数列极限定义的解释
21数列极限的定义
( 1)n 1 0 . n 10
( 1) n 1 要 0 , 只 须 n 1000 . n 1000
1 ( 1) n 1 对 , 要使 . 0 ,只 须 n 1000000 1000000 n 1000000
……
高州师范学院
第二章：极限
2.1数列极限 以上还不能说明 们都还是确定的数。
liman a
n
0, N , 当n N时, 有 an a M .
高州师范学院
第二章：极限
(5) lim a n a与 lim a n a的比较
n n
n
2.1数列极限
lim an a 0, N , 当n N时, 有 an a .
对
( 1)n 1 n
任意小，并保持任意小，毕竟它
( 1)n 0 才 行 . 0, 要 使 n
由不等式有
1 1 ，故只须 n 即可。 n
1 1
即对 0, 自然数 [ ] ，当 n [ ]时，便有
( 1)n 0 . n
高州师范学院
n N
，设
f (n) an
，则
自变量： 1,2, L,2006 L, n, L , 函数值：a1 , a2 ,L, a2006 ,L, an ,L
表示为数列 { a n } ，
高州师范学院
an 为第n项或通项。
第二章：极限
例如：
( 1)n 1 1 1 1 ( 1)n , , , ,L , ,L : 1, 2 3 4 5 n n
ln ln ]. n , 取 N [ ln q ln q
高等数学 第二节 数列的极限
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
极限数列定义
极限数列定义极限数列是数学中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨极限数列的定义、性质和一些常见的应用。
我们来看一下极限数列的定义。
极限数列是指一个数列，当其项数趋于无穷大时，数列的值趋于一个固定的极限。
具体来说，对于一个数列{an}，如果存在一个实数L，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，当n>N时，有|an-L|<ε成立，则称L为数列{an}的极限，记作lim(an)=L。
在研究极限数列的性质时，我们可以利用一些基本的定理和性质来推导。
例如，对于两个数列{an}和{bn}，如果它们的极限存在，那么它们的和、差、积和商的极限也存在，并且有如下性质：1. lim(an ± bn) = lim(an) ± lim(bn)2. lim(an · bn) = lim(an) · lim(bn)3. lim(an / bn) = lim(an) / lim(bn) (其中lim(bn)≠0)极限数列还具有一些重要的性质，如极限的唯一性、保号性和夹逼定理等。
极限的唯一性指的是如果一个数列的极限存在，则它的极限是唯一的。
保号性指的是如果一个数列的极限是正数（或负数），那么该数列从某一项开始一直保持正号（或负号）。
夹逼定理则是指如果一个数列在某一点附近被夹在两个收敛的数列之间，那么该数列也收敛，并且收敛到同一个极限。
极限数列在数学中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在微积分中，极限数列是导数和积分的基础。
通过研究数列的极限，我们可以定义函数的导数和积分，并研究它们的性质和应用。
此外，极限数列还可以用来描述概率和统计中的随机变量的分布以及极限分布。
在实际应用中，极限数列也被广泛应用于工程、物理学和经济学等领域，用于描述和解决各种实际问题。
总结起来，极限数列是数学中一个重要的概念，它的定义、性质和应用都具有重要的意义。
通过研究极限数列，我们可以深入理解数学的基本原理，并将其应用于各个领域中的实际问题。
数列极限定义
数列极限定义
，
数列极限定义是指从一组数的序列出发，当数列中的每一项都趋
向某个特定的数时，这个特定的数就被称为该数列的极限。
例如，设
有一组数据序列 1,2,3...，当我们对其进行求和操作时，求和结果将
不断逼近某个数，这个极限数即定义为该数列的极限。
从几何角度来看，极限有一种共性——它总是出现在两个离散点
连接上边界上，这也是极限的共有定义。
动态地，极限可以被视作一
类特殊函数，可以用来表示不同的数据过程的最终趋势或模式。
有了
极限的定义，我们可以利用它来更好地理解数据的数学规律，有助于
精准地把握数据的变化趋势，从而可以更有效地进行数据分析。
极限也具备一个重要特点—非唯一性，即一个数列可以有多个极限。
I这意味着，当不同的序列求和时，有可能出现完全不同的最终
结果，但它们也可以有相似的极限。
这个特点在一定程度上也决定了
数据分析的具体步骤，同时也提示了我们要注意结果的真实性。
总的来说，极限有很多应用，它的定义不仅有助于理解数据的趋势，而且也提醒我们要时刻关注结果的真实性。
只有精确地分析数据，才可以对数据进行有效的分析。
微积分中的极限方法1-2数列极限的定义
目
CONTENCT
录
• 数列极限的定义 • 极限的运算性质 • 极限存在准则 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义与性质
定义
数列的极限是指当项数趋于无穷时，数列的项趋于某一固定值。即对于任意小 的正数$epsilon$，存在一个正整数$N$，当$n>N$时，数列的项$a_n$与固 定值$lim a_n$的距离小于$epsilon$。
级数与无穷级数
级数
