第九讲 复数项级数

复变函数
三、幂级数的概念
第九讲
复数项级数与幂级数
2.复变函数项级数的收敛性
如果对于 D 内的某一点 z0 ，极限 lim sn ( z0 ) s( z0 ) 存在，
n
那么称复变函数项级数在 z0 收敛，而 s( z0 ) 称为它的和. 如果 级数在 D 内处处收敛，那么它的和一定是 z 的一个函数 s( z ) ：
的收敛范围与和函数.
n 1 z 解： Sn 1 z z 2 ... z n1 ,z 1 1 z 1 z 1时, limS n , 级数收敛 1 z n z 1时, limSn 级数发散
n
第四章
级数
复变函数
四、收敛圆与收敛半径
第四章 级数 复变函数
五、幂级数的运算和性质
第九讲
复数项级数与幂级数
(2) 代换运算
当 z r 时， f ( z ) an z n ，又设在 z R 内，
n 0
g( z ) 解 析 且 满 足 g( z ) r ， 那 么 当 z R 时 ，
f [ g( z )] an [ g( z )]n .

第四章
级数
复变函数
六、小结
六、小结
第九讲
复数项级数与幂级数
1.复数列的极限定义.
判断复数列的收敛性转化为判断两个实数列的收敛性. 2.复数项级数的概念，复数项级数收敛性的判断，复 数项级数的绝对收敛与条件收敛. 3.复变函数项级数的概念及收敛定义. 4.幂级数的概念及收敛定理(Abel定理).
5.收敛圆与收敛半径的概念，幂级数收敛半径的求法 .
第九讲
2
复数项级数与幂级数
1 in 1 n 2n (1) n i 2 2 1 in 1 n 1 n
n 0

第四章
级数
复变函数
四、收敛圆与收敛半径
第九讲
复数项级数与幂级数
情况3图解
y
CR
R
发散

.
收敛
.
x

2.定义: 称 C R为收敛圆，R 为收敛半径。
第四章 级数 复变函数
四、收敛圆与收敛半径
第九讲
复数项级数与幂级数
例 3 求幂级数
n 2 z 1 z z n 0
zn
第九讲
复数项级数与幂级数
4.阿贝尔(Abel )定理
如果级数 cn z n 在 z z0 ( 0) 收敛，那么对满足 z z0
n 0
的 z ，级数必绝对收敛. 如果在 z z0 级数发散， 那么对满足
y
z z0 的 z ，级数必发散.
z0 O
x
复变函数
第四章
级数
四、收敛圆与收敛半径
二、级数的概念

第九讲
复数项级数与幂级数

定理三：如果 n 收敛，那么 n 也收敛，
n 1 n 1
且不等式

n 1

n
n 成立.
n 1

第四章
级数
复变函数
二、级数的概念
第九讲
复数项级数与幂级数
3. 绝对收敛
如果 n 收敛，那么称级数 n 为绝对收敛.
复变函数与积分变换
基础部数学室 宫雷
第四章 级数
第九次课 复数项级数与 幂级数
基础部数学教研室 宫雷
一、复数列的极限 二、级数的概念 三、幂级数的概念 四、收敛圆与收敛半径 五、幂级数的运算与性质
一、复数列的极限
一、复数列的极限
第九讲
复数项级数与幂级数
定义
设 n (n 1, 2,
) 为一复数列，其中 n an ibn ，
设 a ib 为一确定的复数，如果任意给定 0 ，相应 地能找到一个正数 N ( ) ，使 n 在 n N 时成立， 那么 称为复数列 n 当 n 时的极限，记作
lim n .
n
此时也称复数列 n 收敛于 .
四、收敛圆与收敛半径
第九讲
复数项级数与幂级数
(3) 设 z (正实数)时，级数 cn z n 收敛， z (正
n 0

实数)时，级数 cn z n 发散，这时在以原点为中心， 为
n 0

半径的圆周 C 内，级数 cn z n 绝对收敛；在以原点为中
n 0

心， 为半径的圆周 C 外，级数 cn z n 发散.
n 1

第四章
级数
复变函数
二、级数的概念
第九讲
复数项级数与幂级数
(2) 复数项级数收敛性条件 收敛的充要条件：
定理二： n 收敛 an , bn 都收敛.
n 1 n 1 n 1



收敛的必要条件：

n 1

n
收敛 lim n 0 .
n
第四章
级数
复变函数
n 称为级数
第四章
级数
复变函数
二、级数的概念
第九讲
复数项级数与幂级数
2. 级数的收敛性 (1) 收敛性定义
如果部分和数列 sn 收敛，那么级数 n 称为收
n 1
敛，并且极限 lim sn s 称为级数的和.
n
如果数列 sn 不收敛，那么级数 n 称为发散.
四、收敛圆与收敛半径
第九讲
复数项级数与幂级数
1. 幂级数的收敛情况
(1) 对所有的正实数都是收敛的，这时幂级数
c z
n 0 n

n
在复平面内处处绝对收敛.
(2) 对所有的正实数除 z 0 外都是发散的，这 时幂级数 cn z n 在复平面内除原点外处处发散.
n 0
第四章
级数
复变函数
i

lim n liman i limbn 1.
第四章
级数
复变
en en ( 2) n n cosin n 2 en en an n , bn 0 2
liman （发散） , limbn 0,
{ n }
n 0

