费马点与中考试题

识别“费马点”思路快突破

例1探究问题:

（1）阅读理解:

①如图（A），在已知△所在平面上存在一点P,使它到三角形顶

点的距离之和最小，则称点P为△的费马点，此时++的值为△的费马距离.

②如图（B）,若四边形的四个顶点在同一圆上，贝U有• + • = •.

此为托勒密定理

A

tn B)

（2）知识迁移:

①请你利用托勒密定理，解决如下问题:

如图（C）,已知点P为等边△外接圆的BC上任意一点.求证：+=.

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△（其中/ A、/ B/ C

均小于120° ）的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图（D）,在△的外部以为边长作等边△及其外接圆；

第二步：在BC上任取一点P ,连结P'A、P'B、P'C、P'D.易知P'A

+ P'B + P'C = P'A+ （P'B+ P'C） = P'A + _____________________ 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△的费马点P,

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并请指出线段______ 的长度即为△的费马距离

A

(3)知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.

已知三村庄A B C构成了如图(E)所示的△(其中/ A / B

/ C均小于120°),现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A B

C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值

(1)平面内一点P到△三顶点的之和为，当点P为费马点时，距

离之和最小.

特殊三角形中：

(2)三内角皆小于120°的三角形，分别以，，为边，向三角形外侧

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做正三角形1, 1, 1,然后连接1, 1, 1,则三线交于一点P,

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则点P就是所求的费马点.

(3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就

是所求.

(4)当△为等边三角形时，此时外心与费马点重合

可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是

例2如图，四边形是正方形，△是等边三角形，M为对角线(不

含B点)上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接、、.

⑴求证：△旦△;

⑵①当M点在何处时，+的值最小；

②当M点在何处时，+ +的值最小，并说明理由；

⑶ 当+ +的最小值为,31时，求正方形的边长.

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②如图，连接，当 ++的值最小. 思路探求：⑴略；

⑵①要使+的值最小，根据“两点之间线段最短”，需设法将+

转化为一条线段，连接即可获取；

②要使+ +的值最小，由例 3积累的知识经验：点 M 应该是△的 费马点.由例3中（2）的求解示范，只要连接即可获得为+ +的值最 小.这样获到M 点至少帮助我们在思路获取上提高了效率 .理由说明供 助于第（1）问的全等获得，将三条线段转化到上去，问题化为两点之 间线段最短.

⑶根据题意，添加辅助线，构造直角三角形，过 E 点作丄交的延

长线于F.设正方形的边长为x '则二沪“即在△中'由勾股定理 得（△ ） 2 +

（空X + X ） 2

= .3 12，解得即可. 2 2

简答：⑴略；

⑵①当M 点落在的中点时，+的值最小

理由如下：连接.由⑴知，△旦△,

M 点位于与的交点处时,

A D

•.•/ = 60。，=,

二△是等边三角形.

■

— = —P .

根据“两点之间线段最短”，得+ +=最短

•••当M点位于与的交点处时，+ +的值最小，即等于的长. ⑶过E点作丄交的延长线于F,：/ = 90°—60°= 30° 设正方形的边长为

x，则=三x, = x.

2 2

在△中，••• 2+ 2= 2,二（X）2+（旦X + X）2= ,3 12.

2 2

解得，X= 2 （舍去负值）.•••正方形的边长为2.

点评：本题中“+ +的值最小”如果没有费马点的知识积累，会在探究点M的位置上花费不少时间，这对紧张的考试来说，势必造成“隐性失分”.