级数是微积分中研究无穷序列的数学工具。 通过数列极限的定义，我们可以更好地理解 级数的收敛性和发散性，从而更好地研究无 穷序列的性质。
无穷级数
无穷级数是包含无穷多个项的级数，它可以 用来研究函数的性质和行为。通过数列极限 的定义，我们可以更好地理解无穷级数的概 念和性质，从而更好地应用无穷级数解决实
$n$和$n+1$，都有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，那么这个数列就是收敛的。
致密性定理
总结词
致密性定理指出，如果一个数列的任意 子序列都收敛于同一个极限，则该数列 本身也收敛于该极限。
VS
详细描述
致密性定理是极限存在的一个重要的准则 。它表明，如果一个数列的任意子序列都 收敛于同一个极限，那么这个数列本身也 必定收敛于这个极限。这个定理在证明极 限定理和解决极限问题时非常有用。
04
数列极限的应用
无穷小量与连续性
无穷小量
在微积分中，无穷小量指的是一个接近于零 但不等于零的量。在数列极限的定义中，无 穷小量用来描述当项数趋于无穷大时，数列 项的变化趋势。
连续性
连续性是微积分中的一个基本概念，它描述 了一个函数在某一点或某一区间内不间断的 特征。通过数列极限的定义，我们可以更好 地理解函数在某一点处的连续性，即当自变 量趋于这一点时，函数值的变化趋势。
高等数学上册 1.2 数列的极限
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
§1.3 数列的极限
例3
证明 lim
n
n→ ∞
a = 1, 其中 a > 0.
n
证 任给 ε > 0, 要使
n
a − 1 < ε,
n
ln a , 若a < 1, 只要 1 − a < ε, a > 1 − ε, 即 : n > ln(1 − ε ) ln a ], 取N 1 = [ ln(1 − ε ) ln a n n , 若a > 1, 只要 a − 1 < ε , a < 1 + ε , 即 : n > ln(1 + ε ) ln a ], N = max{ N 1 , N 2 }, 则当 n > N时, 取N 2 = [ ln(1 + ε )
第三节
数列的极限
1
一、数列的极限的概念
1、数列的定义 、
定义:按 自 数 定义 按 然 1,2,3,L 号 次 列 一 数 编 依 排 的 列
x1 , x2 ,L, xn ,L
(1)
称为无穷数列 简称数列.其中的每个数称为数 称为无穷数列,简称数列 其中的每个数称为数 无穷数列 简称数列 的 , 列(1)记 列 项 xn 称 通 (一 项 数 为 项 一 项).数 般 列 记 { xn }. 为
xk +1 = 6 + xk > 6 + xk +1 = xk + 2
故由归纳法，对一切正整数 ， 故由归纳法，对一切正整数n，都有 x n > x n +1 即 {xn }为单调减少数列，且xn > 0, ( n = 1, 2, L) 为单调减少数列， 所以 lim x n 存在为 ， a = 6 + a a ≥ 0 存在为a 有 解得 lim xn = 3. n→ ∞
数列极限定义
数列极限定义极限是数学中一个重要的概念，在高等数学课程中，我们会经常遇到极限的概念。
大多数时候，极限通常指的是“数列极限”。
它是用来表示一个数列中某个数值的概念，也就是说，它是用来表示某个数列以及其所有元素的极限。
比如，如果一个数列的某个数字是a，那么它的极限就是a。
而它的极限，则是指当n趋近于无穷大的时候，a的趋势仍然是稳定的，也就是说a的值不会有太大的变化。
这样，如果我们对一个数列求极限，就是求这个数列在n趋近于无穷大的时候，a的值最终会稳定在什么地方。
具体来说，数列极限的定义是：如果给定一个数列{a1, a2,a3, ..., an}，那么当n无限大的时候，极限存在，并且有极限 L，当n趋近于无穷大的时候，该数列的所有元素都会趋近于L。
下面是一个关于数列极限的数学证明。
设给定的数列为：a1, a2, a3,, an，那么当n无限大的时候，极限L存在，设L = a1 + (a2 - a1) + (a3 - a2) + + (an - an-1)，则有：L = a1 + [a2 - a1 + (a3 - a2) + + (an-1 - an-2)] + (an - an-1)= a1 + [(a2 - a1) + (a3 - a2) + + (an-1 - an-2)] + (an - an-1)= a1 + [(a2 - a2) + + (an-1 - an-1)] + (an - an-1)= a1 + (an - an-1)= L由上述公式可知，当n无限大的时候，极限L存在，而且有L = a1 + (an - an-1) 。
再考虑极限的定义，极限L应当是数列中所有元素的极限，即当n趋近于无穷大的时候，所有的元素的值都会趋近于L。
由以上证明可知，当n趋近于无穷大的时候，数列的极限L存在，并且有极限L = a1 + (an - an-1) 。
因此，可以得出结论，数列极限的定义是：如果给定一个数列{a1, a2, a3,, an}，那么当n无限大的时候，极限存在，并且有极限 L，当n趋近于无穷大的时候，该数列的所有元素都会趋近于L。
数列与函数的极限公式概念
极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列{x n }，如果当n A ，则称数列{x n }以A 为极限，记作：lim n→∞x n =A 或者x n →A (n →∞)2、当数列{x n }以实数A 为极限时，称数列{x n }收敛于A ，否则称数列{x n }发散。
