线性微分方程组的基本理论

n个线性无关解，则 x (t ) 是方程组（5.15）的通解， 其中
c x (t )
i 1 i i
c1 , c2 , cn 是任意常数.
基本解组: 称方程组(5.15)的n个线性无关解
x1 (t ), x2 (t ), xn (t ) 为一个基本解组 .
解矩阵: 如果 n n 矩阵的每一列都是(5.15) 的解, 称这个矩阵为 (5.15) 的解矩阵. 基解矩阵: 由基本解组组成的矩阵为基解矩阵. 定理1* 方程组(5.15)一定存在一个基解矩阵 (t ) 并若 (t ) 为其任一解,则
x (t0 ) x0 ,因此由解的唯一性，有 x (t ) x
即
x(t ) c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
推论1 方程组(5.15)的线性无关解的最大个数为n. 推论2 如果已知(5.15)的k个线性无关解，则(5.15)可 以降低为含n-k个未知函数的线性微分方程组。 特别地，如果已知(5.15)的n-1个线性无关解，则(5.15) 的通解即可得到. 推论3 设 x1 (t ), x2 (t ) xn (t )是方程组（ 5.15 ）的 n
c x (t )
i 1 i i
m
也是(5.15)的解。
证明: 因 xi (t )(i 1,2,, m) 是方程(5.15) 的解, 则有
dxi A(t ) xi (t ) (i 1,2,, m). dt
所以
d [c1 x1 c2 x2 cm xm ] dt dxm dx1 dx2 c1 c2 cm dt dt dt
2e 0
4t
所以
c1 c2 c3 0
1
0
所以有 x1Leabharlann Baidu, x2 , x3 线性无关.
朗斯基判别准则: 设有n个函数向量
x11(t ) x12 (t ) x1n (t ) x21(t ) x22 (t ) x2 n (t ) x1 (t ) , x2 (t ) , xn (t ) x (t ) x (t ) x (t ) n1 n2 nn x11(t ) x12 (t ) x1n (t ) x22 (t ) x2 n (t ) ,
2 (t ) 表示 (t )的第二列, 可知 2 (t ) 也是
方程 的解, 因此 (t ) [1 (t ), 2 (t )] 是方程组
的解矩阵, 另外因 det (t ) 2e 4t 0, 故 (t ) 是方程组 的基本解组. 所以其通解为:
et x (t )c et
c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, t [a, b].
故解组线性相关.
定理4 方程组(5.15)的解组 x1 (t ), x2 (t ), xn (t )在 [a, b] 线性无关，则它们的朗斯基行列式
W (t ) 0, t [a, b]
成立,显然只需下面方程成立
et 0 e t
因为
0 e 3t 1 et 0 e
t
e 2t c1 0 3t e c2 0 0 0 c 3 0 e
3t
t
e 2t e
3t
的解 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ), t [a, b]. 且以该组作出的Wronsky 行列式在 t0 处有
W (t0 ) 1 0 , 因此 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )
在 t [a, b] 上线性无关.
定理6
设 x1 (t ), x2 (t ) xn (t )是方程组（5.15）的
在 (, ) 上线性无关.
证明:要使 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) c3 x3 (t )
et e 2t 0 3t 3t c1 0 c2 e c3 e e t 0 1 0 tR
i 1 i i
m
线性相关及线性无关的定义 设 x1 (t ), x2 (t ), xn (t )为 若有一组不全为 0的数 有
I
上的函数向量,
c1 , c2 , cn, t I
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0
成立，则称此组函数向量在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
称
W (t )
x21(t )
xn1 (t ) xn 2 (t ) xnn (t )
为这些函数向量组的朗斯基行列式.
定理3 方程组(5.15)的解组 x1 (t ), x2 (t ), xn (t )在 [a, b] 线性相关的充要条件是它们的朗斯基行列式
W (t ) 0, t [a, b]
c1 A(t ) x1 (t ) c2 A(t ) x2 (t ) cm A(t ) xm (t ) A(t )[c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cm xm (t )]
A(t )( ci xi ),
i 1 m
说明
c x 是方程组(5.15)的解.
证明:必要性.设 x1 (t ), x2 (t ), xn (t ) 在 [a, b] 上线性相关,则t0 [a, b], x1 (t0 ), x2 (t0 ) xn (t0 ) 均线性相关.所以 W (t0 ) 0 由 t0 的任意性有 W (t ) 0, t [a, b].
