4-2 正态随机变量的线性组合

则有
C1 X 1 C 2 X 2 ... C n X n
2 2 2 2 2 ~ N (C1 μ1 C 2 2 ... C n n , C12 σ1 C 2 2 ... C n n ).
特别地，设X1,X2,…,Xn相互独立,且X1,X2,…,Xn 服从同一分布
4.2
正态随机变量的线性组合
1.有关定理 2.典型例题 3.小结
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•
1. 有关定理
• 定理1 设 且Y1,Y2相互独立,则有 2 2 • 推广定理1有 Y2 ~ N ( μ2 , σ2 ), Y1 ~ N ( μ1 , σ1 ), • 定理2 设X1,X2,…,Xn相互独立, 且 i=1,2,…,n,则有


) . ( .),
.,
.
• 例3 设X1,X2,…,X9相互独立且都服从 N ( ,), • Y1,Y2,Y3,Y4相互独立且都服从 又设 和 相互独立,求 N (,), • 解 由定理2的注 X Y
P{ X Y }.
又由假设 和 X Y 相独立,故知

Yi ~ N ( 6, 0.3 ), i 1, 2, 3,
2
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YiY~相互独立,所以 i 1, 2, 3, N ( 6, 0.32 ), • 且Y , Y ,
1 2 3
• 即 Y Y Y 1 2 3 • 故所求概率为
~ N ( 3 6, 3 0.3 2 ),
Y1 Y2 Y3 ~ N (18, 0.27),
,
是X1,X2,…,Xn 的算术平均值，则有 1 n 2
N ( , ) X
Xi n
i 1
X~
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2 N ( μ,
或 n ),
X ~ N (0,1). n
作业
Ｐ111 2,8,9
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2 2 Y1 Y2 ~ N ( μ1 2 , σ1 2 ).
X i ~ N ( μi , σi ),
C1 X 1 C 2 X 2 ... C n X n
2 2 2 2 2 ~ N (C1 μ1 C 2 2 ... C n n , C12 σ1 C 2 2 ... C n n ).
i 1, 2, 3,
Y1 Y2 Y3 ~ N (, 3 2 ),

P{Y1 Y2 Y3 19} .
P{
1 (
1
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3 Y i 1 i
18

1


) ., (
1

19 18

} .
1 4 1 9 4 X X i ~ N ( 2, ), Y Yi ~ N (1, ), 4 i 1 4 i 1 9
),
X Y ~ N ( 1,
X Y ~ N (,
P{ X Y } P{ X Y 0} P {
1 (
C1 C2 ... Cn n
1 n N ( , ) X X i n i 1
2
X~
2 N ( μ,
n ),
X 或 ~ N (0,1). n
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•
2. 典型例题
• 例1 设内燃机汽缸的直径（以cm计） • 活塞的直径（以cm计） 设X和Y相互独立.若活塞不能装入汽 缸则需返工，求返工的概率. X ~ N ( .,. ), • 解 按题意需求概率 Y ~ N (40.5,0.32 ), • 由定理2知 • 即
P{Y1 Y2 Y3 19}
1 0.9276 0.0274
18 19 18 } 0.27 0.27 1 (1.92) 1 1 ( ) 0.27
3 Y i 1 i
P{
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• (2) 分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3,则有 • 且Y1,Y2,Y3Yi ~ N ( 6, 2 ), 相互独立,所以 • 按题意,需求 使得
)
1 ) (.) .
X Y 1 1 }
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• 3.小 结
– 正态分布的重要性质（定理２）：两个或多个相互独立的正态 分布的线性组合仍是正态分布．
即
设X1,X2,…,Xn相互独立, 且
i=1,2,…,n, 2 X i ~ N ( μi , σi ),
2
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• 注 (1) 教材上通过求概率密度的方法证明定理1有些麻烦,另有其他证明 方法较为简单(如求特征函数法)，有兴趣的同学可以自学. • (2) 如在定理2中取 ,可得下面重要结论: • 设X1,X2,…,Xn相互独立,且X1,X2,…,Xn服从同一分布 , 是X1,X2,…,Xn的算术平均值，则有 •
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• 例2 一电路由3只独立工作的电阻串联而成, • (1)已知电阻器的电阻(以欧计) 求电路的总 电阻W超过19的概率; • (2)设电阻器的电阻 若求电路的总电阻W 超 过19的概率小于0.005,问要控制 至多是多少? 6,0.32 ), Y ~ N( 2,则有 • 解 (1) 分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y, 3 ), Y ~ N (6 2,Y
P{ X Y } P{ X Y 0},
X Y ~ N (41.5 40.5,0.42 0.32 ),
X Y ~ N (1,0.25),
X Y 1 1 } (2) 0.5 0.5
P{ X Y 0} P{
1 ( 2) 1 0.9772 0.0228