二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若 lim n→∞x n =a ，则lim n→∞x n+1=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列： ,12,,432,322,212++n n则它的极限为3即：3121lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n nn n n n n三、几个需要记忆的常用数列的极限 01lim =∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(<q )(lim 为常数a a a n =∞→四、运算法则：如果 A a n =∞→lim B b n =∞→lim则： B A b a n ±=±∞→)(lim B A b a n ⋅=⋅∞→)(lim )0(,lim≠=∞→B BA b a n二、函数极限：▪函数极限lim x→∞f(x)=A 的充分必要条件是lim x→−∞f(x)=lim x→+∞f(x)=A▪函数极限lim x→x 0f(x)=A 的充分必要条件是lim x→x 0−f(x)=lim x→x 0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关. 即 lim x→x 0f (x )存在⇌ lim x→x 0−f (x )= lim x→x 0+f (x )▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x →x 0（或x →∞）时有极限，则其极限惟一.▪极限运算法则： 设limf(x)=A,limg(x)=B,则 1)lim[f(x)±g(x)]=A ±B 2)lim[f(x)g(x)]=AB 3)当B ≠0时，lim f(x)g(x) =AB 4)lim[cf(x)]=climf(x) (c 为常数) 5）lim[f(x)]k = [limf(x)]k (k 为常数)▪小结．．：．当a 0≠0, b 0≠0时，有lim x→∞a 0x n +a 1x n−1+⋯+a nb 0x m +b 1x m−1+⋯+b m= {a 0b 0 当n =m 时 0 当 n <m 时 ∞ 当n >m 时▪复合函数运算法则：lim x→x 0f[φ(x )]=lim u→u 0f (u )▪数列的夹逼准则：设有3个数列{x n }{y n }{z n },满足条件： 1）y n ≤x n ≤z n （n=1,2,…）；2）lim n→∞y n =lim n→∞z n =a ，则数列{x n }收敛，且lim n→∞x n =a▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的某去心邻域内有定义，且满足条件： 1）g(x) ≤f(x) ≤h(x);2) lim x→x 0g(x)=A, lim x→x 0h (x )=A . 则极限lim x→x 0f (x )存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪两个重要的极限： ▪重要极限Ⅰ：lim x→0sinx x=1▪重要极限Ⅱ：lim x→∞(1+1x )x=e , lim x→0(1+x )1x=e▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小. 2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小. 3)常量与无穷小的乘积为无穷小. 4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小. 5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+α(x). 其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x) ，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若lim βα=c (c ≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小. 2.若lim βα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α. 3.若lim βα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α) 4.若lim βαk =c(c ≠0,k 是正整数), 则称β与α是k 阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β−α=o (α)或β=α+o(α)6.α,β, α′,β′,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 α~α′,β~β′,lim β′α′存在，则有lim βα= lim β′α′ ▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能] x →0时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e x −1; 1-cosx~x 22；(1+x )a -1~ax(a ≠0) ;a x-1~xlna(a >0,a ≠1);√1+x n- 1~ xn常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-√1+x - 1~ 12x~,(1)1~x x x αα+-．