计算方法PPT课件第一章 绪论
计算机科学导论第一章绪 论ppt课件
Wilkes 制造产生.
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国内第一台模拟电子计算机 1956年，东北大学教授李华天带领工作人员开发 研制出国内第一台模拟电子计算机。 全套设备占地面积 40 平方米，拥有 5 个 2.3 米高的
1930 普林斯顿大学客座教授， 1931 年他成
为美国普林斯顿大学的第一批终身教授
1933 年转到该校的高级研究所，成为最初 六位教授之一，并在那里工作了一生．
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四个子系统 Four subsystems
基于冯诺依曼模型的计算机分为四个子系统: 存储器memory 、算术逻辑单元 arithmetic logic unit, 控制单元control unit、输入输出单元 input/output
17世纪，法国Blaise Pascal发明了 Pascaline. 一个用来进行加减运算的计算 机器。20世纪，尼克劳斯.澳思发明了一种结构化程序设计语言Pascal 17世纪后期，德国数学家Gottfried Leibnitz 发明了既能进行乘除又能加减 的更复杂的机器，该机器称为莱布尼茨之轮 Leibnitz’ wheel.
Figure 1.2 基于图灵模型的计算机：可编程数据处理器
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Figure 1.3 相同的程序，不同的数据
10
Figure 1.4 相同的数据，不同的程序
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通用图灵机 The universal Turing machine
通用图灵机是对现代计算机的首次描述， 该机器只要提供了合适的程序就能做任何计算。
计算方法_绪论课件
第一章绪论1.1 什么是数值分析1.2 误差和有效数字1.误差的来源（1）模型误差（2）观测误差（3）截断误差（4）舍入误差2.误差定义1 设x是准确值，x*是x的一个近似值，称差x*－x为近似值x*的绝对误差，简称误差，记为e*或e (x*)，即e*= x*－x定义2 称满足***e x x ε=-≤的正数ε * 为近似值x*的误差限.定义3 设x 是准确值，x *是x 的近似值，称**e x x x x -=为近似值x *的相对误差，记为*r e ，即 ***r e x x e x x -==定义4 称满足的正数r ε*为x* 的相对误差限.3.有效数字定义5 设*12100.kn x a a a =±⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅{}10,0,1,2,,9l a a ≠∈⋅⋅⋅，k 为整数，若有关系式***r r x x e xε-=≤**0.510k ne x x -=-≤⨯则称近似数x *有n 位有效数字.例1 考虑 3.1415926π=⋅⋅⋅的近似值1 3.14x =和2 3.141x =的有效数字.定理1 设近似数 *12100.mn x a a a =±⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅，{}10,0,1,,9l a a ≠∈⋅⋅⋅ m 为整数，1) 若x *有n 位有效数字，则有**1*11102n r x x e a x --=≤⨯，2) 若x *的相对误差()**1*111021nr x x e a x --=≤⨯+则x *至少有n 位有效数字。
证明1) 因为x *有n 位有效数字，则有*0.510m nx x --≤⨯于是***121110.5100.100.5110100.2m nr m n n n x x e a a a x a a ----⨯=≤⋅⋅⋅⨯≤⨯=⨯2) 由()*1*111021nx x a x --≤⨯+ 有()()()121**111211.11210.10110102121.11010212k mn nna a a a m nm n k a a a x x x a a a a a a --<+--⋅⋅⋅⨯-≤⨯⨯=⨯++=⨯⨯+<例 2 为保证某算式的计算精度，要求参与计算的323的近似值x *的相对误差小于0.1%，请确定x *要取几位有效数字才能达到要求。
首先,我们来看用计算机解决科学计算问题的一般过程：.ppt
准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情况估计出e的取值范围，
即估计出绝对误差的一个上界ε :
e x x*
西南交通大学电磁所
这样的ε称为x*的绝对误差限或误差限。显然，误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值，就可以得到准确值x的范围：
x * x x *
即准确值必定在区间[x*－ε, x*+ε]内，也常记作：x= x*±ε。
为有效数字。 按定义x1* = 3.14可称为准确到第三位或有三位有效数字，而 x2* =
3.1416称为准确到第五位，或有五位有效数字。
也可以给出如下定义：
记x*表示x的近似值，若x* 0.a1a2 an 10m ,
(ai是0,1,,9中的一个数字，a1 0)，
如果 x x*
2
西南交通大学电磁所
2.相对误差
误差限的大小不能完全反映近似值的准确程度。例如测量百米跑道
长时，误差不超过10厘米，而测量黑板长时得其长度为3米，误差不超
过1厘米。就误差限而言，前者为后者的10倍，但由于前者误差只占所
量长度的千分之一，而后者误差则占所量长度的三百分之一，显然测量
百米跑通的结果更为精确。
百分位）的半个单位，即0.5×10-2；
而对x*2
3.1416,π x*2
0
.
