东北大学-数值分析-课后习题详细解析

33 55
3 5
1
2 1 1
A
1 2
1
5 3
22
1 2
3 5
1
3 5
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
解
1 2
1
y1 y2
4 6
，得
y1 y2
4 4
1 2
3 5
1 y3
5
y3
3 5
再解 2
1
5 2
1
3 2
x1 x2
4 4
，得
x1 x2
1 1
3 5
x3
3 5
x3 1
4
2-4.对矩阵A进行LDM分解和Crout分解，其中
1
1 4
1 2
1
3 2
1 2
3 2
1
9
1
6
解
4 1
2
y1 y2
1 2
，得
y1 y2
0.25 0.875
2 3 3 y3 3 y3 1.7083
再解 4
1 2
2 x1 0.25 3 x2 0.875
，得
x1 x2
0.5451 1.2916
3 x3 1.7083 x3 0.5694
一.习题1（第10页）
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指
出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.
解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4, 3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 .
相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%.
有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有几位
有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032
再解
1
15 56
x3
1.7857
,
得
x3
5.7693
1
56 209
x4
0.47847
x4 14.872
1 x5 53.718 x5 53.718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
(2) 因为 x=(x-y)+yx-y+y
所以 x-yx-y ,同理可证 y-xx-y
Ax=b，其中
16 4 8 A 4 5 4
1 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
8 4
4 1
11 2 22 2 33
8 4 22 2 33 3
4
故得GG
T
分解：A
1
2
4 1 2 2 3
2 3 3
3
1
LDLT分解为：A
1 4
1
16 4
1-4.求方程x2-56x+1=0的两个根,使它们至少具有四位有
效数字
( 783 27.982).
解 x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.017863
2
二.习题2 (第50页)
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6 x1 4 10 7 0 x2 7 5 1 5 x3 6
1
15 4
y2 0 y2 6.6667
解
1
56 15
y
3
0
，得
y3
1.7857
1
209 56
y4 0
y4 0.47847
1
780 209
y5
200
y5 53.718
9
1
1 4
x1 25 x1 27.051
1
4 15
x2 6.6667 x2 8.2052
x
y
2
回代得解: y=1, x=0.
再用列主元Gauss消元法
10 2 x y 1
100 y 100
10 2 x y 1
x
y
2
回代得解: y=1, x=1.
x
y
y 1
2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0
1 4 1
x3
0
1 4 1 x4 0
解 有效数位分别为: 3位,1位,0位.
1
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效
数字?
解 因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效数字,
则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
2-6(1).给定方程组
10 2 x y 1
x
y
2
a.用Cramer法则求其精确解. b.用Gauss消元法和列主元
Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算).
解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899
b.用Gauss消元法
7
10 2 x y 1
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7
r1 r2
消元
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
5 1 5 6 5 1 5 6 0 2.5 5 2.5
10 7 0 7 10 7 0 7
r2 r3
消元
0 2.5 5 2.5 0 2.5 5 2.5
1 4 x5 200
8
解
4 1 1 4 1
4
11 44
1
1155 44
44 1155
1 4 1
1
5566 1155
1155 5566
1 4 1
1 25069 25069
1 4
1
780 209
4
y1 100 y1 25
2 1 2 A 4 5 6
6 15 15
解
2 1 A 4 5
2 2 6 4
111 222
3
11 3232
6 15 15 6 12 1
故得Crout分解：A
2 4
3
1
1 2
1
1
2 3
6 12 1
1
LDM分解为：A
1 2
1
2 3
1
1 2
1
1
2 3
3 4 1
1
1
5
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
0 0.1 6 6.1 0 0 6.2 6.2
回代得解: x3=1, x2=-1, x1=0
3
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1
4
A 1 3 2 ,b 6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
，12 所 以2122
1
55 22
1
3 2
1 2 2
11 22