北京大学量子力学课件第14讲
合集下载
《量子力学》课件
贝尔不等式实验
总结词
验证量子纠缠的非局域性
详细描述
贝尔不等式实验是用来验证量子纠缠特性的重要实验。通过测量纠缠光子的偏 振状态，实验结果违背了贝尔不等式，证明了量子纠缠的非局域性，即两个纠 缠的粒子之间存在着超光速的相互作用。
原子干涉仪实验
总结词
验证原子波函数的存在
详细描述
原子干涉仪实验通过让原子通过双缝，观察到干涉现象，证明了原子的波函数存在。这个实验进一步 证实了量子力学的预言，也加深了我们对微观世界的理解。
量子力学的意义与价值
推动物理学的发展
量子力学是现代物理学的基础之一，对物理学的发展产生了深远 的影响。
促进科技的创新
量子力学的发展催生了一系列高科技产品，如电子显微镜、晶体 管、激光器等。
拓展人类的认知边界
量子力学揭示了微观世界的奥秘，拓展了人类的认知边界。
量子力学对人类世界观的影响
01 颠覆了经典物理学的观念
量子力学在固体物理中的应用
量子力学解释了固体材料的电子 结构和热学性质，为半导体技术 和超导理论的发现和应用提供了
基础。
量子力学揭示了固体材料的磁性 和光学性质，为磁存储器和光电 子器件的发展提供了理论支持。
量子力学还解释了固体材料的相 变和晶体结构，为材料科学和晶
体学的发展提供了理论基础。
量子力学在光学中的应用
复数与复变函数基础
01
复数
复数是实数的扩展，包含实部和虚部，是量子力 学中描述波函数的必备工具。
02
复变函数
复变函数是定义在复数域上的函数，其性质与实 数域上的函数类似，但更为丰富。
泛函分析基础
函数空间
泛函分析是研究函数空间的数学分支，函数空间中的元素称为函数或算子。
量子力学基础知识PPT讲稿
Plank
The Nobel Prize in Physics 1918
"for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions"
Max Karl Ernst Ludwig Planck
(3).光子具有一定的动量(p)
P = mc = h /c = h／λ
光子有动量在光压实验中得到了证实。 (4).光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。
将频率为的光照射到金属上，当金属中的一个电子受到一个光子撞击时， 产生光电效应，光子消失，并把它的能量h转移给电子。电子吸收的能量，一 部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子的动能。
Germany Berlin University Berlin, Germany
1858在金属表面上，金属发射出电子的现象。
.1 只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电
子，不同金属的临阈频率不同。 2.随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。 3.增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
“光子说”表明——光不仅有波动性，且有微粒性，这就是光的波粒 二象性思想。
Einstein
The Nobel Prize in Physics 1921
"for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions"
第一节.微观粒子的运动特征
电子、原子、分子和光子等微观粒子，具有波粒二象 性的运动特征。这一特征体现在以下的现象中，而这些现 象均不能用经典物理理论来解释，由此人们提出了量子力 学理论，这一理论就是本课程的一个重要基础。
量子力学课件(完整版)
Light beam
metal
electric current
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)
2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)
2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；
量子力学(全套) ppt课件
1 n2
人们自然会提出如下三个问题：
1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子P的PT课状件态可以用包含整数值的量来描写12 。
从前，希腊人有一种思想认为：
•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光
强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典
理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定
于光的强度而与频率无关。
PPT课件
24
（3） 光子的动量
光子不仅具有确定的能量 E = hv，
而且具有动量。根据相对论知，速度 为 V 运动的粒子的能量由右式给出：
nm
11
谱系
m
Lyman
1
Balmer
2
Paschen
3
Brackett
4
Pfund
5
氢原子光谱
n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,......