0
0
0
1
1
10 2
4
0.00005,x2*=3.1416是
所有五位数中与π相差最小的数，不超过末位（第五位）的半个单位
即0.5×10-4。
西南交通大学电磁所
如果近似值x*的误差限是它的某一位的半个单位，就说 x* “准确” 到这一位，并且从这一位直到前面第一个非零数字为止的所有数字均称
数值与计算方法第1章绪论
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计算数学的应用与发展
• 科学理论、科学试验和科学计算(计算的方法)是现 代科学的三个组成部分
• 计算机下的科学计算大大地提高了计算速度和计算 精度，是使原来不能实现的海量复杂计算成为现实
• 科学计算是以计算机为基础的科学计算，其计算理 论是计算数学
• 计算数学的应用：天体物理、大气研究、分子生物、 集成电路、天气预报、模式识别、网络信息搜索等
0
由Newton Leibniz公式无法求解，仅可数用值方
法求解。仍选n择 2,h 1,的复化simpson公式进 2
行数值求解有I2 0.746855379。
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注释
1. 牛顿-莱布尼兹公式
2.
数值解：在特定条件下通过近似计算,（如有限元的方法, 数值逼近,插值 的方法）得出来的一个数值。
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计算数学的对象
• 计算数学是一门古老的数学
如计算圆周率、《九章计算》等； 牛顿、莱布尼兹等提出的微分、积分计算；
• 计算数学是一门年轻的数学
近代计算机的诞生，产生了数学的计算机计算.
• 计算机与数学的关系非常密切 • 计算数学：计算机上的数学方法。
或定义为：研究数值计算方法的设计、分析和有关理论基础 与软件实现的一个数学分支。
开方、极限、超越函数、微分、积分等等。
要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的 等价或近似等价运算。
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1.
如求根公式
x1,2
b
b2 4ac 2a
2. 应化为公式 x1,2bsq2(arb2t4a)c
3. 超越函e数 x，应化为 ex1xx22! xnn!
4. 函数 y(x)的导y(数 x)的计算应化为
计算方法1
本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的 数值分析方法。
4
利用计算机解决实际科学计算问题，一般经过以 下几个步骤：
Step1：实际问题的提出
Step2：建立数学模型
Step3：确定计算方法
Step4：程序设计
Step5：上机实现，得出结果
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计算方法的研究对象和内容：研究求解各种数学 问题的数值方法及其理论，并且将方法在计算机上实 现，求出问题的数值解，或者说是问题的近似解。
计算方法公理式论、分算析法（（收方敛法性,）稳定性, 误差分析等）
注意：我们在学习中，不但要掌握并会使用算法， 还要重视必要的理论分析，即分析算法的收敛性、稳 定性、误差分析等，这样才能保证计算结果的可靠性。
问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。 证明： π* 0.31415101 ,
and |π * π| 0.5 103 0.5 1014
* 有 4 位有效数字，精确到小数点后第 3位。
注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效。12300如 果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！
估计绝对误差界为0.002 ,
相对误差界为0.002 0.00064, 3.14
例 测量一木板长是954cm，问测量的相对误差限是多少？
实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界一般不会
超过最小刻度的半个单位，因而
当x 954cm时，有 0.5cm，其相对误差界为
r
x
0.5 954
0.0005241
0.053 %
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南航《计算方法》第1章-绪论
南京航空航天大学数学系
内容提要
