第四讲 速度分布函数,麦克斯韦速率

vP
v v+dv
v
麦克斯韦速率分布曲线
dN f v dv N
O
f (v )
v2 N f v dv v1 N
dv v p v1 v 2
v
在f(v)~v整个曲线下的面积为 1 ----- 归 一化条件。
分子速率的三个统计值
最概然速率
平均速率 方均根速率
最概然速率(the most probable speed)
3kT 3 RT v dv Mm m
4
3kT 3 RT v m Mm
最概然速率
平均速率
2kT 2 RT vp m Mm
8 RT 8kT v M m m
方均根速率
3kT 3 RT v Mm m
2
三种速率的比较
f (v )
o
v p v v2
v
三种速率统计值有不同的应用： 在讨论速率分布时，要用到最可几速率；在计算 分子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算 分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。
o
v P1 vP 2
v
练习5.图为同一种气体，处于不同温度状态下的速 率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？ （2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和 氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条 对应的是氢气？
解：
vp
2 RT M mol
f(v )
T1
T2 v
(1) T1 < T2
速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的 概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：1。由于分子受 到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子 具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔 内出现的概率；2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是100ms-1， 但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200 ms-1 和500-600 ms-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速 率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比 如，速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小， 而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然要 问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这 个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布 函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。
3）“具有某一速率的分子有多少”是不恰当的说法
f (v)是针对v 附近单位速率间隔的，离开速率间隔来谈分
子数有多少就没有意义了。
4）气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现 的。
因此，分子间的碰撞是使分子热运动达到并保持确定分布的 决定因素。
课堂练习1．速率分布函数 f v 的物理意义为：
dN 为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 Ndv
，这样，比
值
dN Ndv
就反映出了分布随速率v的改变而改变。为此我们规定；
定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v附近的 单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是 速率v的函数，称为速率分布函数。
dN f (v ) Ndv
理解分布函数的几个要点：
(3)
v1 v2
f (v)dv 速率在v1→v2内的分子数占总分子数的百分比
v1
(4)
Nf (v)dv 速率在v →v 内的分子数
1 2
练习3．在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克 斯韦速率分布函数为 f (v )、分子质量为 m、最可几 速率为 v P ，试说明下列各式的物理意义： （１） v f v dv 表示________________；

P
（２）0

1 mv 2 f v dv 表示______________． 2
分布在速率区间v P 的百分率
的分子数在总分子数中占
分子平动动能的平均值
练习4．已知分子总数为 N，它们的速率分布函数 为 f (v )，则速率分布在区间 v1 v2 内的分子的 平均速率为
（A）

v2
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vf v dv
vf v dv （B） f v dv
v2 v1 v2 v1
（C）

v2
v1
Nvf v dv （D）

v2
v1
vf v dv N
（B）
2.麦克斯韦速率分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以 忽略时，分布在速度区间 v ~ v dv 的分子 数占总分子数的比率为
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论，预言了以光速传播 的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿时代的 《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气体分子 按速率分布的统计规律。
§1、气体分子的速率分布律
1、速率分布函数 速率分布函数的定义：
一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间 v~v+dv内的分子数， dN/N表示分布在此区间内的分子数占 总分子数的比率。 实验规律： •在不同的速率附近，给定的速率间隔dv内，比值dN/N是 不同的。容易想见，速率间隔越大， dN/N？ • dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与 区间大小成正比。
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
统计规律性
分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分 子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动 （在动力学支配下）是无规则的，存在着极大 的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律 性。（例：理想气体压强） 人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为 的规律性称为统计规律性
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率 表示速率分布在v1→v2内的分 子数占总分子数的概率
dN ＝ f (v )dv N v1
v2