▪无穷大：函数无穷大 ⇀↚无界 x ⟶x 0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x⟶x0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x) ≠0, 则1为无穷大.f(x)[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.f(x)=f(x0).如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limx→x0最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) ≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)= μ.零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)∙f(b)<0)，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=01、0/0型：方法：将分子分母分解因式（消去公因子）或者将分子有理化（有理化），再求极限。
数列极限定义
数列极限定义数列是数学中的一个重要分支，它是由一组有有限项或者无限项的数据构成的有序序列。
数列的极限定义是在数学分析中的一种重要概念，它是指在某一特定点附近，数列的值能够无限接近但永远不会达到某一特定值。
极限定义可以帮助我们在研究特定数列时理解某些不可能到达的数字，例如π的值或者无穷远的数值。
极限定义的基本形式是：给定一个序列$${a_n}$$，当$$n$$取得足够大的时候，$$a_n$$趋近于某一常数$$L$$，或者说：$$lim_{n to infty } a_n=L$$极限定义中，极限字符L代表该数列趋近于某特定值所达到的值，即该数列的极限。
“趋近”一词意味着：当$$n$$取得足够大的时候，$$a_n$$将尽可能接近于极限L，而不是简单地等于它。
在求解数列时，极限定义帮助我们得出数列的极限值，这就是我们研究特定数列的原因，即求得其极限的值，从而了解其表现趋势。
例如，考虑等比数列$${a_n}$$，其公比为$$q=frac{a_{n+1}}{a_n}$$，在极限定义中可以设定：$$lim_{n to infty} a_n = L$$，对任意一个给定的正数$$epsilon$$，当$$n$$取得足够大的时候，有$$|a_n-L| le epsilon$$。
此外，极限定义还可以用来表示一些无穷的数列，例如数列$${a_n}$$，其元素定义为$$a_n=frac{1}{n}$$，其中$$n$$是正整数，那么该数列的极限就是：$$lim_{n to infty}a_n=0$$。
极限的概念在微积分中也有重要的作用。
例如，在求解某函数的非空间函数时，通常需要求解该函数的变化率、斜率等值，而这些值都可以从极限中获得。
总之，极限定义是数学中一个重要的概念，它在求解常见数列和函数时都具有重要的作用。
它可以帮助我们在研究特定数列时理解不可能到达的数值，还可以用于表示某些无穷的数列，从而求得该数列的极限值，从而更好地了解其数学表现趋势。
第一节数列极限
恒有 xn − a < ε .
其中 ∀ : 对任意的 ; 几何解释: 几何解释:
∃ : 至少有一个或存在 .
a−ε
x 2 x1 x N + 1
2ε
a
a+ε
x N + 2 x3
x
当n > N时, 所有的点 x n 都落在 (a − ε , a + ε )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.
注意： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注意： 数列对应着数轴上一个点列 可看作一 1.数列对应着数轴上一个点列 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 ,⋯ , x n ,⋯ .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n = f (n). 数列是整标函数
( −1)n−1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n 问题: 无限增大时, 问题 当 n 无限增大时 x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是 如何确定? 如果是,如何确定 确定的数值 如果是 如何确定 ( −1)n−1 当 n 无限增大时 , xn = 1 + 无限接近于 1. n
lim xn = a, 或 xn → a (n → ∞).
n→∞
如果数列没有极限,就说数列是发散的 如果数列没有极限 就说数列是发散的. 就说数列是发散的 注意： 注意：.不等式 x n − a < ε刻划了 x n与a的无限接近 ; 1
2 . N = N ( ε ).
