不发生改变的集合特性，也就是说满足仿射变换条件的几何形状在变换前后仍然形状不变、大小不变，其位置或者角度可能会随着变换而发生变化。
2 什么是不变量
不变量是指在相应的几何图形或者变换的循环中保持不变的量，它通常用于描述几何形状和某种变换之间的关系。
除了仿射不变性，不变量也可以应用于角变换、比例变换、旋转变换等等。
3 仿射不变性与不变量在初等平面几何中的应用
仿射不变性和不变量在初等平面几何中都有重要的应用，它们可以帮助我们更好地理解和描述几何形状之间的关系。
例如，可以用它们来解决关于平行线、垂直线、夹角等的问题。
（1）以相等夹角的问题为例，如果有两条相交的直线AB和CD，它们在边AB处和边CD处形成边角为α的夹角，这时可以利用仿射不变性来证明它们在交点处也形成了边角为α的夹角。
因为任何一个仿射变换（即把形状横移、旋转、缩放等变换）都是一种不可破坏的变
换，可以保证夹角的形状不变，因此任何一个仿射变换都不会改变原
来的夹角α。
（2）利用不变量来解决问题也是同样的道理，比如说我们要解决
的夹角本身就可以作为一个不变量，这样就能更清晰地证明在不同的
仿射变换之后夹角也不发生改变。
以上就是仿射不变性和不变量在初等平面几何中应用的一些实例，从这些例子我们可以清楚地看出仿射不变性和不变量对平面几何研究
有着重要的意义。
更为重要的是，它们不仅适用于平面几何，而且还
可以用于空间几何、欧几里得几何以及很多其它科学领域。
仿射变换大全秒杀解解析几何(含答案)_20190319135006
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若椭圆 C1 的方程为 + =1（m＞n＞0），椭圆 C2 的方程为 + =λ
（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的λ倍相似椭圆．已知椭圆 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆．若 过椭圆 C 上动点 P 的切线 l 交椭圆 C2 于 A，B 两点，O 为坐标原点，试证明当切线 l 变化时|PA|=|PB| 并研究△OAB 面积的变化情况．
k PQ
2kPQ
；令
PQ 倾斜角为
， PQ 中点为 M
， OM
2 cos
，
PM QM 1 2 cos 2
，
故
SOPQ 2 cos 1 2 cos 2
2 cos 2 1 2 cos 2 1 ，
2
当 仅 当 2 cos 2 1 2 cos 2 cos 2 时 ， 等 号 成 立 ， 此 时
坐标拉伸秒杀椭圆问题（一）
秒杀秘籍：利用伸缩法解决椭圆问题
x2 a2
y2 b2
1
x x x x
y
a b
y
y
b a
y
x'2 y'2
a2
拉伸后点的坐标变化：A（
x0
,
y0
）→
A'(x0 ,
a b
y0 )
,横坐标不变，纵坐标拉伸
a b
倍。
斜率的变化：如图纵坐标拉 伸了 a 倍，故 k ' a k
2．x2+y2=1 经过伸缩变换
，后所得图形的焦距（ ）
A．4 B．2
仿射几何及其在初等几何的应用
仿射几何及其在初等几何的应用冯朝华摘要：数学概念的辨证性质，渗透贯穿在数学各个部分之中，数学概念是研究数学性质的最基本的条件，我们从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射几何在初等几何中的一些应用。
关键字：平行射影 简比 仿射性 仿射量 共线点定义1 对于a 和a ′是平面不平行的两条直线，设l 为平面上一条直线，通过直线a 上的诸点A ，B ，C ，D ，……作l 的平行线，交a ′于A`，B`，C`，D`，……，这样便定义了直线a 到a ′的一个映射。
称为透射仿射(平行射影)，a 上的点为原象点，a ′上的点为象点，l 为平行射影的方向，记这个透射仿射为T ，则写A ′=T(A )。
有了以上的定义后，我们来观察一种较常见的几何变形——平面到平面的透射仿射。
如下图所示，设π与π`为空间中的两个平面，l 是跟这两个平面都不平行的方向(向量)。
平面π上的直线a ，对过直线上的点A 作平行于l 的直线交平面π`于点A`，用同样的方法可作出点B 和点C 的对应点B`，C`。
于是便建立了平面π到π`的对应关系。
称为π到π`依方向l 的透射仿射。
根据初等几何的知识，我们很容易可以验证这种平行投影具有以下的性质： ○1π与π`之间的点建立一一对应关系，即π上的点通过变换成为π`上点；π上的直线变成了π`上的直线；○2若一个点A 在l 上，则A 的对应点A`也应在l 的对应直线l`上； ○3π上平行的两直线变到π`上的两条直线也是平行的。
○4直线上的三点的“单比(简比)”保持不变，也就是如果A,B,C 是π上共线的三点，A`，B`，C`分别是它们的象点，则BCAB C B B A ````。
我们把○1称为透射仿射具有同素性，把满足○2称为透射仿射具有结合性。
而满足○3则称为透射仿射具有平行性。
