第6-1章一维波动方程推导

（34）
公式（32）、（33）、（34）表示应力波到达固定端后，将产生一个与
入射波相同的反射波，即入射的压力波产生压力反射波，入射的拉力波产 生拉力反射波。在杆端处由于波的叠加使反力增加一倍。
1.2.5 基桩或杆件阻抗变化引起的反射波
当基桩或杆件阻抗发生突变时，如图2所示，
由变阻抗处的连续条件可得：
进行实测波形的拟合法分析。
方便、快捷、一定的准确度被各国接受 要求较高的人员素质、专业理论知识、 丰富的工程经验 缺乏与静荷载试验在桩周分层摩阻力和端阻力方面对比。
1.2.1 一维杆的纵向波动方程

一根材质均匀的等截面弹性杆，长度为L，截
面积为A，弹性模量为E，体密度为ρ 。若杆变
形时符合平截面假定，在杆上端施加一瞬时外
力，单元受力如图所示。图中包含外力、土阻
力、阻尼力的作用。
杆单元受力图
x
u
u u dt t
L
dx
x
x dx x
x
以单元dx为对象，建立x方向的平衡方程得
x 2u x A x dx A Adx 2 x t
由材料力学知识得：
(25)
F


F V


V
1 ( F ZV ) 2 1 ( F ZV ) 2 1 F (V ) 2 Z 1 F (V ) 2 Z
(26)
4
上下行波在界面或端部的反射
当杆或桩的端部为自由端时，其边界条件为：
F F F 0
（27） （28）
F F
'
则下行波引起的质点振动速度
下行波引起的桩身应变为
u V cf t u f' x
（17）
（18）
式中的负号表示以压缩变形为负，拉伸为正。
（17）、（18）

V c
EA F EA V ZV C
（19）
（20）
式中，Z＝EA/C称为桩身阻抗，是由桩身材料特性和桩身截面确定的量。
应力波反射法检测基桩原理
1.1 基桩动测技术的发展及国内外研究现状
一百年以前，动力打桩公式 1865年B.de Saint Venant提出一维波动方程 50年代后期A.Smith提出了波动方程在桩基中应用的差分数值 解法，它把锤一桩一土系统简化为质量块、弹簧和阻尼器模型 从而使波动方程打桩分析进入实用阶段。
2u 2 2u 2u 2u c 2 2 2 2 t
将式（5）～式（8）代入式（4）
(7)
(8)
2u 0
(9)百度文库
对式（9）连续两次积分得到方程的通解：
u , f g
（10） （11）
当只有下行波通过界面时：
F 1
（36）
Z 2 Z1 F 1 Z1 Z 2 2Z 2 F 1 Z1 Z 2
（37）
F2
当只有上行波通过界面时：
F
（36）
1
2Z1 F2 Z1 Z 2 Z1 Z 2 F2 Z1 Z 2
Z 2 Z1 V1 Z1 Z 2
0 xL 0 x L
（12）
f ( x ct ) g ( x ct ) ( x) ' f ( x ct ) g ' ( x ct ) ( x) / c
1 f ( x ct ) g ( x ct ) ( x )dx k c x0
2
假设桩身中只有上行波（压力波为例），即 u 则上行波引起的质点振动速度

x, t g x ct
（21）
g V cg ' t
式中负号表示质点振动速度向上为负。
上行波引起的桩身应变为

g g' x
（22）
（21）、（22）

V c
EA F EA V ZV C
（23）
（24）
结论：
①下行波中质点的运动方向与所受力的方向始终一致； ②上行波中质点的运动方向与所受力的方程始终相反。
3
通过计算可以分离出桩身各截面
上行波和下行波的值，具体如下：
F F F V V V
将式（20）和式（24）带入式（25），即得
波速为c×t0/t0＝c，这表明波在传播中速度不变。 物理现象为杆上各点，振动未传到时，处于平衡状态，振动传到
时，相应点将发生位移的变化，振动穿过后，该点仍回到平衡位置。
1.2.4
一维波动方程的解在基桩测试中的应用
1 假设桩身中只有下行波（压力波为例），即

u x, t f x ct
F1 F1 F2 F2 Rx
（40）
将式(20)、（24）带入式（40）可得
F1 F2 Z (V1 V2 ) Rx
（41）
F1 F2 Z (V1 V2 ) Rx
（42）
图3 土阻力波在桩中的传播
由截面的连续条件可得 联立方程式（41）～式（43）可得
量法、特征线法，这里主要介绍基桩检测常用的行波法。
作变量代换：
x ct x ct
（4）
u u u x
u u u c t
(5)
(6)
2u 2u 2u 2u 2 2 2 2 x
1
Rx / 2 Z
（45）
式（45）表示，下行入射波通过x截面时，阻力将使速度曲线下降Rx/2Z。 如果在深度x处的阻力Rx于x/c时刻开始作用，则在2x/c时刻桩顶力和速度 之间的差为R，因为上行波的力和速度的大小均为R/2,总和为R。
如果阻力在L/C时刻作用在桩尖，根据力的平衡条件，将产生一个上行 的应力波，其值为R。质点速度为－R/Z。
（38）
F2
同理可以推出
V1 V2
（39）
2Z 2 V1 Z1 Z 2
由上式可得： （1）当原有的下行波通过阻抗变化的截面时，反射波的幅值为 原入射波的（Z2－Z1）/(Z1+Z2)倍，并根据（Z2－Z1）的正负决
定反射波的性质是否变化。
（2）应力波反射和透射能力大小取决于两种介质波阻抗的差异 情况。两种介质波阻抗相差愈大，反射能力愈大，透射能力愈 小；波阻抗相等，只有透射没有反射。 （3）波的性质：压力波，拉力波的变换
将式（20）和式（24）带入式（27）得
V V