区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
RH
C
1 m2
自然之美要由整数来表示。例如：
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子 核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的 能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量 损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是， 现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它 实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。
量子力学ppt
里德伯 氢原子谱普适公式：
~
R( 1 m2
1)
n2
n m 1,m 2,
Balmer公式与观测结果的惊人符合，引起了光谱学家的注 意。紧接着就有不少人对光谱线波长（数）的规律进行了 大量分析，发现，每一种原子都有它特有的一系列光谱项 T(n)，而原子发出的光谱线的波数，总可以表成两个光谱 项之差
迈克尔逊－莫雷实验 是 物理史上最有名 的 “失败的 实验”
证明了以太不存在， 说明了光速在真空
的不变性。
图1.1 迈克尔逊-莫雷实验
二、固体与气体分子的比热
固体中每个原子在其平衡位置附近作小振动，可以看 成是具有三个自由度的粒子。按照经典统计力学，其平均 动能与势能均为3kT/2。因此，固体的定容比热为
维恩（Wien）由热力学的讨论，加上一些特殊的假设得出 一个分布公式，维恩公式：
d C1 3eC2 /T d
其中，C1, C2通过与实验数据对比得到
即随着温度升高，热辐射峰值向短波高频方向移动。
1700k
T m b
b 2.897103 m K
1500k 1300k
问：1 温度为室温20 ℃的黑体，其单色辐出度的峰值所
世纪之交实验物理学对理论物理学的挑战
1899年开尔文在欧洲科学家新年聚会的贺词中说： 物理学晴朗的天空上， 飘着两朵令人不安的乌云
迈克尔逊 —莫雷实验
光电效应
康普顿效应
黑体辐射
氢原子光谱
以太 相对论
量子力学
一、迈克耳逊—莫雷实验 （以太）
18-19世纪时，人们认为“真空”中存在 着一种无所不在的物体称为“以太”，光波 应该通过以太传播 。
~nm T (n) T (m)
北京大学量子力学课件第14讲
时，我们有不等式
Vx x
1 2!
V3x x3
x2
V xF ( x ) V ( x x )
这样，量子力学中粒子运动与经典力学规 律相似。经典运动是一好的近似。
当然，根据测不准关系，
p2x
2 4x2
因此，当
x
2
较小时，
运动常数并不都能同时取确定值。因尽
管它们都与 Hˆ 对易，但它们之间可能不对易。
如
Hˆ p2 V(r)
2m
Lˆ2,Lˆx,Lˆy,Lˆz 都是运动常数，但 Lˆx,Lˆy,Lˆz 彼此不对易，不能同时取确定值。
（2） Vivial Theorem 维里定理
不显含t的力学量，在定态上的平均与 t 无 关。
定理2：如果两力学量所相应算符对易，则 它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。
(4) 角动量的共同本征函数组―球谐函数
因 [Lˆ2,Lˆz]0，它们有共同本征函数组。
[L ˆz,L ˆ]L ˆ [L ˆz,L ˆ]L ˆ
A. 本征值：
设： u lm 是它们的共同本征函数，则
我们可看到
[Lˆ2,Lˆz]0
[Hˆ ,Lˆ2]0
[Hˆ,Lˆz]0
因此，Hˆ ,Lˆ2,Lˆz 是两两对易。当共同本征
函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集 （球对称势的体系都有这一特点）。
以 Hˆ ,Lˆ2,Lˆz的本征值（即量子数）对能
量本征方程的特解进行标识。
u n( r l) m R n ( r ) l Y l( m , )
★ Hˆ 不显含 t 时，
有特解
i ψ Hˆ ψ t
φn(r,t)un(r)eiE nt/
Vx x
1 2!
V3x x3
x2
V xF ( x ) V ( x x )
这样，量子力学中粒子运动与经典力学规 律相似。经典运动是一好的近似。
当然，根据测不准关系，
p2x
2 4x2
因此，当
x
2
较小时，
运动常数并不都能同时取确定值。因尽
管它们都与 Hˆ 对易，但它们之间可能不对易。
如
Hˆ p2 V(r)
2m
Lˆ2,Lˆx,Lˆy,Lˆz 都是运动常数，但 Lˆx,Lˆy,Lˆz 彼此不对易，不能同时取确定值。
（2） Vivial Theorem 维里定理
不显含t的力学量，在定态上的平均与 t 无 关。
定理2：如果两力学量所相应算符对易，则 它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。
(4) 角动量的共同本征函数组―球谐函数
因 [Lˆ2,Lˆz]0，它们有共同本征函数组。
[L ˆz,L ˆ]L ˆ [L ˆz,L ˆ]L ˆ
A. 本征值：
设： u lm 是它们的共同本征函数，则
我们可看到
[Lˆ2,Lˆz]0
[Hˆ ,Lˆ2]0
[Hˆ,Lˆz]0