这是二平面间的透射仿射变换的概念和一些性质，利用此可以建立仿射变换的概念。
仿射变换在解决初等几何问题中的应用
２ １ ５ ３ ３ １ ）
分析 ： 因为 三角 形 的 中线 和直 线 的平 行 都是 仿 射 性 质 ． 所 以只 要 对 正 三 角 形证 明该 命 题 成 立 即可 ． 证 明 ： 在 正 ＡＡ Ｂ Ｃ 中， Ｐ 为Ｂ Ｃ 边 中 线 上 的一 点 ， Ｂ Ｐ ， Ｃ Ｐ 交
通过以上几方面的应用此外证明共点共线问题可以看出在三角形中如果已知条件与仿射变换中的不变性量相因为任意三角形可以由正三角形通过仿射变换得到这样可以把问题化难为易收到事半功倍的效果
■匪
仿 射 变 换 在 解 决 初 等 几 何 问 题 中 的 应 用
丛 芳
（ 昆 山 陆 家高 级 中学 ， 江苏 昆山 高 等 几 何 为 我 们 提 供 了解 决初 等 几 何 证 问 题 中的 一 些 方 法． 这 些 方 法 虽 然 大 多不 能 直 接 进 入 中学 课 堂 ， 但 它 们 能 够 帮 助 我们 思考 问题 ， 启发我们获得初等证法 ． 有 时 其 证 明 过 程 还 能 帮 助 我 们 找 到 发 现 新 的命 题 ．如 果 适 当地 运 用 仿 射 几 何 知 识， 在解决问题时 ， 就 会 使 问题 简 化 ， 收 到事 半 功 倍 的 效 果 ． 仿 射变 换 的性 质 取决 于 透 视 仿 射 的 性 质 。经 过 一 切 透 视 仿 射变 换 不 改变 的性 质 和 数量 ，称 为 仿 射 不 变 性 和 仿 射 不 变 量． 透 视仿射 （ 即平 行 摄 影 ） 将点 映成点 ， 将直线 映成 直线 ， 因 此 透 视 仿 射 具 有 同素 性 、 结合性． 针 对 仿 射 变 换 的不 变 性 和 不 变量 ， 我 们 可 以 解 决 初 等几 何 中 的有 关 仿 射 性 质 的 问 题 ． 仿 射变 换 的 主要 性 质 应用 于 有 关 三 角 形 及 椭 圆 的 仿 射 性 质 方 面 十分 有 效 ． 下 面从 两 个 方 面 阐述 它 的 作 用 ． １ ． 仿 射 变 换 在 证 明 有 关 三 角 形 的 仿 射 性 质 的 命 题 中 的
射影几何中仿射变换解初等几何题
利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。
平行投影平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。
因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。
解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。
例1 P 是ABC ∆内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。
求证：1=++CFPFBE PE AD PD . [2]C图1证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。
P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得，DC DP BD D P AD PD '''==，所以BCP P AD PD '''=， 同理 BC C P BE PE ''=，BCBP CF PF '=， 所以1''''''=++=++BCBP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。
（梅涅劳斯定理 ）[3]分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=⋅⋅NBANMA CM LC BL 。
其逆命题亦成立 。
NBAL'(L)A'C B AMMNA'L C图2（1）证明梅涅劳斯定理成立由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。
如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则1''-=⋅⋅=⋅⋅LBL A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。
（2）证明逆命题成立证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=⋅⋅NBANMA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。
仿射变换在初等几何中的应用
= 1
即
CDF 。
4. 有关点线结合命题的证明 例 4. 在梯形 ABCD 中 , AD BC, M 、 N 分别为 AD、 BC 的中点, 对角线 AC 与 BD 交 于 E 点 , 腰 AB 与 CD 交于 F 点, 求证: M 、 N、 E、 F 四点共线。