1. 科学计算的地位与应用 2. 科学计算在美国 3. 科学计算的基本内容 4. 科学计算主要进展 5. 相容性与稳定性
一. 科学计算的地位与应用
科学计算的地位
科学研究/工程技术
理论 研究
科学 计算
科学 实验
科学工程计算
建模 计算
应用 问题
数学 计算 模型 方法
二. 科学计算在美国
2
美国从1942年8月13日开始曼哈顿 计划，到1945年制造出三颗原子 弹：代号为：“三一”，用于试 验（7月16日），“瘦子”投于广 岛(8月6日)，“胖子”投于长崎(8 月9日)。历时三年，涉及到理论 物理、爆轰物理、中子物理、金
属物理、弹体弹道等大量的数值 计算。
1983年一个由美国著名数学家拉 克斯(P. Lax)为首的不同学科的专 家委员会向美国政府提出的报告 之中，强调“科学计算是关系到 国家安全、经济发展和科技进步 的关键性环节，是事关国家命脉 的大事。”
有限差分法的基本思想是用离散的、 只含有限个未知数的差分方程去代 替连续变量的微分方程和定解条件。 求出差分方程的解作为求偏微分方 程的近似解。
3.5 微分方程(组)数值解
有限元法是近代才发展起来的， 它是以变分原理和剖分差值作为 基础的方法。在解决椭圆形方程 边值问题上得到了广泛的应用。 有许多人正在研究用有限元素法 来解双曲形和抛物形的方程。
1 en1 n en
故得 | en
|
1 n1
1 n
2
1 N
| eN
| (n
N)
计算稳定。
x * ---数学模型精确解 x ---计算格式理论解 x ---计算格式近似解
西安交通大学《计算方法》课件-第一章
浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算 (2)避免“大”“小”数相加减 (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失 (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数
第1章 绪论
定义 数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题 称为病态问题,否则称为良态问题。
问题的性态就是指问题的解对原始数据扰动的敏感性
第1章 绪论
浮点数系运算误差
(2)计算结果的尾数多于t位数字
在F (2,3,1,2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21 (0.100 22 ) (0.111 21 ) 0.1000111 22
需要对结果进行舍入处理,产生的差称为舍入误差
记为F ( , t , L,U )
l
将计算机中所能表示的全体数的集合称为计算机的浮点数系
浮点数系中的数的个数是有限的,其个数为
2( 1) t 1 (U L 1) 1
第1章 绪论
浮点数系的误差
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然要用浮点数系中的数 表示,因此必须用一个比较接近的数来代替 因此产生误差 称此误差称为舍入误差
第1章 绪论
第1章 绪论
什么是计算方法
《计算方法》介绍基本的数学问题中的主要数值方法, 介绍方法的思想、结构、条件、对输入数据的要求、生成 数据的意义、应注意的事项等 介绍数值计算中的一些最基本的概念 设计常见应用问题的数值处理方法 对数值方法的数值特性进行研究 分析方法的可靠性 分析方法的效率
第1章 绪论
问题的性态
已知问题f ( x)的输入数据只有一个 ,用x来表示 若有两个输入数据x和~ x , 则可以得到两个不同的结果f ( x)和f ( ~ x)
最优化计算方法-第1章(绪论)
第一章绪论§1.1引言最优化：就是从所有可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的学科。
这样的问题称为最优化问题，达到最优目标的方案称为最优方案，寻找最优方案的方法称为最优化方法。
广义上：运筹学(Operation Research)狭义上：数学规划（programming)发展:(1)最优化问题是一个古老的问题。
早在17世纪，Newton和Leibniz已经提出了函数的极值问题，但没有系统的理论.因为算法不完善及计算工具不先进，以后二、三百年发展缓慢。
（2）第二次世界大战中由于军事上(战略、战术）的需要，如资源调配问题运输问题提出了许多不能用古典方法解决的问题，从而产生了线性规划，非线性规划、动态规划、组合优化等新方法，产生运筹学，（3）但直到20世纪40年代，最优化的理论和算法才得以迅速发展，并不断完善，逐步成为一门系统的学科。
在实际中最优化方法发挥的作用越来越大，其应用越来越广泛，尤其是在工程设计中的应用。