因此，Hˆ ,Lˆ2,Lˆz 是两两对易。当共同本征
函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集 （球对称势的体系都有这一特点）。
以 Hˆ ,Lˆ2,Lˆz的本征值（即量子数）对能
量本征方程的特解进行标识。
u n( r l) m R n ( r ) l Y l( m , )
★ Hˆ 不显含 t 时，
有特解
i ψ Hˆ ψ t
φn(r,t)un(r)eiE nt/
量子力学ppt
详细描述
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
[练习]北京大学量子力学课件 自旋与全同粒子
![[练习]北京大学量子力学课件 自旋与全同粒子](https://img.taocdn.com/s3/m/fbc86bfc581b6bd97e19ea1d.png)
令
Sˆˆ
2
分量 形式
进
S
x
S
y
2
2
x y
S
z
2
z
对S ˆ 易 S ˆ i S ˆ 关 ˆ ˆ 系 2 i ˆ ：
分 量 形 式 ： ˆˆx y ˆˆzy ˆˆzyˆˆyx22iiˆˆxz ˆzˆx ˆxˆz 2iˆy
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是 ± /2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1 ；
电子波函 数表示成
12((rr,,tt))
矩阵形 式后，
波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标
积分，即
d
* 1
* 2
1 2 ( (r r ,,tt) ) d[ |1|2|2|2]d1
（2）几率密
度
(r ,t) |1|2|2|2
1 ( r ,t) 2 ( r ,t)
（1） SZ的矩阵形式 电子自旋算符（如SZ）是
a b
作用与电子自旋波函数上的
Sz 2c d
，既然电子波函数表示成了 2×1 的列矩阵，那末，电
因为Φ1/2 描写的态，SZ有子确自定旋值算符/2的，矩所阵以表Φ1示/2应是该SZ
的本Sz征12态，2本12征值矩为阵形式/2，是即2×有 2 a c 2：矩d b 阵 。1(0 r ,t) 2 1(0 r ,t)
求：自旋波函数
SχZ(S的z本) 征方程 Sˆz(Sz)2(Sz)
令
212和 (Sz )2和的自 12 (S旋 z )分波别函为数本，征即值 SSˆˆ zz
1
2
(Sz
)
2
1
2
1 2
(Sz
)
2
量子力学简介PPT课件
2m
量子力学简介
说明
2 2 V E
2m
——定态薛定谔方程
(x,y,z)应为单值函数;
(1) 标准条件： |Ψ |2dxdydz 1 应为有限值；
(2) 求解
, , ,
应连续.
x y z
E （粒子能量）
（定态波函数）
(3) 势能函数V 不随时间变化.
(Et px)
Ψ(x,t) ψ0e h
ψ0e
2019/11/14
类比
量子力学简介
光栅衍射
I E02
I 大处 I 小处
I=0
INhN
到达光子数多 到达光子数少 无光子到达
2019/11/14
电子衍射
I |Ψ|2 I N
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零
量子力学简介
量子力学简介
量子力学简介
17.1 微观粒子的波粒二象性和不确定关系式 17.1.1 微观粒子的波粒二象性 1. 物质波提出的背景
(1) 玻尔模型遇到根本困难，亟需突破; (2) 爱因斯坦的光量子论及光的波粒二象性思想得到国际科
学界的承认; (3) 德布罗意本人对量子物理研究感兴趣，有相当好的研究
氢原子中电子速率约为106m/s.速率 不确定量与速率本身的数量级基本相 同,因此原子中电子的位置和速度不能 同时完全确定,也没有确定的轨道.
此几率分布形成一种对称而美观的“电子(几率)云”图象.
2019/11/14
能量—时间不确定关系
E E
2
Et h
E
E
反映了原子能级宽度ΔE和原子在该 2
2019/11/14
这个迷你的结构由纳米管和氧化锌构成， 电子显微镜拍下了这个精巧的结构
量子力学简介
说明
2 2 V E
2m
——定态薛定谔方程
(x,y,z)应为单值函数;
(1) 标准条件： |Ψ |2dxdydz 1 应为有限值；
(2) 求解
, , ,
应连续.
x y z
E （粒子能量）
（定态波函数）
(3) 势能函数V 不随时间变化.
(Et px)
Ψ(x,t) ψ0e h
ψ0e
2019/11/14
类比
量子力学简介
光栅衍射
I E02
I 大处 I 小处
I=0
INhN
到达光子数多 到达光子数少 无光子到达
2019/11/14
电子衍射
I |Ψ|2 I N
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零
量子力学简介
量子力学简介
量子力学简介
17.1 微观粒子的波粒二象性和不确定关系式 17.1.1 微观粒子的波粒二象性 1. 物质波提出的背景
(1) 玻尔模型遇到根本困难，亟需突破; (2) 爱因斯坦的光量子论及光的波粒二象性思想得到国际科
学界的承认; (3) 德布罗意本人对量子物理研究感兴趣，有相当好的研究
氢原子中电子速率约为106m/s.速率 不确定量与速率本身的数量级基本相 同,因此原子中电子的位置和速度不能 同时完全确定,也没有确定的轨道.
