初中数学竞赛讲义：第03讲-充满活力的韦达定理

第三讲 充满活力的韦达定理

一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。

韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；

利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。

韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。

韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】

【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。 思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b

a

a b +的值为( ) A 、

22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22

123

或2

思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。

注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表

示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：

(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。

【例3】 已知关于x 的方程：04

)2(2

2

=---m x m x

(1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。

(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。

思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。

【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。

思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。

注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。 【例5】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程04

7

)21(222=+-+-m mx x 的两个根。

(1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由。

(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB

思路点拨：对于(2)，易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式。

注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．

充满活力的韦达定理学历训练

1、(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式14

212

1<-+x x x x ，

则实数m 取值范围是 。

(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 。

2、已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 。

3、CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 。

4、设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( ) A ．1，-3 B ．1，3 C ．-1，-3 D ．-1，3

5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．

23 B ．2

5

C ．5

D ．2 6、方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)

1)(1(21++x x p

的值是( )

A ．1

B ．-l

C ．21-

D ．2

1

7、若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断

4)(2≤+b a 是否正确?

8、已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x 。 (1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；

(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值。

9、已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 。 10、已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 。

11、△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 。

12、两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b

a

a b +的值是( )