2002数学建模A试题解答

2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛

A 题 车灯线光源的优化设计 参考答案

注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

一. 假设和简化 (略)

二. 模型的建立

建立坐标系如下图，记线光源长度为l ，功率为W ，B,C 点的光强度分别为)(l h B W 和)(l h C W ，先求)(l h B 和)(l h C 的表达式，再建立整个问题的数学模型. 以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为602

2y x z +=，焦点坐标为（0,0,15）。

1) 1) 位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量

设反射点的坐标为Q )60,,(22y x y x +.记入射向量为a ,该点反射面外法线方向为b

,不难得到反射向量c 满足 .22b b b a a c

⋅-= 记222y x r +=,由 )

1,30/,30/(),1560,,(2-=--=y x b r w y x a

从而得),,(z y x c c c c = 的表达式

)

900(60810000

36001800900)

9002(900

2224222

2++-+=+--=+=r wy r r c r r y w c r xyw

c z y x

注意到反射光通过C 点,应有

60

/25015,2600,

2r kc y kc x kc z y x -=-=-=

其中k 为常数. 从上述第一式可解得0=x 或wy r k 2900

2+-=.由此得反射点坐标满足以下两组方程:

⎪⎩⎪⎨⎧--±=-=⎪⎩⎪⎨⎧=--++-+++-=

2

23459005200)

2600(133750.

021060000001350810000)8100009360000()46800001498200(1800)2600(0y y x w w

y w y

w y w y y w y x

通过计算可知,存在56.10-≈C w ,当C w w 0>时第一组方程不存在满足2236≤r 的实根,即无反射点. 而当C w w 0<时,有两个反射点2,1),60/,,0(2

=i y y Q i i i .

而第二组方程仅当5609.18119.3-<<-w 时存在满足2236≤r 的一对实根,即有两个反射点),60,,(2

2

y x y x +±记为43,Q Q .

若反射点的坐标为),,(z y x Q ,则位于点)15,,0(w P 的单位能量点光源经Q 点反射到C 点的能量密度(单位面积的能量, 正比于光强度)为 2)(4cos QC PQ L +=πβ

其中

22222222)1560/25015()2600(,)1560/()(--+-+=-+-+=r y x QC r w y x PQ

而β为反射向量与z 轴的夹角,

.60

/25015cos 2QC r -=β

2))(),(l h l h C B 的表达式

长l 的具有单位能量的线光源位于点)15,,0(w P 的长dw 的微小线光源段反射到C 点的能量密度为

,/)()(4

1

l w f w E i i ∑==

其中 ⎪⎩⎪⎨⎧

=--∉--∈+=⎪

⎩⎪⎨⎧=-∉-∈+=4

,3,]

5609.1,8119.3[,0]

5609.1,8119.3[,)(4cos )(2

,1,]

,30[,0]

,2/[,)(4cos )(20002i w w C Q PQ w f i w w w l w C Q PQ w f i i i i C

C

i i i

i πβπβ

长l 的具有单位能量的线光源反射到C 点的能量密度为

.)()(2

/2

/⎰-=l l C dw w E l h

类似可得)(l h B 的表达式.相应的反射点方程为

⎪⎩⎪⎨⎧--±=-=⎪⎩⎪⎨⎧=--++-+++-=2

23459002600)

1300(137500.

010530000001350810000)8100004680000()23400001498200(1800)1300(0

y y x w w y w y

w y w y y w y x

相应的,78.00-≈B

w 而第二组方程的有两个反射点的范围为].7800005.0,906.1[--∈w

3） 3） 优化设计的数学模型

设线光源的功率为W , 则它反射到B 点和C 点的能量密度分别为W l h B ⋅)(和W l h C ⋅)(.问题的数学模型为:

⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤≤1

)(2)(.

.min 0

0W l h W l h t s W C B l l

三. 模型的求解

)(),(l h l h C B 可以用数值积分求得. )(l h B 应具备下列性质：

⎪⎩

⎪⎨⎧≤<↓≤≤↑=<<=0''0,,20,0)(l l l l l l w l l l h B B

B B B B 其中B l 为起亮值，'B l 为最大值点，0l 为考察的最大范围，例如取为20mm 。)(l h

C 也有类似的性质，且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解)(2)(l h l h C B =,记其解为

*l l =,再求出'',C B l l ,不难看出''C

B l l <且*l 落在),(''

C B l l 之中。 令)(/2)(/1***l h l h w B C ==现证*w 为问题之最优值。事实上，对可行域中任一),(w l ，

当,*l l ≥有,)(/2)(/2**w l h H l h H w B B =>≥（用到*l l ≥时↓B h ）。

当*l l <，有**)(/2)(/2w l h H l h H w C C =>≥，（用到*l l <时↑c h ）。

这就证明了*w 的确是最小值。

事实上数值结果为41.4,62.7,86.3*''≈≈≈l l l C B .

四. 反射光亮区的计算

分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x 轴，纵坐标为y 轴，单位为mm),下半部分与上半部分是关于x 轴对称的.