BC
A
F P B D
E
T2
F P D
D F G A E B
ABCD 中 , E 为 AB 的中 1 DF , EF 交 AC 于 G, 2
D C T1 F A
M H G
1 AC 5
P
N
C
E
B
图1 证明: 如 图 1, 作 仿 射 变 换 T 1 , 使 得 ABCD 对应正方形 A B C D , 则由仿射性 质可知 : 点 E、 F、 G 分别对应 E 、 F 、 G 。且 E 是 A B 的中点, A F = 1 DF 。 2
E C A
F
F
C
B
图2 证明: 如 图 2, 作 仿 射 变 换 T 2 , 使 得 ABC 对应正 A B C , 由仿射性质可知 : 点 D、 P、 E、 F 相应地 对应 D 、 P 、 E、 F , 且 A D 为 A B C 的中线。 在正 A B C 中, A D 也是 B C 边上的 高, 且 B 、 P 、 E 与C 、 P 、 F 关于 A D 对称 , E 、 F 到 B C 的距离相等, 则 E F B C 由于 平 行 性 是 仿 射 性 质 , 因 此, 在 ABC 中 EF BC. 3. 有关面积相等或成定比命题的证明 例 3. 在 ABCD 中, E、 F 分别 为 AB 、 BC 上的点 , 且 EF AC, 求证 : S
仿射变换在解题中的应用
2972020年第6期仿射变换在解题中的应用张海燕（四川省德阳市中江县城北中学，四川德阳 618100）摘 要：初等几何和高等几何在利用仿射变换关键是抓住“不变”两字，仿射不变量与仿射不变性质是绑定在一起的。
本文首先阐述了仿射变换在几何中的地位，然后，从三个方面例举运用仿射不变性的例题来验证仿射不变性在初等几何中的重要意义。
这三个方面分别是仿射变换中的三个不变性:平行性、结合性及单比、封闭图形面积比，其中也用到了仿射坐标系。
通过对比初等几何的解题方法与利用仿射变换对初等几何的重要指导意义。
关键词：仿射变换；仿射不变性；应用1 引 言初等几何与高等几何在利用仿射变换求解时关键就抓住“不变”两字，仿射变换中的不变性与不变量是绑定在一起的。
平面几何中的一些特殊图形性质定理可以利用仿射变换中的不变性和不变量得到推广，当我们对于一些复杂图形时没有解决方法，可以将其仿射变换到比较容易研究的一些特殊图形中，这样就可以做到化繁为简，进而再从一些特殊图形推广到一般图形得到类似的性质定理，仿射变换在初等几何、高等几何中的应用主要是采用仿射对应图形，即：在放射变换下相应的图形。
如：一般三角形与等边三角形、一般梯形与等腰梯形、平行四边形与正方形、圆与椭圆、菱形与正方形的相互对应。
2 仿射变换的应用仿射变换能够简洁、方便地解决初等几何的一些问题，因而，我们能利用仿射不变性与仿射不变量来解决相关问题，但仿射变换对于解决一些度量性质的问题有很大难度。
因此，要解决初等几何问题，第一要分析该图形是否具有仿射性质，如平行性、单比、面积比不变等。
第二讲图形通过仿射变换转换成对应的、特殊的、易于研究的图形。
第三通过研究图形的仿射性质推出原来一般图形的性质。
在以下例题中，将多次用到放射对应图形。
一个图形经过仿射变换变成另一个图形，就说这两个图形是仿射等价的，即经过仿射对应前后的平面上有一一对应的关系。
初等几何中最常用的对应图形就是一般三角形与正三角形的对应，正方形与平行四边形的对应，等腰梯形与一般梯形的对应，还有椭圆与圆的对应。
第十五章 仿射变换
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
例5：求椭圆的面积。 分析：椭圆是一个二次曲线，用初等几何和微积分的知识进行推导 比较繁琐。考虑到圆经过仿射变换对应一个椭圆，所以椭圆也可 以通过一个适当的仿射变换对应成一个圆。
解：在直角坐标系下，椭圆
x y 1 a 2 b2
2
2
Y
B’ B A O A’ X
第十五章 仿射变换
目录
仿射变换的定义 仿射变换的性质 仿射变换与初等几何的相关联系 仿射变换在初等几何解题中的应用 结束语
一、仿射变换的定义
定义：如果平面上的一个点变换，把共线的任意 三点变成共线的三点，并且保持三点的单比不 变，称这个点变换为仿射变换。
二、仿射变换的性质
1.仿射变换保持同素性:即仿射变换将点变成点, 直线变成直线. 2.仿射变换保持结合性:即仿射变换保持点与直线 的结合关系. 3.仿射变换将向量变成向量,且保持向量的线性关 系
u = v
二、仿射变换的性质
定理1:两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行 直线. 推论1:两条相交直线经仿射变换后仍变成两相交直 线. 推论2:共点的直线经仿射变换后仍变为共点直线. 定理2:两条平行线段之比是仿射不变量. 推论:一直线上两线段之比是仿射不变量. 定理3:两封闭图形(如三角形、平行四边形、椭圆等） 面积之比是仿射不变量.