此几率分布形成一种对称而美观的“电子(几率)云”图象.
2019/11/14
能量—时间不确定关系
E E
2
Et h
E
E
反映了原子能级宽度ΔE和原子在该 2
2019/11/14
这个迷你的结构由纳米管和氧化锌构成， 电子显微镜拍下了这个精巧的结构
北京大学量子力学
⋆ Aˆ 的本征函数不简并，则
Bˆ ua bua
⋆ 当 Aˆ 的本征值是两重简并。那问题就不
一样了。
测量 Aˆ 取值 a 时，并不知处于那一态，
可能为
α
1u
(1) a
α
2
u
(2) a
尽管
Bˆ u
(1) a
也是
Aˆ
的本征态。但一般而言
Bˆ u(a1) b11u(a1) b21u(a2)
Bˆ u
(4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量
子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系 测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定 状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将 状态描述完全确定呢？
设：Aˆ ,Bˆ 是力学量所对应的算符，并且对易
如 u a (x) 是 Aˆ 的本征函数。
第十四讲
算符的共同本征函数 (1) Schwartz不等式
如果，1 ,2 是任意两个平方可积的波函
数，则
1, 12, 2 1, 2 2
(2) 算符“涨落”之间的关系－测不准关 系：
如令
1 (Aˆ A)
2 (Bˆ B)
i[Aˆ , Bˆ ] A B
2
例1 Aˆ x ， Bˆ pˆ x
(2) a
b12u
(1) a
b 22u (a2)
Bˆ (uu(a(a12))
)
(b11 b12
b21 b22
)(uu(a(a12))
)
Bˆ v
(b1 a
)
b1v
(b1 a
)
Bˆ v(ab2 )
b
2
v
(b a
2
)
量子力学课件
量子力学彭斌地址：微固楼211电话：83201475Email: bpeng@引言牛顿力学质点运动牛顿力学（F、p、a）22dtvdmmaF==牛顿力学成功应用到从天体到地上各种尺度的力学客体的运动中。
引言牛顿力学热力学●统计物理Ludwig Boltzmann Willard Gibbs引言牛顿力学热力学●统计力学 电动力学电磁现象——Maxwell方程组¾统一电磁理论¾光─> 电磁波1600170018001900时间t力学电磁学热学物理世界（力、光、电磁、热…）经典热力学（加上统计力学）经典电动力学（Maxwell 方程组）经典力学（牛顿力学）迈克尔逊－莫雷实验黑体辐射动力学理论断言，热和光都是运动的方式。
但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然失色了……——开尔文（1900年）引言什么是量子力学？什么是量子力学？——研究微观实物粒子（原子、电子等）运动变化规律的一门科学。
相对论量子力学量子电动力学量子场论高能物理相对论力学经典电动力学V~C量子力学（非相对论）经典力学v<<C微观宏观量子力学的重要应用量子力学的重要应用¾自从量子力学诞生以来，它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和促发人类物质文明的大飞跃。
¾百年（1901－2002）来总颁发Nobel Prize 97次单就物理奖而言：——直接由量子理论得奖25次——直接由量子理论得奖＋与量子理论密切相关而得奖57次¾量子力学成为整个近代物理学的共同理论基础。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it." -Niels Bohr 任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it."-Niels Bohr 我想我可以相当有把握地说，没有人理解量子力学。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
整理课件
5
(4) 角动量的共同本征函数组―球谐函数
因 [Lˆ2,Lˆz]0，它们有共同本征函数组。
[L ˆz,L ˆ]L ˆ [L ˆz,L ˆ]L ˆ
A. 本征值：
设： u lm 是它们的共同本征函数，则
整理课件
6
Lˆ 2 的本征值为 l(l 1)2
Lˆ z 的本征值为 m
lm l
这表明，角动量的本征值是量子化的。它与 能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。 自由粒子的角动量是量子化的。
B. 本征函数
整理课件
7
已求得 Lˆ2,Lz 的共同本征函数组-球谐函数
Y l m (1)m(24 l 1) ((ll m m ))P !!lm (c o )eism
P lm (c ) o ( 1 ) s l m 2 1 ll!(2 4 l 1 )( (l l m m ) )s ! !1 m i n (d c d o )l m s s2 i l n
函数
v (bi) a
整理课件
一起就唯一地决定
16
Aˆ , Bˆ 的共同本征态没有一个是简并的。 力学量完全集：设力学量 Aˆ,Bˆ,Cˆ 彼此对
易；它们的共同本征函数 uabc 是不简并的，
也就是说，本征值a,b,c…仅对应一个独立的本 征函数，则称这一组力学量为力学量完全集 。