“ε − N”定义:
lim xn = a ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N > 0, 使当n > N时,
例如
2 , 4 , 8 , ⋯ , 2 n , ⋯;
数列极限的名词解释
数列极限名词解释数列极限是高等数学中的一个重要概念，它描述了一个数列在无穷远处的趋势和特征。
数列极限的定义如下：定义设{x n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N 时，有以下不等式成立：|x n−a|<ε则称数列{x n}收敛于a，常数a称为数列{x n}的极限，并记作limn→∞x n=a如果数列{x n}没有极限，则称{x n}不收敛，或称{x n}发散。
例子下面给出一些数列极限的例子：数列x n=1n的极限为0，即lim n→∞1n=0这是因为对于任意给定的正数ε，只要取N=[1ε]+1（其中[⋅]表示向下取整），则当n>N时，有|1 n −0|=1n<1N<ε数列x n=(−1)n的极限不存在，即limn→∞(−1)n 不存在这是因为对于任意给定的正数ε<2，无论取多大的正整数N，总有n>N时，使得|(−1)n−(−1)n+1|=2>ε这说明数列x n=(−1)n在无穷远处没有固定的趋向值，而是在-1和1之间无限地摆动。
几何意义数列极限的几何意义可以用数轴上的点来表示。
设a=lim n→∞x n，则对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有x n落在以a为中心、以ε为半径的开区间(a−ε,a+ε)内。
也就是说，当n足够大时，x n与a之间的距离可以任意小。
数列极限具有以下一些基本性质：唯一性：如果一个数列收敛，则它的极限是唯一确定的。
也就是说，如果lim n→∞x n=a1且lim n→∞x n=a2，则必有a1=a2。
有界性：如果一个数列收敛，则它是有界的。
也就是说，如果lim n→∞x n=a，则存在正数M>0，使得对于任意n=1,2,…都有|x n|≤M保号性：如果一个数列收敛，则它从某项起保持同号。
也就是说，如果lim n→∞x n=a>0（或a<0），则存在正整数N，使得当n>N时，有x n>0（或x n<0）。
大学数学21_数列极限
lim xn a , 或 xn a ( n )
n
如果数列没有极限,则称数列是发散的. 注： 1. 不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
2. N与任意给定的正数 有关. 一般地， 越小，N越大.
2016/3/2 8
N定义：
lim x n a
第二章
第一节 数列的极限
一 数列极限的定义 二 收敛数列的性质 三 小节
2016/3/2 1
一、数列极限的定义
1.数列 定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的 项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
， 2， 3 如 自然数列 { xn } {n},即 1
而 { xnk } {2k }就是{n}的子数列.
2016/3/2 16
3.收敛数列与其子列的关系
如果数列{xn }收敛于 a, 那么它的任意子列 也收敛于 a.
证 设数列{ x nk }是数列{ x n }的任一子数列.
lim x n a ,由定义， 0, N , 使得
给定 0, 只要 n N ( [ ])时,有 xn 1 成立.
1
2016/3/2
7
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小)总存在正数 N ，使得对于 n N 时的一切 xn 不等式 | xn a | 都成立, 那末就称常数 a 为数列 x n的极限，或者称数列收敛于 a ,记为
而xn无休止地反复取1, 1两个数,
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
数列极限定义
数列极限定义数学中，极限是一种关键的概念，它是理解很多高等数学概念的基础。
极限指的是一个不断增大或者减少的数列，最终因为一定的原因而趋向于一个特定的值或者无穷大。
极限的定义由欧几里得提出的，他是一个古典时期的数学家。
他把极限的定义分为三个部分：实际值、理论值和连续性。
实际值：实际值指的是极限定义中的指标。
它是一个数，表示一个数列中数字的趋势。
实际值是研究一个数列趋势的基础，可以表示出该数列最终会收敛到一个特定的值或无穷大。
理论值：理论值指的是极限定义中的假设。
它是由一个表达式形式描述的，作为定义极限的基础。