（29）
公式（27）、（28）和式（29）表示，当下行波传到自由端时，将产生一个符号相
反，幅值相同的反射波，才能保持力的平衡，即如果下行的是压缩波，则反射的一 定是拉伸波，下行的是拉伸波，则反射的一定是压缩波。桩身阻抗减少的界面反射
波的规律与自由端类似。
F1 F1 F2 F2 V V V V
1 1 2 2
（35）
将式（20）和（24）代入式（35），可得
Z Z1 2 Z1 F 2 F1 F2 Z1 Z 2 Z1 Z 2
1
图2 阻抗变化引起的反射波 （36）
2Z2 Z Z2 F2 F1 1 F2 Z1 Z 2 Z1 Z 2
因此，全部上行波的总和将包括阻力波和t1时刻的冲击波在桩底的反射波（取负值）。
F(u ,t ) R F(d ,t )
2 1
（46）
即
R F(d ,t ) F(u ,t
1
2
)
（47）
( F1 ZV1 F2 ZV2 )/ 2
式中，下标1和2表示时刻t1和时刻t2=t1+2L/C
R是遇到的总阻力，包括动阻力和静阻力，这个总阻力和桩的极限承载 力之间仍存在差别，为了预估桩的承载力，需要作多方面的考虑：
A. B. C.
去除土阻尼的影响; 在对P和V曲线采样时，正确选择t1时刻，使阻力充分激发； 对由于桩的过早回弹（在2L/c时刻之前产生负的速度）而导致桩侧和桩端阻力下降 做出修正；
1.2.3
解的物理意义
假设式（16）的第二式为零，即 ，当波速一定时，随 着时间的 增长，位移逐渐沿x轴向下传播，因此我们习惯称为f下行波。同理 称为g上行波。上下行波在传播过程中，由于函数f和g都不发生变化， 因此，波的形状不变，在不考虑杆周围介质的影响，其幅值也不变。 前面假设杆的材质是均匀的，经过t0时刻，波形移动了c×t0的距离，
x
（13）
积分（13）有：
（14）
x ct 1 1 k f ( x ct ) ( x ct ) ( x )dx 2 2c x0 2 x ct 1 1 k g ( x ct ) ( x ct ) ( x )dx 2 2c x0 2
1967年美国G.G.Goble等人发表了“关于桩承载力的动测研究”一文， 1975年发表了“根据动测确定桩的承载力”研究报告 1970年以后，美国己把动力试桩技术用于实际工程 1977年PDI公司开始生产以PDA(Pile Driving Analyzer)打桩分析仪 采用波动方程程序(Case Pile Wave-equation Analysis program/contimuous,简CAPWAPC程序)对桩的侧阻分布、端阻和桩身缺陷
（4）当桩身缩径、夹泥、离析、断桩等缺陷时，Z2<Z1，入射波
与反射波同号；桩身存在扩径时，Z2>Z1，入射波与反射波反号；
1.2.6土阻力对应力波的影响
如图，假定有一冲击力作用在桩顶，产生的 应力波沿桩身往下传播，在距桩顶x处遇到 一阻力R，应力波将发生反射和透射。设阻 力作用截面以上标记为1,以下标记为2。根 据力的平衡条件得
如果在时段x/c<2L/c内有一阻力R持续作用，则在2L/C时刻，力和速度
记录中将包含下列影响： 1. 在2L/C时刻之前由初始的下行压缩波在桩底反射产生的上行拉伸波 F(d, t1)； 2. 全部上行的压缩阻力波（R/2）的总和； 3. 初始的下行的拉伸阻力波经桩底反射后以压缩波形式上行，与1 项的上行波同时到达桩顶； 4. 所有上行波到达桩顶后反射形成的全部下行波F(d, t2)。 2、3项的应力波之和为R，其中包括了两个二分之一侧阻力和全部的端阻力。
（15）
因此一维波动方程的定解问题的通解可以最终表示为：
u x, t f x ct g x ct 1 1 u x, t ( x ct ) ( x ct ) ct ( x)dx 2 2c x
x ct
（16）
这一通解公式称为D`Alembert 公式。可以证明该解是唯一的，而且是稳定的。
V1 V1 V2 V2
（43）
F1 F2 Rx / 2 F2 F Rx / 2
1
（44）
式（44）表示，下行入射波通过x截面时，由于阻力作用，将在界面处产生幅值均为
Rx/2的向上传播的压力波和向下传播的拉力波。
同理，可以推出
V1 V2 Rx / 2 Z V2 V
（1）
u x E x
x 2u E 2 x x
2u E 2u 2 t x 2
（2）
将式（2）带入式（1）：
令
c2
E

，即得著名的一维波动方程
2 x 2u c2 2 x t 2
（3）
1.2.2一维波动方程的解

求解一维波动方程有多种方法，常用的有行波法、分离变
u x, t f x ct g x ct
设问题的初始位移和初始速度分别为：
通解中的函数f和g是具有两阶连续偏导数的任意函数，由波动的初始条件确定。
u( x,0) ( x ) u( x,0) t ( x )
(11)、(12)
（25）、（28）
V V V 2V



（30）
即在杆端由于波的叠加，使杆端质点速度增加一倍。
当杆或桩的端部为固定端时，其边界条件为
V V V 0
（31）
V V
将式（20）和式（24）带入式（31）得


（32）
F F
类似地


（33）
F F F 2F