重要性：因为应用广泛所需数学知识：高等数学、线性代数§1.2 优化问题的模型举例例1 产品调运问题设某产品有个产地，各产地产品的产量分别为m 12,,,m a a a 有n 个销售地，每个销地的销量分别为12,,,n b b b 设由第i 个产地到第j 个销地的运费单价为ijc 问如何安排运输计划，使总运费最小（假设产销平衡）。
ij x 解设由第i 个产地到第j 个销地的运输量为1n j =∑1m i =∑min1(1,2,,)n ij i j x a i m ===∑ 1(1,2,,)m ij j i x b j n ===∑ ..s t ij ij c x 1a i a m a 1b j b n b ij c ij x例2将非线性方程组的求解转化为一优化问题。
11221212(,,,)0(,,,)0(,,,)0n n n n f x x x f x x x f x x x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩212121min (,,,)(,,,)nn i n i x x x f x x x ϕ==∑ 解非线性方程组在有解的情况下，等价于§1.3 优化问题的模型与分类1 根据问题不同特点的分类（1）无约束优化问题（unconstraint optimizationproblem ）12min (,,,)n f x x x 12(,,,)Tn x x x = x min ()n x R f ∈x min (),nf R ∈x x (P)(P)min ()..()0,1,2,,j f s t h j l ⎧⎨==⎩ x x min ()..()0,1,2,,i f s t g i m ⎧⎨≥=⎩ x x min ()..()0,1,2,,,()0,1,2,,i j f s t g i m h j l⎧⎪≥=⎨⎪==⎩ x x x （2）约束优化问题（constraint optimization problem ）(P 1)(P 2)(P 3)12(,,,)T n x x x = x 称为决策变量()f x 称为目标函数()j h x 称为约束函数()0(1,2,,),()0(1,2,,)i j g i m h j l ≥=== x x 称为约束条件()i g x 满足约束条件的点称为可行解（feasible solution ）{}|()0,1,2,,;()0,1,2,,i j R g i m h j l =≥=== x x x (P3)的可行域（feasible region ）2 根据函数类型分类1)线性规划（linear programming）.2)二次规划。
1绪论：计算方法一
计 算 方 法
一 绪 论
计 算 方 法
一 绪 论
•机械振动
•其他举例: 插值, 拟合
计 算
直线插补圆弧
• 在只有直线插补功能的数控系统中，加工圆 方 弧要靠直线插补来实现。直线插补圆弧是用 法 直线作弦或切线去逼近圆弧。如图所示，一 圆弧AB的半径为R，起始角为α，终止角为β 一 ，圆心位于（x0，y0），若插补容差为δ，则 绪 插补节点的计算步骤如下： 论
• 计 自由曲线、曲面的拟合方法很多，有Bezier方
算 方 法
一 绪 论
法，B样条方法，Coons法,Fergusoon法等。
计 算 方 法
一 绪 论
计 算 方 法
一 绪 论
计 算 方 法
一 绪 论
计 算 方 法
一 绪 论
计 算 方 法
一 绪 论
计 算 方 法
一 绪 论
计 算 方 法
一 绪 论
计算方法在机械工程方面
能够做什么？
计 算 方 法
一 绪 论
• • • • • • • •
机械: 机械设计:带传动,齿轮传动等 机械原理：机构设计 优化设计 机械强度 机械振动 数控加工 测试信号处理等
力学： 流体力学，计算力学，固体力学等
• 应用:
计 算 方 法
一 绪 论
• 简单例：以图为例，求2,3点的位移.列方程组
它的解为x1 =-6.222... x2=38.25…
其准确解为x1=x2=x3=1
x3=-33.65...
计 算 方 法
一 绪 论
计 算 方 法
一 绪 论
计 算 方 法
一 绪 论
计 算 方 法
一 绪 论
第一章数值计算方法绪论
er ( y )
e ( y ) f(x)f(x) x xx f ( x ) xx f(x) x
x f(x) f(x)
er (x)
相对误差条件数
注：关于多元函数 yf(x1,x2,...xn ,)可类似讨论， 理论工具：Taylor公式
2、向后误差分析法：把舍入误差的累积与导出 A 的已
数值计算方法
第0章 课程介绍
什么是数值计算方法? 数值计算方法特点 数值计算方法重要性 本课程主要内容 本课程要求
什么是数值计算方法?