A’ A T F P B D C B’ D’ E F’ P’ C’ E’
证明：如图，作仿射变换 T ，使得 ABC 对应正 A'B'C' ，由仿射性质可知， 点 D、P、E、F 相应地对应点 D'、P'、E'、F' ，且 A'D' 为正 A'B'C' 的中线 在正 A'B'C' 中， A'D' 也是 B'C' 边上的高，且 B'，P'，E' 与 C'，P'，F' 关于 A'D' 对称， E'，F' 到 B'C' 的距离相等，则 E'F' ∥ B'C' ， 由于平行性是仿射不变性，因此，在 ABC 中， EF ∥ BC
浅谈仿射在初等几何中的应用
中 图分类 号 ： ８ ． ０１ ５ １
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文献标 识码 ： Ａ
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＊教 学 方 法研 究 ＊
浅 谈 仿 射 在 初 等 几 何 中 的 应 用
孟安 康
。 ’ ‘ ‘ ‘ 。 。 ’ ● ‘ 。 ‘ 。 。 。 ● ‘ ‘ ‘ － 。 ● ● ‘ ‘ ‘ 。 ＿ 。 ’ ’ ’ ● ● … 。 。 ’ ● ● ● ’ … … … ● ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ … ’ ’ 。 ’ ’ ’ ● ‘ ‘ ● … 。 ● 。 。 ’ 。 ’ ‘ ● ‘ ‘ ● ＿ ‘ ‘ 。 ‘ 。 。 。 ‘ 。 。 ’ ● ● － … 。 ‘ … 。 。 。 ’ ‘ ‘ ’ ’ …
文 章编 号 ： ０ ８ ２ Ｘ（ ０ ２ ０ －０ ８ ２ １ ０ —９ ５ ２ １ １ ２ ２Ｉ —０
－ ● ● ● ●
摘要： 变换 的 思想是 一类 重 要 的数 学思想 。应 用变换 的方 法解 题 可 使 问题 简化 ， 而在 解题 中能 取 得 意想 不到 的 效果 。 仿射 变 从 换是 高 等几何 中的 一类 重要 变换 。本 文将 初 中有关 梯形 和 三角形 的题 型分 别 运 用初 等几何 和 高等 几何 证法 去求 解 ， 两 种不 同的解 将 题 思路 和方 法形 成对 比， 通过 问题 分 析和 求解 过程 可 以看 出用高 等几 何 中 的仿射 变换 的相 关性 质 去解决 初 等几何 问题 简 单 易行 。通 过对 梯形 、 三角形 相 关命 题 的证 明 ， 例说 明高 等几 何对 初 等几何 的指 导作 用 。 实 关键 词 ： 射 仿 射 变换 梯 形 三角形 仿 本 文 主要 探讨 了 如 何 运 用 高 等几 何 的知 识解 决初 等几 何 中 不 易解 决 的 问题 ， 巧妙 利 用 高等 几 何 中的 仿 射 变换 这 座 桥 梁 ， 通 过 对例 ｌ 例 ２这 两道 题 的解 题 思 路 、 ， 技巧 和 方 法的 探讨 ， 一 些 让 初 等 几何 问题 的解 法 得 到 简 化 。论 文 中 ， 合仿 射 不 变 性 、 变 结 不 量 和仿 射 保 留简 比不 变 等 一 些 性质 解 决 了有 关 梯形 和 三角 形 中 有 关仿 射 的命 题 。仿射 可 以说 是 高等 几何 中最 重要 的 一部 分 ， 在 初 等几 何 中有 些 问题 看似 可 以用 初等 几何 中的 方法 去 解决 ， 实 其 合 理运 用 一些 高等 几 何 中 的仿 射变 化 可 以使 问题 的解 决 方 法 大 大 得 到简 化而 简单 易 行 。在 高 等几 何 中任 意 一 梯 形经 仿 射 变 换 可得 到 等腰 梯形 ， 意 三 角 形 经 仿 射 变 换 可得 到 等腰 三 角 形 ， 任 灵 活 运用 仿 射变 换 中的 知识 可将 一 些看 似较 难 的 问题 简 单化 ， 一 将 换 丁 变为 一般 梯形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ， 因 为仿 射 变 换 保 留 简 比 不变 可 又 般 的 问题转 化 为特 殊 问题 ， 以此 来巧 妙 的解决 问题 。 得 ：Ａ Ｂ＇ ＝ （ Ｂ ， Ｄ Ｃ Ｎ ＝ （ Ｃ ， 两 底 中点 Ｍ 、 （ Ｍ ） Ａ Ｍ） （ ） Ｄ Ｎ） 故 Ｎ 例 １ 试 证 任 意 梯 形 上 、 底 中 点 、 角 线 交 点 ， 腰 交 点 下 对 两 仍变 为两 底 中点 Ｍ Ｎ 、 。由仿 射变 换保 留结 合性 及 Ａ、 Ｅ共 线 ｃ、 共线 。 