基本概念及一次同余式

若（2）有解，则它的解数为 。以及当同余式（2）有解时，若 是满足（2）的一个整数，则它的 个解是
（4）
证易知同余式（2）有解的充要条件是不定方程
（5）
有解。而不定方程（5）有解的充要条件为
当同余式（2）有解时，若 是满足（2）的一个整数，则
下证 对模 两两部同余。设
则
再证满足（2）的任意一个整数 都会与某一个 对模 同余。由
故
因 故 故该同余式的全部解为
即
2．求联立同余式
的解。
解由同余式 得
代入Leabharlann Baidu余式
得
对 做辗转相除法。
因
故 且
故
故由 可得
由 及 得
于是可得，该联立同余式的解为
3.（ⅰ）设 是正整数， ，证明
是同余式 的解。
（ⅱ）设 是质数， ，证明
是同余式 的解。
证（ⅰ）因 是正整数， 故同余式 有唯一解。由欧拉定理得
1基本概念及一次同余式
定义设 ，其中 是整数，又设 ，则
（1）
叫做模 的同余式。若 ，则 叫做同余式（1）的次数。如果 满足 则 叫做同余式（1）的解。不同余的解指互不同余的解。
当 及 都比较小时，可以用验算法求解同余式。如
例1同余式
仅有解
例2同余式
有 个解
例3同余式
无解。
定理一次同余式
（2）
有解的充要条件是
故 同余式（7）有唯一解。由以上过程还可知
故
故同余式（7）的解为
即
习题
1．求下列同余式的解：
（ⅰ） （ⅱ）
（ⅲ）
解（ⅰ）因
故 ，于是该同余式有解，且对模337有唯一解。并且
但是 故 于是该同余式的唯一解为
（ⅱ）由辗转相除法，可得 故该同余式有解.
由辗转相除法，还可得 在这个等式两边同时乘以112，得
得
故存在整数 使得 由带余除法，存在整数 使得
于是
故（2）有解时，它的解数为 。以及若 是满足（2）的一个整数，则它的 个解是
例1求同余式
（6）
的解。
解对如下的整数矩阵作初等列变换
故 又因 故同余式（6）有解，且由三个解。由以上初等变换还可知
故同余式（6）的三个解为
即
例2求同余式
（7）
的解。
解对 作辗转相除法。
故 是同余式 的解。
（ⅱ）因 是质数， ，故 ，同余式 有惟一解。因
,故
易知
而 ，故
因此
因 ，故 于是
因此， 是同余式 的解。