抛物线动点问题(学生)

§1．１因动点产生的相似三角形问题

1如图１，已知梯形ＯＡBC ,抛物线分别过点O （０,0）、Ａ（2,0)、B (6,3）．

（1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标;

(２）将图1中梯形O ＡBC 的上下底边所在的直线ＯA 、C Ｂ以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A １、C 1、B １,得到如图２的梯形O 1Ａ1B １Ｃ1.设梯形O １A １Ｂ1Ｃ１的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1,y 1)、(x 2,y 2)．用含S 的代数式表示x 2－ｘ1，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，３)，动点P 从点B 出发，以每秒１个单位长度的速度沿着线段ＢＣ运动，动点Q 从点Ｄ出发,以与点P 相同的速度沿着线段ＤM 运动.P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时,Ｐ、Q 两点同时停止运动.设P 、Q 两点的运动时间为t ,是否存在某一时刻t ,使得直线P Ｑ、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线ＰQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在,请说明理由．

图1 图２

C2 直线113

y x =-+分别交x 轴、y 轴于Ａ、B 两点,△AOB 绕点Ｏ按逆时针方向旋转90°后得到△ＣOD ，抛物线ｙ=ａx 2＋bx +c 经过A 、C 、D 三点.

(１) 写出点A 、B 、C 、Ｄ的坐标;

(2) 求经过Ａ、C 、Ｄ三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；

(３) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Ｑ为顶点的三角形与△COD 相似?若存在，请求出点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．

§1.２因动点产生的等腰三角形问题

Ｃ3如图(1）,已知直线的解析式为,直线与ｘ轴、y轴分别相交于A、B两点,直线经过B、C两点，点Ｃ的坐标为(８，0)，又已知点P在x轴上从点A向点C移动,点Q在直线从点Ｃ向点Ｂ移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（）。

（1）求直线的解析式。

（２)设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。

（３)试探究：当t为何值时,△PＣQ为等腰三角

形?

§１.3因动点产生的直角三角形问题

C5如图,抛物线与x轴交于Ａ(-１，0）、Ｂ（３,0)两点，与y轴交于点C(０，-3),设抛物线的顶点为D．

(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2)以B、C、Ｄ为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么？

(３)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△ＢCD相似？若存在,请指出符合条件的点Ｐ的位置，并直接写出点Ｐ的坐标;若不存在,请说明理

由.

§1.4 因动点产生的平行四边形问题

C6在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-４，０）、B(０,－4)、C（2，0)三点.

(１）求抛物线的解析式;

(２)若点Ｍ为第三象限内抛物线上一动点，点Ｍ的横坐标为ｍ，△ＡMB的面积为S．求

Ｓ关于m的函数关系式，并求出Ｓ的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y＝－ｘ上的动点，判断有几个位置能够使

得点Ｐ、Q、B、Ｏ为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.

图１

C7平面直角坐标系中,已知抛物线经过A)0,4

(-，

B)4

,0(-,C)0,2(三点．

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点Ｍ的横坐标为

m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的

最大值.

C

A O x

y

(3)若点Ｐ是抛物线上的动点,点Ｑ是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的

四边形为平行四边形，直接写出相应的点Ｑ的坐标.

§１.5 因动点产生的梯形问题

C ８ 已知二次函数的图象经过A （２，0）、C (０，12） 两点,且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B .

（１）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标;

（2)如图1，在直线 y =２ｘ上是否存在点D ，使四边形ＯPB Ｄ为等腰梯形？若存在，求出点Ｄ的坐标;若不存在，请说明理由;

（3)如图２,点M 是线段OP 上的一个动点(Ｏ、P 两点除外）,以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动,过点Ｍ作直线MN //x 轴，交P Ｂ于点N . 将△PMN 沿直线ＭN 对折,得到△P １MN . 在动点M 的运动过程中，设△P １M Ｎ与梯形O ＭNB 的重叠部分的面积为Ｓ,运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．

§１．6 因动点产生的面积问题

Ｃ9 如图1,已知:抛物线y=x2＋bｘ－３与x轴相交于A、B两点，与ｙ轴相交于点C，并

且OA = ＯＣ．

（1)求这条抛物线的解析式;

（２)过点C作ＣE／/ x轴,交抛物线于点Ｅ，设抛物线的顶点为点D,试判断△CDE的形状，并说明理由；

(３)设点M在抛物线的对称轴ｌ上,且△MＣD的面积等于△CDE的面积,请写出点M的坐标（无需写出解题步骤)．

图1

Ｃ10 如图1,在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OAＢＣ的顶点O为坐标原点,顶点A、C 分别在ｘ轴、y轴的正半轴上，CB∥OA,OC＝４,ＢC＝3，OA=５,点D在边OC上,CＤ=3,过点D作ＤB的垂线DＥ，交x轴于点Ｅ．

(1）求点E的坐标；

（2）二次函数ｙ=－x2+bｘ+c的图像经过点Ｂ和点Ｅ．

①求二次函数的解析式和它的对称轴；