所以，以后要描述一个体系所处的态时，我 们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以 给出特解，然后得通解。
整理课件
18
A((t),A ˆ(t))
它随时间演化为
ddAtddt*(t),A ˆ(t)dr
* t ( t)A ˆ ( t) d r * ( t) A ˆ t ( t) d r * ( t) A ˆ ( tt)d r
* ( t ) A ˆ t ( t ) d r i 1 * ( t ) A ˆ H ˆ ( t ) d r i 1 H ˆ ( t ) * ( t ) A ˆ ( t ) d r
dA dt
Aˆt [Aˆi,Hˆ ]
有了力学量完全集，则可得 unab c
整理课件
17
(r,t) cna b unca b e icE nt/
n,a,b,c
c na b u c* na (b r) c (r,0 )d r
Lˆ2, Lˆ z 完全集相应的本征函数为 Ylm(,)
§4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守 恒量）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） （1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数
称为缔合勒让德函数（Associated Legendre function）。
整理课件
8
当 l, m 给定，也就是 Lˆ2 , Lz 的本征值给
定，那就唯一地确定了本征函数 Ylm(,)。
其性质：
1. 正交归一
Y l*m ( , )Y lm ( , )d ll m m
2．封闭性
l 0 m m ll Y lm ( , )Y l*m ( , ) s1 i n ( ) ( )
整理课件
9
3． Ylm(1)mYl*m
P 所lm 以(，c o ) s(1)m((ll m m ))P !!lm (c o ) sm0 Y l m ( 1 ) m(2 4 l 1 ) ( (ll m m ) )P ! !l m (c ) o e ism
(2l1) 4
((ll m m))!!Plm(co )esim
第十四讲
算符的共同本征函数 (1) Schwartz不等式
如果， 1 , 2 是任意两个平方可积的波函
数，则
1, 1 2, 2 1, 22
整理课件
1
(2) 算符“涨落”之间的关系－测不准关 系：
如令
1(A ˆA)
2(B ˆB)
i[Aˆ ,Bˆ ] A B
2
整理课件
2
例1 Aˆ x ， Bˆ pˆx
子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系 测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定 状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将 状态描述完全确定呢？
设：Aˆ , Bˆ 是力学量所对应的算符，并且对易
如 ua (x) 是 Aˆ 的本征函数。
整理课件Biblioteka 13⋆ Aˆ 的本征函数不简并，则
Bˆua bua
B ˆ(uu(a(a12)))(bb1121 bb2221)(uu(a(a12)))
B ˆv(ab1) b1v(ab1)
B ˆv(ab2)b2v(ab2)
整理课件
15
v(abi)a1 (i)u(a1)a(2 i)u(a2)
b11b b12 0 b21 b22b
可求得 Bˆ 的本征值。
若 b1 b2 ，则 Aˆ , Bˆ
4
这时 Δ Lˆ2z 0 ΔL ˆ2y[l(l1)m2]2/2
LyLz0
(3) 算符的共同本征函数组
定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组
正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符
Aˆ ，Bˆ 必对易 ，[Aˆ,Bˆ]0 。
定理2：如果两力学量所相应算符对易，则
它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。
⋆ 当 Aˆ 的本征值是两重简并。那问题就不
一样了。
测量 Aˆ 取值 a时，并不知处于那一态，
可能为
α1u(a1) α2u(a2)
尽管
Bˆ u
(1) a
也是
Aˆ
的本征态。但一般而言
整理课件
14
B ˆu ( a 1 ) b 1u 1 ( a 1 ) b 2u 1 ( a 2 )
B ˆu ( a 2 ) b 1u 2 ( a 1 ) b 2u 2 ( a 2 )
[A ˆ,B ˆ][x,p ˆx]i
所以，
x px 2
这即为海森堡（Heisenberg）的测不准 关系的严格证明。
整理课件
3
例2 [L ˆx,L ˆy]iL ˆz
但在特殊态 Y00
1时 4
Lx 0 Ly 0 LxLy0
但这仅是某一特殊态。
例3 [Lˆy,Lˆz]iLˆx
在态 Ylm下
整理课件
整理课件
10
因此， Ylm(1)mYl*m
4. Ylm宇称 ( 1 ) l
rr, 即 ，
5.递推关系
1lm
1m
L ˆ Y lm ( l m )l (m 1 ) Y l m 1
L ˆ Y lm ( l m )l (m 1 ) Y l m 1
整理课件
11
整理课件
12
(4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量