充分性.若 W (t ) 0,取
推论 方程组（5.15）的任一解组 x1 (t ), x2 (t ) xn (t )
的 W (t ) 在 [a, b] 上或恒不为零，或恒为零.
定理5
线性齐次微分方程组（5.15）一定存在
n 个线性无关解.
证明: 由解的存在唯一性定理, 方程组(5.15) 一定存在满足初始条件
1 0 0 0 1 0 x1 (t0 ) , x2 (t0 ) ,, xn (t0 ) . 0 0 1
故 x1 (t ), x2 (t ) 在I上是线性相关的.
练习2 证明
e x1 (t ) 0 et
t
2t e 0 3t 3t x2 (t ) e x3 (t ) e 0 1
'
解的一些简单性质: 性质1 如果 (t ) 是 (5.14) 的解, (t ) 是 (5.14) 对应的齐次线性方程组 (5.15) 的解, 则 (t ) (t ) 是 (5.14) 的解.
性质2 如果 1 (t ) 和 2 (t ) 是 (5.14) 的两个解,
则 1 (t ) 2 (t ) 是 (5.15) 的解. 性质3 设 F (t ) F1 (t ) F2 (t ) Fm (t ), 且 x j (t ) 是方程组 x A(t ) x F j (t ) 的解, 则 x 是 (5.14) 的解.
n个线性无关解，则方程组（5.15）的任一解
x(t ) 均可表示为 xi (t )(i 1,, n) 的线性组合.
证明：设 x(t ) 是方程组（5.15）任一解，并满足
x(t0 ) x0
因为 x1 (t ), x2 (t ) xn (t )是n个线性无关解，
可知 x1 (t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 ) 线性无关，即它们
5.2 线性微分方程组的基本理论
考虑非齐次线性微分方程组
x' A(t ) x F (t )
解的结构问题.
(5.14)
先考虑(5.14) 对应的齐次线性微分方程组
x A(t ) x
'
(5.15)
解的结构问题.
一、线性齐次方程组解的结构
定理2 设 x1 (t ), x2 (t ), xm (t ) 是齐次线性方程组 (5.15)的 m 个解,则它们的线性组合
x (t )
t 0 [ a, b ] ,有 W (t0 ) 0
则 x1 (t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 ) 线性相关，即存在不全为零
的数
c1 , c2 ,cn ,使得 c1x1(t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0
考虑到 x(t ) c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) ,由解的叠加原理 知 x(t ) 是(5.15)的解,且满足 x(t0 ) 0 由解的存在唯一性定理知,x(t ) 0 ,即有
(t ) (t )c
其中c是确定的n维常数向量.
定理2* 方程组(5.15)的一个解矩阵 (t ) 为
基解矩阵

在 [a, b] 上某点 t0 有
det (t0 ) W (t0 ) 0
推论1*
若 (t ) 是(4.3.2)在 [a, b] 上的基解矩阵,
C是非奇异
例1 证明
cos 2 t x1 (t ) 1 t
sin 2 t 1 , x2 (t ) 1 t
在任何区间I上都是线性相关的. 证明:取 c1 1 , c2 1 则
cos 2 t sin 2 t 1 0 c1 1 c2 1 0 t 0 t tI
t 3t c c e c e e 1 1 2 . t 3 t 3t c e c e e c2 2 1 3t
二、非齐次线性微分方程组解的结构
x A(t ) x F (t )
'
（5.14） （5.15）
x A(t ) x
构成n维线性空间的基，故对向量 x(t0 ) 一定 存在唯一确定的一组常数
c1 , c2 , cn 满足
x(t0 ) c1x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 )
考虑 x (t ) c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 由解的叠加原理知它为方程组的解，并满足
是方程组
e3t e3t
2 1 x 1 2 x
解: 首先验证 (t ) 是解矩阵,
令 1 (t ) 表示 (t ) 的第一列, 因为
et 2 1 et et 1(t ) , et 1 2 et et 2 1 (t ) 故 1 1 2 1 (t ). 因此, 1 (t ) 是方程的一个解. 同理, 令
n n常数矩阵,则 (t )C
也是
方程组(5.15)在区间 [a, b] 上的基解矩阵.
推论2* 若 是(5.15)两个基解矩阵,则存 (t ), (t )
在非奇异常数矩阵C,使得 (t ) (t )C , t [a, b].
et (t ) et