实际 问题
建立数学模型
近似结果 输
上机
出
计算
设计高效、 可靠的数值 方法
程序 设计
什么是数值计算方法? 数值计算方法是一种研究并解决数学问题的数值
若 x 的每一位都是有效数字，则x 称是有效数。
特别地，经“四舍五入”得到的数均为有效数
5.定理：
将 x 近似值 x 表示为 x 0.a 1a2 ak an 10m，
若 x * 有k位有效数字，则
； | er
|
1 2a1
10(k1)
x 反之，若
er
1 ， 10(k1) 则
注：(1)
近似数
x
1
,
x
2
四则运算得到的误差分别为
| e(x1 x2)| |e(x1)e(x2)|,
er ( x1 x2 )
e(x1) x1 x2
e(x2) x1 x2
,
(避免两近似数相减)
e
(
x x
1 2
)
x1e(x2) x2e(x1) x22
计算方法第一章绪论(32学时)-2014.2
教材聂玉峰、王振海等《数值方法简明教程》，高等教育出版社，2011作业计算方法作业集（A、B）参考书¾封建湖，车刚明计算方法典型题分析解集（第三版）西北工业大学出版社，2001¾封建湖，聂玉峰，王振海数值分析导教导学导考（第二版）西北工业大学出版社，2006¾车刚明，聂玉峰，封建湖，欧阳洁数值分析典型题解析及自测试题（第二版）西北工业大学出版社，2003西北工业大学理学院欧阳洁2第一章绪论§1 引言§2 误差的度量与传播§3 选用算法时应遵循的原则西北工业大学理学院欧阳洁3§1 引言科学与工程领域中运用计算机求解问题的一般过程：1 实际问题的提出2 建立数学模型3 设计可靠、高效的数值方法4 程序设计5 上机实践计算结果6 数据处理及结果分析西北工业大学理学院欧阳洁4学习算法的意义科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。
计算方法课程的研究对象具有广泛的适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica 等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。
但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容至关重要。
西北工业大学理学院欧阳洁5鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：¾非线性方程求根¾线性代数方程组求解¾函数插值¾曲线拟合¾数值积分与数值微分¾常微分方程初值问题的数值解法¾矩阵特征值与特征向量计算西北工业大学理学院欧阳洁6§2 误差的度量与传播一误差的来源与分类模型误差：数学模型与实际问题的误差观测误差：观测结果与实际问题的误差截断误差：数学模型的理论解与数值计算问题的精确解之间的误差舍入误差：对超过某有限位数的数据进行舍入所产生的误差西北工业大学理学院欧阳洁75 使用数值稳定性好的公式一个算法，如果初始数据微小的误差仅使最终结果产生微小的误差，或在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制，则称该算法（数值）稳定，否则称其为（数值）不稳定．西北工业大学理学院欧阳洁26总结1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.数值运算中应遵循的若干原则西北工业大学理学院欧阳洁30。
数值分析：第一章绪论PPT课件
x
*
是指对每一个 1 i
n
都有lim k
xi( k )
x
* i
可以。理解为 | |
x
(
k
)
x*
||
0
定义1.2.3
若存在常数
C1、C2
>
0
使得，
C1 || x ||B || x ||A C2 || x ||B
则称 || ·||A 和|| ·||B 等价。
可以理解为对任何
向量范数都成立。
数值分析课程中所讲述的各种数值方 法在科学与工程计算、信息科学、管理 科学、生命科学等交叉学科中有着广泛 的应用
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应用问题举例
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1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾 一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四 分斗之三。-------《九章算术》
定理1.2.1 Rn 上一切范数都等价。
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二. 矩阵范数
定义1.2.4
Rmn空间的矩阵范数 || ·|| 对任意A, B R满mn足： (1) || A || 0 ; || A || 0 A 0 （正定性)
(2) || A || | | || A || 对任意 C (齐次性) (3) || A B || || A|| || B || （三角不等式)
1 1
(1
I1*
)
0.63
212056
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我们仅仅是幸运吗?