可得 Ａ 、 ，Ｅ 共 线 ， Ｂ、 Ｅ共 线 可得 、 Ｅ 共 线 ， ｃ 、 由 Ｄ、 Ｄ、， 即原 来 已知 ： ＡＢＣＤ是 梯 形 ， Ｎ 是 两 Ｍ、 Ｆ 两对 角线 交 点 Ｅ仍 变为一 般梯 形 两 对角 线 交点 Ｅ ， 同理 ， 等腰 梯 底 ＡＢ、 Ｄ 之 中 点 ， 是 对 角 线 ＡＣ Ｃ Ｅ 形两 腰所 在 直 线 交 点 Ｆ 变 为 一 般 梯 形 中 两 腰 所 在 直 线 的 交 点 与 Ｂ 的交 点 ， 是 两 腰 ＡＤ Ｂ Ｄ Ｆ Ｃ延 Ｆ 。综 上 所 述 ， 利 用一 下 仿 射 变 换 的结 合 性 ： 像 四点 Ｍ 、 再 原 Ｅ、 长线 的 交 点 。 证 ： 点 Ｍ 、 Ｅ、 求 四 Ｎ、 Ｆ Ｎ、 Ｆ共 线 ． 映 像 四点 、 Ｎ 、 共线 。证 毕 。 故 Ｅ 、 Ｆ也 共线 。（ 图 １ 如 ） 例 ３ 证 明 三角形 三条 高线 共 点 。 分 析 （ ） 面 笔 者 给 出该 命 题 略 下 如 图 （ ） 在 △ＡＢ ３， Ｃ中 Ｂ Ｃ Ｅ、 Ｆ分 的初 等几 何 证法 和高 等几 何 的证 法 。 Ｂ 别为 边 ＡＣ、 的高 ， Ｅ、 Ｆ 交 与点 ＡＢ Ｂ Ｃ 初等 几 何证 法 ： Ａ Ｏ， 明 Ｂ 证 Ｃ边 上 的高 ＡＤ 也 过 Ｏ 点 。 圈【） １ 证 明 ： 结 Ｅ 设 直 线 Ｅ 交 连 Ｆ， Ｆ 同样 这 里 给 出初 等 几 何 证 法 和 ＡＢ于 Ｍｌ 交 Ｃ 于 Ｎｌ ， Ｄ 。则 在 以 Ｆ 高等 几何 证法 ： 为顶 点 的一 组三 角形 中有 ： 初等 几 何证 法 ： 证 明 ： 图 （ ） 由题 意知 △ＡＢＥ 如 ４，
仿射变换在初等几何中的应用
仿射变换在初等几何中的应用
仿射变换在初等几何中是一种重要的几何变换，它可以将几何图形变换成和原几何图形一样大小、形状和方向的新图形。
它是通过满足两个基本原则——线性性（Linearity）和平行性（Parallelism）来实现这一目标的，并且是对称变换中最常用的一种，广泛应用于欧几里得几何和高等几何中。
仿射变换可以完成几何图形的平移、旋转、缩放和反射等基本变换操作，而且效率很高。
在几何图形变换中，仿射变换的应用非常重要，其应用范围也非常广泛。
在实际的几何图形变换过程中，仿射变换通常可以用来实现对一般平面图形的缩放、平移、旋转、反射等操作，例如在绘制特定图形或模型时，可以采用仿射变换来实现指定图形到另一个图形的变换。
此外，仿射变换还可以用来实现三维空间中的平面或者曲面之间的变换，以此来满足几何变换的需求。
此外，仿射变换在几何图形的拓扑学上也有着重要的应用，例如它可以用来实现几何图形的精确绘制，而其他几何变换例如旋转等往往会改变几何图形的拓扑结构，因而只能通过仿射变换来实现精确的拓扑变换。
总而言之，仿射变换在初等几何中有着广泛的应用，它可以实现对几何图形的平移、旋转、缩放、反射等基本变换操作，并可以用来实现几何图形的拓扑变换，以实现精确的绘制。
高考数学复习：利用仿射变换解决椭圆
高考数学复习：利用仿射变换解决椭圆谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1 变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；性质2 变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）； 性质3 变换前后对应图形的面积比不变；现以一些高考试题为例加以说明。
例1设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点 ⑴若6=，求k 的值；⑵求四边形AEBF 面积的最大值。
分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’， 线段E ’F ’恰为圆的直径，根据性质1，D ’分线段E ’F ’的比与D 分线段EF 的比相同，利用圆当中的相交弦定理．．．．．求得D ’点的坐标，再反求出D 点坐标，从而很容易求出k 值；利用性质3，可以求得四边形AEBF 与四边形A ’E ’B ’F ’的面积关系，由于四边形A ’E ’B ’F ’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF 面积的最大值。
