2020年届全国100所名校最新高考模拟示范卷数学模拟测试(四)试题带答案解析)
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故选：A.
【点睛】
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.
5．D
【解析】
【分析】
将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得 的值.
（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；
（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案 的概率为 ，选择方案 的概率为 .若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案 的概率，
（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
设正数等比数列 的前 项和为 ， 是等差数列，__________， ， ， ，是否存在正整数 ，使得 成立？
18．已知在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的面积.
19．在如图所示的多面体中，四边形 是矩形，梯形 为直角梯形，平面 平面 ，且 ， ， .
（1）求证： 平面 .
22．已知函数 ， .
（1）若函数 在 上单调递减，且函数 在 上单调递增，求实数 的值；
（2）求证： （ ，且 ）.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据对数性质可知 ，再根据集合的交集运算即可求解.
【详解】
∵ ，
集合 ，
∴由交集运算可得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.
（2）求二面角 的大小.
20．在直角坐标系 中，曲线 上的任意一点 到直线 的距离比 点到点 的距离小1.
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）若点 是圆 上一动点，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，求直线 斜率的取值范围.
21．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
15．已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线上任一点，且 的最小值为 ，则该双曲线的离心率是__________.
16．如图，在矩形 中， ， 是 的中点，将 ， 分别沿 折起，使得平面 平面 ，平面 平面 ，则所得几何体 的外接球的体积为__________.
四、解答题
17．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数 存在，求 的值；若不存在，说明理由.
A．实数 的值为1
B． 和 两点关于函数 图象的一条对称轴对称
C． 的最大值为
D． 的最小值为
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．若函数 ，则 __________； __________.
14．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为 三组，其人数之比为 ，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ，则该部门员工总人数为__________.
A． B． C． D．
8．已知函数 ， ，若存在实数 ，使 成立，则正数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
A．焦距长约为300公里B．长轴长约为3988公里
C．两焦点坐标约为 D．离心率约为
11．如图，已知正方体 的棱长为2， 为棱 的中点， 为棱 上的点，且满足 ，点 为过三点 的平面 与正方体 的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为6
C．直线 与平面 的夹角是45°D．
12．已知函数 的一条对称轴为 ，函数 在区间 上具有单调性，且 ，则下述四个结论正确的是（ ）
B．支出最高值与支出最低值的比是
C．第三季度平均收入为5000元
D．利润最高的月份是3月份和10月份
10．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）
2．B
【解析】
【分析】
根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.
【详解】
在复平面内对应的点的坐标为 ，则 ，
，
∵ ，
代入可得 ，
解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.Fra Baidu bibliotek
3．C
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得 的值.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．若 的展开式中 的系数为-45，则实数 的值为（ ）
A． B．2C． D．
6．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 ，若正方体的六个面所在的平面与直线 相交的平面个数分别记为 ，则下列结论正确的是（ ）
【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
.
∴解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
4．A
【解析】
【分析】
根据幂函数定义，求得 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.
【详解】
∵当函数 为幂函数时， ，
解得 或 ，
∴“ ”是“函数 为幂函数”的充分不必要条件.
2020年届全国100所名校最新高考模拟示范卷模拟测试
数学试题（四)
第I卷（选择题)
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点的坐标为 则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ， ，若 ，则实数 的值是（ ）
A．-1B．7C．1D．1或7
4．“ ”是“函数 （ 为常数）为幂函数”的（ ）
【点睛】
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.
5．D
【解析】
【分析】
将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得 的值.
（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；
（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案 的概率为 ，选择方案 的概率为 .若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案 的概率，
（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
设正数等比数列 的前 项和为 ， 是等差数列，__________， ， ， ，是否存在正整数 ，使得 成立？
18．已知在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的面积.
19．在如图所示的多面体中，四边形 是矩形，梯形 为直角梯形，平面 平面 ，且 ， ， .
（1）求证： 平面 .
22．已知函数 ， .
（1）若函数 在 上单调递减，且函数 在 上单调递增，求实数 的值；
（2）求证： （ ，且 ）.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据对数性质可知 ，再根据集合的交集运算即可求解.
【详解】
∵ ，
集合 ，
∴由交集运算可得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.
（2）求二面角 的大小.
20．在直角坐标系 中，曲线 上的任意一点 到直线 的距离比 点到点 的距离小1.
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）若点 是圆 上一动点，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，求直线 斜率的取值范围.
21．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
15．已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线上任一点，且 的最小值为 ，则该双曲线的离心率是__________.
16．如图，在矩形 中， ， 是 的中点，将 ， 分别沿 折起，使得平面 平面 ，平面 平面 ，则所得几何体 的外接球的体积为__________.
四、解答题
17．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数 存在，求 的值；若不存在，说明理由.
A．实数 的值为1
B． 和 两点关于函数 图象的一条对称轴对称
C． 的最大值为
D． 的最小值为
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．若函数 ，则 __________； __________.
14．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为 三组，其人数之比为 ，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ，则该部门员工总人数为__________.
A． B． C． D．
8．已知函数 ， ，若存在实数 ，使 成立，则正数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
A．焦距长约为300公里B．长轴长约为3988公里
C．两焦点坐标约为 D．离心率约为
11．如图，已知正方体 的棱长为2， 为棱 的中点， 为棱 上的点，且满足 ，点 为过三点 的平面 与正方体 的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为6
C．直线 与平面 的夹角是45°D．
12．已知函数 的一条对称轴为 ，函数 在区间 上具有单调性，且 ，则下述四个结论正确的是（ ）
B．支出最高值与支出最低值的比是
C．第三季度平均收入为5000元
D．利润最高的月份是3月份和10月份
10．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）
2．B
【解析】
【分析】
根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.
【详解】
在复平面内对应的点的坐标为 ，则 ，
，
∵ ，
代入可得 ，
解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.Fra Baidu bibliotek
3．C
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得 的值.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．若 的展开式中 的系数为-45，则实数 的值为（ ）
A． B．2C． D．
6．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 ，若正方体的六个面所在的平面与直线 相交的平面个数分别记为 ，则下列结论正确的是（ ）
【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
.
∴解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
4．A
【解析】
【分析】
根据幂函数定义，求得 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.
【详解】
∵当函数 为幂函数时， ，
解得 或 ，
∴“ ”是“函数 为幂函数”的充分不必要条件.
2020年届全国100所名校最新高考模拟示范卷模拟测试
数学试题（四)
第I卷（选择题)
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点的坐标为 则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ， ，若 ，则实数 的值是（ ）
A．-1B．7C．1D．1或7
4．“ ”是“函数 （ 为常数）为幂函数”的（ ）