计算方法_第一章_绪论
第一章绪论1.1 "数值分析"研究对象与特点"数值分析"是计算数学的一个主要部分.而计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适用于计算机的数值方法.因此，"数值分析"内容十分广泛.但本书作为"数值分析"基础，只介绍科学与工程计算中最常用的基本数值方法，包括线性方程组与非线性方程求根、插值与最小二乘拟合、数值积分与常微分方程数值解法等.这些都是计算数学中最基础的内容.近几十年来由于计算机的发展及其在各技术科学领域的应用推广与深化，新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编程的计算方法.因此，计算数学是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科.计算数学作为数学科学的一个分支，当然具有数学科学的抽象性与严密科学性的特点，但它又具有广泛的应用性和边缘性特点.现代科学发展依赖于理论研究、科学实验与科学计算三种主要手段，它们相辅相成，互相独立，可以互相补充又都不可缺少，作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，它的物质基础是计算机(包括其软硬件系统)，其理论基础主要是计算数学.计算数学与计算工具发展密切相关，在计算机出现以前，数值计算方法只能计算规模小的问题，并且也没形成单独的学科，只有在计算机出现以后，数值计算才得以迅速发展并成为数学科学中一个独立学科--计算数学.当代计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步，计算机与计算方法的发展是相辅相成、互相促进的.计算方法的发展启发了新的计算机体系结构，而计算机的更新换代也对计算方法提出了新的标准和要求.例如为在计算机上求解大规模的计算问题、提高计算效率，诞生并发展了并行计算机.自计算机诞生以来，经典的计算方法业已经历了一个重新评价、筛选、改造和创新的过程，与此同时，涌现了许多新概念、新课题和能充分发挥计算机潜力、有更大解题能力的新方法，这就构成了现代意义下的计算数学.这也是数值分析的研究对象与特点.概括地说，数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法.具体说就是：第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的算法，即算法只能由计算机可执行的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成.第二，要有可靠的理论分析，数值分析中的算法理论主要是连续系统的离散化及离散型方程数值求解.有关基本概念包括误差、稳定性、收敛性、计算量、存储量等，这些概念是刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性.第三，要有良好的复杂性及数值试验，计算复杂性是算法好坏的标志，它包括时间复杂性(指计算时间多少)和空间复杂性(指占用存储单元多少).对很多数值问题使用不同算法，其计算复杂性将会大不一样，例如对20阶的线性方程组若用代数中的Cramer法则作为算法求解，其乘除法运算次数需要，若用每秒运算1亿次的计算机计算也要30万年，这是无法实现的，而用"数值分析"中介绍的Gauss消去法求解，其乘除法运算次数只需3 060次，这说明选择算法的重要性.当然有很多数值方法不可能事先知道其计算量，故对所有数值方法除理论分析外，还必须通过数值试验检验其计算复杂性.本课程虽然只着重介绍数值方法及其理论，一般不涉及具体的算法设计及编程技巧，但作为基本要求仍希望读者能适当做一些计算机上的数值试验，它对加深算法的理解是很有好处的.讲解：（1）计算数学是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现，"数值分析"是计算数学的主要部分。
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⒉制定数值问题的算法
【什么叫算法？ 用完全确定的运算规则（包括运算的逻 辑顺序），对某一类数值问题的输入数据进行处理，判断此 数值问题是否有解，在解存在的情况下，给出输出数据，此 种过程称为算法。】
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
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由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立 数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。 而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程 序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这 一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法 的研究对象。
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在计算方法中，我们还将讨论： ⒋解的特性（近似程度，敛散性） ⒌各种方法的优缺点（速度，存储量） ⒍各种方法的实用范围（收敛范围）
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⑵ 一个好的方法应具有如下特点：
第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的 有效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运 算，是计算机能直接处理的。