解：依题设得椭圆的方程为1y 4x 22=+ 作仿射变换，令x ’=2x ，y ’=y ，则得仿射坐标系x ’O ’y ’，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x ’2+y ’2=1，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’，且E ’F ’为圆的直径，E ’F ’=2，A ’(1,0)，B ’(0,1)⑴根据性质1 ∵DF 6ED = ∴''''F D 6D E = ∴E ’D ’=712 D ’F ’=72 ∵E ’D ’·D ’F ’=A ’D ’ ·D ’B ’ A ’D ’+D ’B ’=A ’B ’=2∴A ’D ’=724 D ’B ’=723或A ’D ’=723 D ’B ’=724 ∴''''B D 34D A =或''''D 43A = 由定比分点公式可得：D ’(7374,)或D ’(7473,) ∴D 点坐标为(7378,)或(7476,) ∴k=83或k=32 ⑵设四边形AEBF 的面积为S ，四边形A ’E ’B ’F ’的面积为S ’，E ’F ’与A ’B ’的夹角为θ，则S ’=θ⋅⋅sin ''''B A F E 21=θsin 2≤2（当θ=2π时取“=”号，此时F ’ (2222,)）由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr 2=π根据性质3有π=π'S 2S ，故S=2S ’ ∴S ≤22 当且仅当F 坐标为(22222,)，即k=21时取“=”号 说明：由上述证明过程可知，当D ’为A ’B ’中点是时四边形A ’E ’B ’F ’的面积取到最大值，根据性质1，当D 为AB 中点时四边形AEBF 的面积取到最大值。
谈仿射性质在初等几何中的应用
计算两 直线 的交点可得
Ｄ一 ， Ｄ一丢 ｃ， ： ｃ， ，
Ｅ 一 （ １
，
＝ ， ＝ ， Biblioteka ＝ ｃＥ 一 （ ， ） ．
ｌ １ １
） ，
Ｅ２一 （ ， ） ，
Ｂ３ Ｘ 一 ０ Ａ２ ： 一 ， 一 ０，
进 而可得各 直线 方程 ：
Ａ１ ２ Ｘ － １ Ａ ：
３ ，一 Ｏ，
Ａ ２ ４ Ｃ ：
Ａ２ ： ｃ３
一 ７ 一 ０， ｘ
Ａ。 屉 ＋ ３ Ｂ： 一 一 ０ ，
Ａ３ １ ３ Ｃ ：
＋ ５ ｙ一 ３
一 ０ ．
Ａ丢 ） Ａｏ） Ａ１） Ｂ √，Ｂ ｏ ， ， ，， 。，， １ ，） ，， （ （ｏ （ｏ （ ７ （ ） １ １ －
Ｂ３ √ ， Ｃ （３ （３ ７ ） １ － ， ，
詈 ２ ，， ３ ，． ， （ｏ Ｃ吾 ） Ｃ÷ ） （譬
一２ 一
图 ｌ 正 三 角形 及 其 重 心
图 ２ 正 三 角形 及 各 线段 中点
图 ３ 面 积 相等 的三 角形
维普资讯
１０ ０
高 等数 学 研 究
２０ 年 １ ０８ 月
例 ２ （ ９ ９年亚 洲太 平 洋地 区数学 竞赛 题 ） Ａ Ａ Ａ １８ 设 、 、 。为平 面 上三 点 ， 为方 便起 见 ， 约定 Ａ ＝ Ａ Ａ ， 一 Ａ ， 对于 ，一 １ ２ ３ 令 Ｂ 为 Ａ， ｚ ， ，． ４ 的中点 ， 为 Ａ Ｂ 的 中点 ， Ｃ 与 Ｂ Ａ ， 交于 Ｄ ， 与 Ａ ＡＢ 交于 Ｅ ． △Ｄ Ｄ。 △Ｅ１ ２ ３ 求 Ｄ 与 的面积 之 比． ＥＥ 解 设 △Ａ 为正三 角形 ， Ａ 为 原点 ， 为 Ｘ轴 ， Ａ 并 垂直 于 Ａ 的直线为 ｙ Ａ Ａ。 以 Ａ Ａ。 过 Ａ。 轴 ， Ａ 长度作 为单位 长度 １ 建立直角 坐标 系（ ２ ． 以 Ａ。 ， 图 ） 易知 图中各点 的坐标 为 ：
仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用
仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用
谭长明 汝春雷 鞍山师范学院 （ 鞍山 114007）
摘
要
仿射变换是几何中一个重要变换，它是从运动变换到射影变换的桥梁。灵活地运用仿射
变换，能使一些初等几何问题由繁到简。论文中，应用仿射不变性和不变量解决一般椭圆的有关仿射性质 的命题，使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中。 关键词 仿射变换 不变性 不变量 椭圆
