人教九年级数学实数有关概念、运算及二次根式 讲解与联系

第一部分 数与代数

第一单元 数与式

第1课时 实数有关概念、运算及二次根式

一、实数、二次根式的有关概念

【要点回顾】

1. 为了表示具有 的量我们引进负数。

2. 和分数统称为有理数， 叫无理数，有理数和无理数统称为 。

3. 整数可分为 和负整数。分数可分为 。有理数也可分为：正有

理数、 和 。0既不是 ，也不是 。

4. 规定了 、 和 的直线叫做数轴。

5. 只有 不同的两个数称为相反数。绝对值最小的数是 ，互为相反数的两数的和为 ，在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的 ，且到 的距离 。

6. 在数轴上，表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值。

︱a ︱＝⎪⎩

⎪⎨⎧_____________________________ 7. 等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，记作 ，其中a 是 。正数a 的正的平方根叫做a 的 ；一个正数的平方根有 个，它们是 ，0的平方根和算术平方根都是 ，负数 。求 的运算叫做开平方。

（a>0）。

8. 如果一个数的 等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，求 的运算叫做开立方。

9、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。

10、二次根式的性质：

（1）2)(a = （a 0） （2）2a =a =⎪⎩

⎪⎨⎧_____________________________

（3）ab = ² （a ≥0,b ≥0）; (4)b a = （a ≥0,b ≥0）. 11、最简二次根式要满足以下两个条件：（1）被开方数的因数是 数，因式是 式；（2）被开方数中不含能开得尽方的 数或 式。

【自我提升】

填空题。

1.如果+10﹪表示“增加10﹪”，那么“减少8﹪”可以记作 。

2. －3

1的倒数的相反数是 ，绝对值是6的数是 ，|3-2|= 。 3. 4的平方根是 ，16的算术平方根是 ，-27的立方根是 。

4．在实数3.14， －6，－722，2－1，3

π，9中无理数有 。 5、若2m =7，则m= ；若2)(m =7，则m= 。

6、化简：12= ，323= ，38

1-= 。 二、实数、二次根式的运算

【要点回顾】

1、有理数的加减乘除、乘方、开方的法则分别是什么？

①有理数的加法：同号两数相加，取与 相同的符号，并把 相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值 的加法的符号，并用 的绝对值减去 的绝对值，互为相反数的两个数相加得 ；一个数同0相加，仍得 。

②有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的 。

③有理数的乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘；任何数与0相乘都得 。 ④有理数的除法：除以一个数等于乘以这个数的 ；注意： 不能做除法。

⑤有理数的乘方：求n 个 的因数的积的运算叫做乘方，即 个

n a a a a ⋅⋅⋅=a n

. 其中负数的 次方是负数，负数的 次方是正数；0a = （a ≠0）;n a -= (a ≠0,n 是正整数)。

⑥有理数的开方：如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，这个数叫做a 的 ；即若a x n =，则x 叫做a 的 。求一个数的方根的运算叫做开方。本书主要研究二次、三次方根。 一般地，正数的二次方根有两个，它们互为 ，负数 二次方根，即：正数a 的n 次方根为±a ，其中，a 是正数a 的 ；正数的三次方根是一个 ，负数的三次方根是一个 ，即：a 的三次方根为3a ;0的n 次方根都是 。

2、实数的运算顺序：（1）按照第三级运算（乘方、开方），第二级运算（乘除），第一级运算（加减）的运算顺序进行计算。（2）在同一级运算中应该从左到右依次计算。（3）有括号时，应先算括号里

面的，并按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。（4）如果符合运算定律和性质，可变更运算顺序。

3、近似数。近似数的精确度：①0.1（十分位）、0.01（百分位）0.001（千分位）……

②个位、十位、百位、千位……

4、有效数字：从一个近似数的左边第一个不是 的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。

5、科学记数法：若绝对值大于10的数可以记成a ³10n

的形式，其中a 的范围是 ，n 的取值是 ；绝对值小于1的数也可以记成a ³10n 的形式，其中a 和n 的条件分别是 ， 。

6、实数的大小比较；①在数轴上表示的两个数，_______边的数比_______边的数大;

②______大于0；______小于0；_______大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而______。

7、运算律：（1）加法交换律：a+b=b+a; (2)加法结合律：（a+b ）+c= ;

(3)乘法交换律：a ²b= ; (4)乘法结合律：（a ²b ）²c= ; (5)乘法分配律：（a+b ）²c= .

8、二次根式的加减：把各个二次根式化成 后，再分别合并同类二交根式。

9、二次根式的乘除：把被开方数相 ，根指数 。

【自我提升】

一、填空题。

1. 将0，-4，π-，2，-3.14，1.5，722-

2. 726亿元，用科学计数法表示为

元；4470米，用科学记数法表示

为 米（保留两位有效数字）。

3. 如图3，点A 、B 在数轴上对应的实数为a 、b ，比较大小：a b ，

-a b,|a+b| 0.且A 、B 之间的距离是 （用含a 、b 的式子表示）。

4. ①若a ²b ＞0 ,则a ＞0、b ＞0；② 若a ²b ＜0，则a ＜0、b ＜0；③若a ²b ＝0 ,则a ＝0、b ＝0； ④若a ²b ＝0 , 则a ＝0或b ＝0。上面四个命题中正确的命题有 。

5. 若︱a ＋2︱＋(b －1)2

＝0，则a ＋2b 的值为 。

6、计算：3)(23(+－2）= ；(2010－π)0－1＝ ． B A