1.2.1 误差来源： 用数值计算方法解决科学技术中的具体问题，一
般说都有误差，其来源有下列四种：
（注：由于人为的粗心大意造成的计算错误，不算误差）
1.模型误差 数学描述和实际问题之间的误差 如：匀加速运动或自由落体运动公式
s vt 1 g略t 2去了风力，空气阻力等。
2
2.观察误差 如：读表、读尺、读温度计。
常使用2.71828和3.1416来表示 e,的近似值，由此
所产生的误差就是舍入误差。
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本课程仅讨论后两种误差（截断误差和 舍入误差），讨论它们在计算过程中的传播 和对计算结果的影响，研制能够控制误差的 影响且保证最终结果有足够精度的算法。
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1.2.2 误差的概念和有效数字
就可以得到一个递推公式
uk uk1x ank ,
k=1,2, …,n (1.3)
这样的计算过程只需要计算n次乘法和n次加法。 这种算法和上一种算法相比，不仅逻辑结构简单， 而且计算也明显地减少了。多项式求值的这种算法 称为秦九韶算法（计算框图见图1.2)。
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1.2 误差的来源及其基本概念
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⒊得不到准确解时，设法得到近似解
例：求 x a, a 已0知数。
由数学中的极限理论可知，
当lim n
xn
x时（，极限存在）
有：lim n
xn1
lim
n
1 2
( xn
a xn
)
即x 1 ( x a )
2
x
于是 x2 a, a 0, x a
又∵n只能有限，∴x是近似值。
因此，数值计算方法就是研究用计算机解决数 学问题的数值方法及其理论的科学。它的内容包 括：误差理论、线性与非线性方程(组)的数值解、 矩阵的特征值与特征向量计算、曲线拟合与函数 逼近、插值方法、 数值积分与数值微分、常微分 方程与偏微分方程数值解等。
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⑴ 计算方法要解决的几个问题：
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对 误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂 性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省 存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否 在计算机上实现。
（或研究的对象）
1.把实际问题归结为数值问题 ⒉制定数值问题的算法 ⒊得不到准确解时，设法得到近似解 ⒋解的特性（近似程度，敛散性） ⒌各种方法的优缺点（速度，存储量） ⒍各种方法的实用范围（收敛范围）
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⒈ 把实际问题归结为数值问题
由于电子数字计算机的广泛使用，使越来越多的实际问 题能归结为数值问题而得到解决（如：曲线拟合，数值逼近 等）。
第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
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例：一个简单的算法问题，设要对给定 的
求多x项式
P(x) an xn an1xn1 a1x a0
(1.1)
的值。
一种计算过程是直接计算 p(的x)每一项后
逐项求和，这样要做 n次(n 乘1) 法和 次加n法。 2
计算方法
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1.1 计算方法研究的对象和特点
计算方法实际上就是计算机上使用的数值计算方法，所 以这门课程又称为数值计算方法或数值分析。它是专门研究 求解各种数学问题的数值计算方法。现在，由于大多数科学 计算都比较复杂，人工计算无法完成；而计算机科学的迅速 发展和广泛应用提供了解决这些复杂问题的新途径。
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3.截断误差
如：对 x > 0，求 e x。利用泰勒公式有
ex 1 x x2 xn xn1 ex , 0 1.
2!
n! (n 1)!
取其部分和作为 ex，就产生了截断误差。
4.舍入误差 由于计算机的字长有限，对超过位
数的数字要进行舍入，通常取与它们接近的数来表 示，由此产生的误差称为舍入误差。例如，我们通
•1. 绝对误差
定义1.1 设某数的精确值为 x，* 其近似值为 ，x那么
与 x之* 差x
E x* x
称为近似值 x的绝对误差，简称误差。
一般地，某数的精确值 是x*不知道的，因而 不E
能求出，但往往可以估计出它的大小范围，亦即可
以确定一个正数 ，使得
E(x) x x* ,
此时，称 为 x的绝对误差限。有时也用
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另一种算法就是先将 p(x变) 形为如下形式：
p(x) (((an x an1)x an2 )x a1)x a0 (1.2)
再由内层向外层计算，如设 ：
u0 an , u1 u0 x an1 , u2 u1x an2 , uk (((an x an1)x an2 )x ank1)x ank