圆和椭圆都是初等几何中常见的图形，圆 比椭圆更特殊，它有很多很好的性质，与圆有 关的定理举不胜举，但椭圆则不然，因其本身 的定义要比圆复杂， 椭圆的性质和定理就很少， 解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆 有关的相应的问题困难得多。在初等几何中， 有很多有关椭圆的问题，只能通过解析几何的 方法来解决， 这就给我们解题带来了不少麻烦。 因此，我们自然期望有一种方法，使得处理有 关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易，而 由仿射变换性质可知：椭圆通过适当的仿射变 换可变成圆。因此，只要考虑的有关椭圆的问 题纯属仿射性质的问题，就可以先转化为有关 圆相应的问题来解决，再把所得的结果推广到 椭圆中去，即可达到我们解题的目的。 为实现上述目的，我们还应该明确，为什 么椭圆通过适当的仿射变换可变成圆？ 命题 圆的仿射对应图形是椭圆 y=rsinθ 证明：设有以原点为中心，r 为半径的一 个圆，它的参数方程为：x =rcosθ
关键词仿射变换不变性不变量椭圆圆和椭圆都是初等几何中常见的图形圆比椭圆更特殊它有很多很好的性质与圆有关的定理举不胜举但椭圆则不然因其本身的定义要比圆复杂椭圆的性质和定理就很少解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆有关的相应的问题困难得多
2007 年 3 月
电大理工 Dianda Ligong
仿射变换理论及其在几何中的应用
仿射变换理论及其在几何中的应用仿射变换理论在儿何中地位非常重要，它比正交变换解决的问题范围更广.本文中我们将看到仿射坐标系，在仿射坐标系中我们了解仿射变换和仿射变换的基本性质，例如包括仿射变换将直线变为直线，将平行的两条直线变为半行的两直线。
本文中还介绍单比，利用它证明了梅内劳斯(Menelaus)定理。
后來本文介绍了仿射不变性质，例如两个三角形面积的比是仿射不变量。
最后本文介绍了利用本文的有关性质解决一些问题。
这样使得读者更好的了解这篇文章。
欧式儿何就是研究正交变换下图形的不变性质与不变量，因此在初等平面儿何中都是讨论图形的那些与距离，角度,面积，等有关的性质，如三角形全等，平行，垂直等•但是图形的各种变形中，保持任意两点之间的距离不变的变换是十分特殊.例如，图形的放大，物体在阳光照射下变成它们的影子等，都不具有这种性质，即都不是正交变换•因此，我们考虑较正交变换广泛一点的点变换，即仿射变换.本文讨论了仿射变换的槪念及其性质，同时给出了其在儿何中的应用.1平面上的仿射坐标系与仿射变换我们引进仿射坐标系：在半面上任取一点。
及两个不共线的向量5 二O 瓦,=OE2(不一定是单位向量，EG,.不一定垂直的)这样我们就建立了仿射坐标系如图1对于平面上任一点尸，则向量。
户可唯一地表示为OP = xei + yei数组&y)称为关于仿射坐标系仁由,/},的仿射坐标.定理1. 0在仿射坐标系下，直线方程一定是关于仿射坐标系的一次方程Ax+By+C = 0,(1. 00)反之也真.证明在直线上任取两点小演，乂)，2(9,%),对于直线上任一点P幺有联II鹤，即&-演K-K'或(工一占)(治一必)一(丁一九)(毛一%)二。
，这是关于X,y的一次方程.反之，在(1.00)±取£ (公弘)及《(毛用)的坐标适合方程，即Ar. + B\,+C = 0, (1. 02)A V3 + By： + C = 0. (1. 03)只要证明任一坐标适合方程的点P' 3, y') 一定与共线即可，由TAx + By + C = Q, (1. 04)因A, B,C不全为零,(1.02), (1.03), (1.04)可理解为关于A, 5, C ,的齐次线性方程组，由于A,民。
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步阐述了仿射几何学对欧氏几何学的指导作用，从而揭示仿射几何学 也有 EF∥BC。
与欧氏几何学的内在联系。
三、共点线或共线点的问题
关键词：仿射变换 仿射性质 初等几何 应用
由于仿射变换保持同素性和结识点之一，而仿射变换则是仿射 将共线点变为共线点，因此，当命
G′、H′，在等腰梯形 A′B′C′D′中易证 E′、F′、G′、H′四点共线，故由仿射性 道：平行四边形经过仿射变换后仍为平行四边形，特殊的可变为正方形;
梯形经过仿射变换后仍为梯形，特殊的可变为等腰梯形。
质可知 E、F、G、H 四点共线。
在初等几何中，但凡仅涉及图形的点线结合性、平行性、简比、多边
二、两条直线平行的问题
［4］李长明，周焕山.初等数学研究［M］.高等教育出版社，1999.1.