第四章
级数
复变函数
五、幂级数的运算和性质
第九讲
复数项级数与幂级数
1 例 5 将函数 表成形如 cn ( z a )n 的幂级 zb n 0
数，其中 a 与 b 是不相等的复常数.
解:
1 f (z) zb 1 1 z a (b a ) ba
za 当| | 1时, ba
复变函数
级数
五、幂级数的运算和性质
五、幂级数的运算和性质
第九讲
复数项级数与幂级数
1. 运算 (1) 代数运算
f ( z ) an z n , R r1 ;
n 0

g( z ) bn z n , R r2
n 0

在以原点为中心， r1 , r2 中较小的一个为半径 的圆内，这两个幂级数可以进行相加、相减、相乘， 所得到的幂级数的和函数分别是 f ( z ) 与 g( z ) 的和、 差与积.
n 1 n 1


非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
绝 对 收 敛 a 和 b 均 绝 对 收 敛 。
n 1 n n 1 n n 1 n



第四章
级数
复变函数
二、级数的概念
第九讲
复数项级数与幂级数
例2
判断下列级数的敛散性。
1 i ( 8i ) n (1) (1 ), ( 2) , n n 1 n n 0 n!
( 1)n i ( 3) [ n ]. n 2 n 1

答案： （1）由定理，发散。 （2）由正项级数比值法，绝对收敛。 （3）由定理，条件收敛。
第四章 级数 复变函数
三、幂级数的概念
三、幂级数的概念
第九讲
复数项级数与幂级数
1.复变函数项级数
设 fn ( z) (n 1, 2, ) 为一复变函数序列， 其中各项 在区域 D 内有定义. 表达式
s( z ) f1 ( z ) f 2 ( z )
s( z ) 称为级数 f n ( z ) 的和函数.
n 1
fn ( z)
第四章
级数
复变函数
三、幂级数的概念
第九讲
复数项级数与幂级数
3.幂级数
当 fn ( z ) cn1 ( z a)n1 或 fn ( z ) cn1 z n1 时，得到 函数项级数的特殊情形：
第四章 级数 复变函数
六、小结
第九讲
复数项级数与幂级数
6.幂级数的运算和性质.
课后作业： P142 3； 6
第四章
级数
复变函数
第九讲
复数项级数与幂级数
练习：下列数列是否收敛？若收敛，求其极限。
1 ni (1) n , 1 ni
( 2) n e

n i 2
第四章
级数
复变函数
一、复数列的极限
发散。
第四章
级数
复变函数
二、级数的概念
二、级数的概念
第九讲
复数项级数与幂级数
1. 级数
设 n an ibn (n 1, 2, 式 n 1 2
n 1
) 为一复数列，表达
n
称为无穷级数 .
其最前面 n 项的和 sn 1 2 的部分和 .
n 1
第四章
级数
复变函数
五、幂级数的运算和性质
第九讲
复数项级数与幂级数
3) f ( z ) 在收敛圆内可以逐项积分，即

或
C
f ( z )dz cn ( z a )n dz ， C z a R .
n 0 C z a


cn n1 f ( )d (z a ) n 0 n 1
n 2 c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2 n 0
cn ( z a)n
c z
n 0 n

n
c0 c1 z c2 z
2
cn z
n
这种级数称为幂级数.
第四章 级数 复变函数
三、幂级数的概念
1 za n 1 n ( ) ( z a ) n z a n 0 b a ( b a ) n 0 1 ba 1 1 n [ ]( z a ) zb (b a ) n1 n 0
1 za 1 ba
第四章
级数
复变函数
五、幂级数的运算和性质
第九讲
复数项级数与幂级数
2. 性质
设幂级数 cn ( z z0 )n 的收敛半径为 R ，那么
n 0
1) 它的和函数 f ( z ) ，即 f ( z ) cn ( z a )n 是
n 0

收敛圆： z a R 内的解析函数.
2) f ( z ) 在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项 求导得到，即 f ( z ) ncn ( z a )n1 .

f
n 1
n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z )

fn (z)
称为复变函数项级数. 记作 f n ( z ) .
n 1
该级数的最前面 n 项的和
sn ( z ) f1 ( z ) f2 ( z )
称为该级数的部分和.
第四章 级数
fn ( z)
第九讲
复数项级数与幂级数
所以几何级数在圆域 z 1 内绝对收敛，并且
1 z 1 z z ... z ... 1 z n 0
n 2 n
3. 收敛半径的求法 •比值法: • 根值法: 如果
C n1 1 lim 0, R n C n
如果 limn C 0, R 1 n n
第四章 级数 复变函数
一、复数列的极限
第九讲
复数项级数与幂级数
n lim a n a , lim bn b 定理一： lim n n n
例1 下列数列是否收敛？若收敛，求其极限。
(1) n 1 in (1 )e , ( 2) n n cos in, n
第四章
级数
复变函数
四、收敛圆与收敛半径
第九讲
复数项级数与幂级数
例 4 求下列幂级数的收敛半径：
z (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的情形)； n 1 n
( z 1)n (2) (并讨论 z 0, 2 时的情形)； n n 1


n
(3)
第四章
(cos in)z
n 0

n
.

第四章
级数
复变函数
一、复数列的极限
第九讲
复数项级数与幂级数
解： (1) n (1 1 )e n (1 1 )(cos i sin ) n n n n 1 1 an (1 ) cos , bn (1 ) sin n n n n liman 1, limbn 0,