这个假设可以帮助我们证明与极限相关的定理。
连续性：连续性是极限定义中的关键部分。
它描述的是一个数列中的数字是具有持续性的，而不是突变的，最终会收敛到一个特定的值或无穷大。
由于极限的定义具有重要的意义，所以它也可以用于解决很多实际问题。
例如，如果我们想研究一个数列在某一点的极限值，那么我们可以借助极限的定义来求出这个极限值。
此外，极限的定义还可以用于计算不确定度、概率、局部极小值、分布等等。
极限定义也可以用于理解数学函数。
比如，函数一般是可以连续求导的，因此，我们可以使用极限来估算函数在某点的切线斜率。
总之，通过极限，我们可以在计算诸如函数极值、极点、极限值等极值问题时得到有效的帮助。
由于极限的定义可以被用于很多数学概念的研究，因此它的学习是非常重要的。
极限的学习首先要掌握数列的概念，包括一般项、收敛项、通项式、等比数列和几何数列等，这些概念可以帮助我们理解极限定义。
此外，学习极限也需要掌握定义中的实际值、理论值和连续性。
总之，数列极限定义是一种关键的数学概念，它的定义由欧几里得提出，它可以用于求解不确定度、概率、局部极小值、分布和函数等诸多问题，掌握它对深入理解很多高等数学概念至关重要，因此研究极限的学习是十分重要的。
数列极限的解释
数列极限的解释
在数学中，数列极限是一种重要的概念，用来描述数列中的值如何无限接近某个特定的值。
数列是由一系列按照特定顺序排列的数所组成的列表。
数列极限的定义是：对于给定的数列，如果随着数列项的无限增多，数列中的值趋近于一个特定的值，我们就说这个特定的值是该数列的极限。
可以将这种趋近视为无限接近特定值的过程。
通常，数列的极限可以通过数学表达式或符号来表示。
当我们说数列{1，1/2，1/3，1/4，...}的极限为0时，可以用数学符号表示为lim(1/n) = 0，其中lim代表极限，n代表数列的索引。
数列极限的概念有助于我们研究数列中的趋势和性质。
在数学和应用领域中，数列极限的研究具有重要的意义。
它可以帮助我们预测数列的未来行为，解决各种实际问题，以及推导出其他数学定理。
数列极限的理解与实际生活中一些有趣的现象相似，当我们不断增加一个球的弹跳次数时，每一次弹跳的高度都会趋近于某个极限值。
这个极限值可以被视为数列的极限。
数列极限定义
数列极限定义数列极限定义是数学中一个基本的概念，它是很多抽象概念的基础，比如有限数列之和、级数之和、不动点定理等等等等。
本文将介绍数列极限定义的概念、性质、求解方法、应用，以及更深入地理解它。
一、数列极限定义数列极限定义是指将数列中的每一项定义为到一个特定的值的近似，例如$ a_{n} = L $其中L是一个常数，表示数列中每一项都接近L。
例如，令$a_{n} = frac{1}{n}$，则当n趋向无穷大的时候，$a_{n}$的极限值是0，即$lim_{n to infty} a_{n} = 0$。
二、性质数列极限定义具有若干特性：1.数列中的每一项都连续变化时，数列的极限值等于数列中最后一项的值。
例如，令$a_{n} = frac{1}{n}$，则当n趋向无穷大的时候，$lim_{n to infty} a_{n} = 0$，也就是说，数列的极限值等于最后一项的值。
2.果数列中的每一项都收敛到一个固定的值，则数列的极限值也是这个固定的值。
例如，令$a_{n} = 5$，即每一项都收敛到值5，则数列的极限值也是5，即$lim_{n to infty} a_{n} = 5$。
三、求解方法要求数列极限定义，可以使用三种方法：1.接法：这种方法比较简单，只要直接判断数列中最后一项的值，就可以确定数列的极限值。
2.推法：这种方法更为精确，即求解数列的每一项的值，然后通过这些值推出数列的极限值。
3.殊数列法：这种方法特别适用于某些特定的数列，比如几何数列、调和数列等，通过将数列中的一些特定项代入求解，可以更加准确地求解极限。
四、应用数列极限定义可以应用于众多领域，例如:1.以用来判断一个数列是否收敛或者是否存在极限值。
2.以用来求解微积分中的不定积分和定积分。
3.以用来求解概率论中的极限定理。
4.以用来判断某一类函数是否连续，以及连续函数的极限值。
五、更深入理解数学家们经常借助数列极限定义来分析函数的性质，这是因为函数的变化可以看作是某一数列的连续变化。
2数列的极限
问 : 数 { xn } {(1)n1 }有 , 它 敛 ? 题 列 界 收 吗
定理3. 收敛数列的保号性.
若 时, 有 且
( 0 ) ,
( 0 ) .
证: 对 a > 0 , 取
推论: 若数列从某项起
( 0 )
( 0 ) . (用反证法证明)
从数列 : x1, x2 , x3 , , xn ,
此时 取 M max x1 , x2 , , x N , 1 a xn xn a a xn a a 1 a .
