高等数学(概率论部分)研究生考试试题分析

高等数学（概率统计部分）研究生入学试题考试典型题型分析

主讲人：杨新梅

单位：数学与计算机科学学院

概率论与数理统计题型总结

目前，大部分同学开始了概率论和数理统计的复习，本文主要想对同学们近期的复习做一个简单的指导。概率论与数理统计主要考查考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

常有的题型有：填空题、选择题、计算题和证明题，试题的主要类型有：

（1）确定事件间的关系，进行事件的运算；

（2）利用事件的关系进行概率计算；

（3）利用概率的性质证明概率等式或计算概率；

（4）有关古典概型、几何概型的概率计算；

（5）利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；

（6）有关事件独立性的证明和计算概率；

（7）有关独重复试验及伯努利概率型的计算；

（8）利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常

数或计算概率；

（9）由给定的试验求随机变量的分布；

（10）利用常见的概率分布（例如（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等）计算概率；

（11）求随机变量函数的分布

（12）确定二维随机变量的分布；

（13）利用二维均匀分布和正态分布计算概率；

（14）求二维随机变量的边缘分布、条件分布；

（15）判断随机变量的独立性和计算概率；

（16）求两个独立随机变量函数的分布；

（17）利用随机变量的数学期望、方差的定义、性质、公式，或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差；

（18）求随机变量函数的数学期望；

（19）求两个随机变量的协方差、相关系数并判断相关性；

（20）求随机变量的矩和协方差矩阵；

（21）利用切比雪夫不等式推证概率不等式；

（22）利用中心极限定理进行概率的近似计算；

（23）利用t分布、χ2分布、F分布的定义、性质推证统计量的分布、性质；

（24）推证某些统计量（特别是正态总体统计量）的分布；

（25）计算统计量的概率；

（26）求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量；

（27）判断估计量的无偏性、有效性和一致性；

（28）求单个或两个正态总体参数的置信区间；

（29）对单个或两个正态总体参数假设进行显著性检验；

（30）利用χ2检验法对总体分布假设进行检验。

对历年的考题进行分析，可以看出概率论与数理统计的试题，即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求考生能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。

在解答这部分考题时，考生易犯的错误有：

（1）概念不清，弄不清事件之间的关系和事件的结构；

（2）对试验分析错误，概率模型搞错；

（3）计算概率的公式运用不当；

（4）不能熟练地运用独立性去证明和计算；

（5）不能熟练掌握和运用常用的概率分布及其数字特征；

（6）不能正确应用有关的定义、公式和性质进行综合分析、运算和证明

概率论与数理统计典型题型分析

十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为

;],

8,1[,

0,31

)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f

F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.

【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可。注意应先确定Y=F(X)的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论.

【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于]8,1[∈x ，有 .131)(31

32

-==

⎰

x dt t x F x

设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当0

})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P =.])1[(3

y y F =+ 于是，Y=F(X)的分布函数为

.1,10,

0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩

⎪

⎨⎧=y y y y y G 若若若

【评注】 事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布: 当y<0时，G(y)=0; 当 1≥y 时，G(y)=1;

当 01<≤y 时，})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =)}({1

y F X P -≤ =.))((1

y y F F =-

【评注】 本题是典型的随机变量函数问题. 十二、（本题满分13分）

设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛7.03

.021

~X ， 而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).

【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.

【详解】 设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为

}{)(u Y X P u G ≤+=

=}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 独立，可见

G(u)= }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P

=).2(7.0)1(3.0-+-u F u F

由此,得U 的概率密度

)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g

=).2(7.0)1(3.0-+-u f u f

【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.

（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY=0,222

==EY EX

, 则

2)(Y X E += 6 .

【分析】 利用期望与相关系数的公式进行计算即可. 【详解】 因为

2

)(Y X E +=2

2

)(2EY XY E EX ++ =4+]),([2EY EX Y X Cov ⋅+

=4+2.625.024=⨯⨯+=⋅⋅DY DX XY ρ

【评注】 本题的核心是逆向思维，利用公式EY EX Y X Cov XY E ⋅+=),()(，而这种分析方法是文登辅导班上重点介绍过的.

（5）对于任意二事件A 和B