由于仿射变换保持两条直线的平行性不变，因此，当命题要证两条
直线平行时可考虑仿射变换。
A
A′
例 ：设 在 △ABC 中 ，AD 是
BC 边上的中线，DE、DF 分别是
∠ADB 和∠ADC 的平分线，DE、 E
起来，将一般问题化为特殊问题来处理，从而使解题的难度大大降低，
解：设椭圆的标准方程为xa22
+
y2 b2
=1（a＞b＞0），如
问题就能轻而易举地得到解决。利用仿射变换的仿射性质，仿射变换可
x′=x
解决以下一些初等几何问题。 一、共线的两线段相等或成定比的问题
右图，将该椭圆经过仿射变换
y′=
a b
后其对 y
y B′
B
A′
O
Ax
由于仿射变换保持共线三点的简比不变，因此，当命题要证共线的 应图形为圆 x′2+y′2=a2，在此仿射变换之下，点
两线段相等或成定比时可考虑仿射变换。
A、B、O 分别变换成点 A′、B′、O，所以△AOB 对应△A′OB′。由于仿射变
例：设在△ABC 中，BC 边上的高为 AD，直线 AD 交△ABC 的外接 换保持封闭图形的面积比不变，
一点的话，可变换成正三角形。仿射变换具有保持同素性不变、保持结
于 G 点，要证 E、F、G、H 四点共线。现将梯形 ABCD 经过一个仿射变换
合性不变、保持两直线的平行性不变、保持共线三点的简比不变、保持
使之变换成等腰梯形 A′B′C′D′，点 E、F 、G、H 分别变换成点 E′、F′、 两个封闭图形的面积比不变等重要的仿射性质，根据仿射性质还可知
圆于 E，H 是△ABC 的垂心，求证：HD＝ED。
因此有：
证明：如下图，将△ABC 经过一个仿射变换使之变换成正△A′B′C′，
该变换相应的把点 H、D、E 变换成点 H′、D′、E′，显然 H′为△A′B′C′的外
接圆的圆心，
A
A′
∵A′D′⊥B′C′，∴A′D′平分 B′C′
∵∠C′H′D′＝2∠C′A′E′＝60°
H
H′
椭圆面积 ＝ 圆面积 圯 椭圆面积 =
SΔAOB
SΔA′O′B′
1 a2
πa2 1 a2
圯椭圆面积=πab，
2
2
因此所求椭圆的面积为 πab。
参考文献：
∠C′B′A′＝∠C′E′H′＝60°
B
D
C B′
D′
C′
［1］梅向明，刘增贤，王汇淳，王智秋.高等几何（第二版）［M］.高等教
∴△C′E′H′是等边三角形，
E
E′
育出版社，2005.12.
故 B′C′平分 H′E′，即 H′D′＝E′D′。由于仿射变换保持共线三点的简
［2］沈文选.初等数学研究教程［M］.湖南教育出版社，1996.5.
比不变，所以，HEDD
＝
H′D′ E′D′
＝1，因此有
HD＝ED。
［3］朱德祥，朱维宗.初等几何研究（第二版）［M］.高等教育出版社， 2004.4.
A
E D
A′
E′ D′
a11 a12 其中 a21 a22 ≠0。显然它由平面上不共线的三对对应点唯一确定。那
直线）交点共线。
B
证明：如图，梯形 ABCD 上、
H
F
C
B′
H′
F′
C′
么一个三角形经过一个仿射变换可以变换成另一个三角形，如果特殊
下底的中点分别为 E、F，两对角线的交点是 H，延长两腰 BA 与 CD 交
《新课程》
2010 年 11 月 28 日
用仿射变换解决初等几何中的一些问题
筅贵州兴义民族师范学院数学系 何星钢
摘 要：仿射几何学在初等几何中的应用主要体现在仿射变换的 该变换相应的把点 D、E、F 变换成点 D′、E′、F′，在△A′B′C′中易证 E′F′
应用，文章通过实例的解决来探讨仿射变换在初等几何中的应用，进一 ∥B′C′，由于仿射变换保持两条直线的平行性不变，所以，在△ABC 中
F
E′
F′
DF 交 AB、AC 分 别 于 E、F，求 B D
C
B′
D′
C′
证：EF∥BC。
证明：如上图，将△ABC 经过一个仿射变换使之变换成正△A′B′C′，
-152-
G
G′
几何学中的主要内容，它在仿射几何学中占有非常重要的地位，仿射变 题要证几个点共线或几条直线共
换是由一个平面到自身的有限次的透视仿射（或平行射影）所构成的。 点时可考虑仿射变换。
x′=a11x+a12y+a13
例：求证：梯形上、下底的中
平面上的仿射变换在仿射坐标系下的代数表示式为 y′=a21x+a22y+a23， 点，两对角线的交点，两腰（所在
四、等面积或面积成定比的问题
形的面积比等方面的问题，我们都可以从仿射几何的角度，根据仿射变
由于仿射变换保持封闭图形的面积比不变，因此，当命题涉及有关
换的定义及有关仿射性质，将有关对特殊几何图形的命题的证明替代 图形的面积时可考虑仿射变换。
一般几何图形的命题的证明，使得我们把特殊和一般的关系巧妙联系
例：求椭圆的面积。