N
0
dN N


0
f v dv 1
归一化条件
应注意的问题: 分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微 观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以： 1）少数分子谈不上概率分布
dN m 4 e N 2kT
3 2
mv 2
2 kT
v dv
2
麦克斯韦 速率分布函数
m f v 4 e 2kT
3 2
mv 2
2 kT
v
2
f(v)
m——分子的质量 T——热力学温度 k——玻耳兹曼常量
面积= dN/N
曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于 分布在此速率区间 内的分子数占总分 子数的概率dN/N 。.
vp 2 RT M
RT 1000 m/s 3 2 10
f(v)
(v p )H2
RT 103
1.41 103 m/s
( v )H2
2
He
H2
1.73 10 m/s
3 RT M 3
1000
v
例2 有N 个粒子，其速率分布函数为

上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在
~ + 区间内的分子数与总分子数的比率。
思考 最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平 动动能?
例1 氦气的速率分布曲线如图所示.
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率 解 (2)
补充:气体分子按平动动能的分布规律
麦克斯韦速率分布定律
N
N
4 π (

2 πkT
) v e
3/ 2
2 v 2 / 2 kT
v
1 v 2 2
代入上式得 意义：
两边微分
v v
/ kT
N
4 2 π 1 2 f ( ) e 32 N (2 πkT )
数占总分子数的百分比． （Ｃ）具有速率 数．
v 的分子占总分子数的百分比． （Ｂ）速率分布在 v 附近的单位速率间隔中的分子
（Ａ）具有速率
v的分子数． （Ｄ）速率分布在 v 附近的单位速率间隔中的分子
（Ｂ）
练习2、下列各式的物理意义分别为:
(1) (2)
f (v)dv
Nf (v)dv
v2
速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比 速率在v-v+dv内的分子数
第三章
气体分子热运动速率和能量分布
§3.1 气体分子的速率分布律
§3.2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布 §3.3 玻尔兹曼分布率 重力场中微粒按高度的 分布 §3.4 能量按自由度均分定理
3－1 麦克斯韦气体速率分布律
第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不 能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强 和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认 识，我们有一个基本的统计公理（假设）。这个公理只解决了 分子热运动速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率 大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况 是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概 率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从0到∞，这个 取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概 率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数 量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规 律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以 理想气体为基础来开展讨论。
偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。
例如，抛两分的硬币，抛的次数越多，币制和国徽朝上的次数才 更加接近相等，否者将有很大差异。
2）统计规律表现出涨落
所谓涨落就是对稳定的统计结果的偏差，统计规律必然伴随着涨 落。例如，在某一速率v附近dv间隔内求出的比值dN/N是0.06， 表示有6%的分子，它们的速率取值分布在（v，v+dv）内，但并 不 是 说 ， 每 时 每 刻 就 一 定 是 0.06 ， 也 有 可 能 是 0.05998 ， 0.0601，…等等，但长时间的平均值仍是0.06。
vP与温度T的关系:
f (v )
T2 T1
T2 T1
T
2kT vp m
o
v P1 vP 2
v
曲线的峰值右移,由于 曲线下面积为1不变， 所以峰值降低。
不同气体，同一温度
vP与分子质量m的关系:
m
2kT vp m
f (v )
m1
m1 m2
m2
曲线的峰值左移,由 于曲线下面积为1不 变，所以峰值升高。
速率分布函数
1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的； 2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv； 3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
物理意义： 速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数
的概率，或概率密度。
dN f (v )dv N
引言：
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分 子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分 子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大 量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守 一定的统计规律——气体速率分布律。 气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年 在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学 中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率 分布的统计规律。
定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最 概然速率。
物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等 的小区间，则分布在 vP所在区间的分子数比 率最大。
d 令 f v dv
v v p
0 解得 vmp
2kT m
2 RT Mm
注： vp 随 T 升高而增大，随 m 增大而减小
同一气体，不同温度


0
vNf v dv

vf v dv
8kT 8 RT v m Mm
方均根速率(the root-mean-square speed)
v v f v dv
2 2 0

m v 4 2 kT
2
2
3 2


0
e
mv 2 2 kT
(2)红：氧 黑：氢
v p1
v p2
用分布函数计算平均值
W
W ( ) f ( ) d
0
平均速率(the average speed) dN 由于 f v 则 dN Nf Ndv
有
v dv
0
v
vdN vNf v dv
0
vdN N
1 N