,
那么 xn M 对一切 xn成立 . x1 , x 2 , , x N , x N 1 , x N 2 ,
例:自 数 { xn } {n} 无 , 所 它 收 然 列 界 以 不 敛 . (由 否 理 ) 逆 定
x n无限接近 a 的数学描述 :
对于任意给定的正数 (不论它多么小), xn a 总能变得比 还小 : xn a .
注意 :
1. 由 的任意性可知, xn a 要多小, 就能变得有多小.
例如, 取 10 4 , 则 xn a 可以变得 10 4 , 再取 10 7 , xn a 也可以变得 10 7 ,
故
n
lim q n 1 0
二、收敛数列的性质
定理1. 数列xn 的极限如果存在, 必唯一. 说明 : 通项 xn 不能同时向两个不同的数无限接近 .
*证明 : 反证法. 设 xn 有两个极限 a 和 b, 且 a b. 取 ba, 2 由于 lim xn a, 必存在 N1, 当 n N1 时, a xn a .
n
n
高等数学-数列的极限
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
π
n
如图所示 , 可知
rR
当 n 无限增大时, 无限逼近 S .
刘徽
1、数列
定义
如果按照某一法则，对每个 n N ，对应着一个
确定的实数 xn，这些实数 xn按照下标n从小到大排列
得到的一个序列
x1, x2 , x3 , , xn ,
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
二、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列{xn},{yn} 及{zn} 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n = 1,2,3 )
(2)
lim
n
yn
=
a,
lim
n
zn
=
a,
那么数列{xn} 的极限存在,
且lim n
xn
= a.
注意: (1)利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
例如,
1 , 2 , 3 , , n ,
234
n 1 xn =
n
n 1
1
(n )
收
敛
xn
=
n
(1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn = 2n (n ) 发
散
xn = (1)n1 趋势不定
● ●
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn
=11
21!(1 1n)
数列的极限
注: 在数列{x 中任意抽取无限多项并保持这些项在原 在数列 n}中任意抽取无限多项并保持这些项在原 数列中的先后次序, 这样得到的一个数列称为原数列{x 数列中的先后次序, 这样得到的一个数列称为原数列 n} 的子数列. 的子数列. 例如, 数列{x : , , , , + 例如, 数列 n}: 1, 1, 1, 1, , (1)n+1 的一个子 + 数列为{x : , , , 数列为 2n}: 1, 1, 1, , (1)2n+1 .
讨论 讨论 1. 如果数列 n}收敛, 那么数列 n}一定有界. 发散 . 如果数列{x 收敛 那么数列{x 一定有界 收敛, 一定有界. 的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛? 的数列是否一定无界 有界的数列是否收敛 2. 数列 , 1, 1, 1, , (1)N+1, 的有界性与收敛 . 数列1, , , , + 如何？ 如何？
讨论 讨论 如果存在正整数N, 使得当n> 时 对于某一正数ε 0, 如果存在正整数 , 使得当 >N时, 是否有x →∞). 有|xna|<ε 0. 是否有 n→a (n→∞ . < →∞
练习2： 练习 ：p 30
2; 3(3).
二、收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性) 定理1(极限的唯一性) 1(极限的唯一性 如果数列{x 收敛 那么它的极限唯一. 收敛, 如果数列 n}收敛, 那么它的极限唯一. 证明 假设同时有 lim xn = a 及 lim xn = b , 且 a<b.
数列极限的精确定义 数列极限的精确定义 为一数列, 设{xn}为一数列, 如果存在常数 , 对于任意给定的正 为一数列 如果存在常数a, 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式 数ε , 总存在正整数 , 使得当 |xna |<ε 都成立, 则称常数a是数列 是数列{x 的极限 或者称数列{x 收 的极限, 都成立, 则称常数 是数列 n}的极限, 或者称数列 n}收 敛于a, 记为 敛于 , lim xn = a 或 xn →a (n→∞).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列极限定义的解释
数列极限是指当数字序列中项的数量不断增加时，序列中各项逐渐趋近于某个值的现象。
更具体地说，设$a_1, a_2, a_3, ldots$是一个数列，$n$表示数列中的项数，当$n$逐渐趋近于无穷大时，如果数列中的每个项$a_n$都趋近于某个数$a$,那么就说数列$a_1, a_2, a_3, ldots$的极限为$a$。
数列极限的定义中涉及到两个关键词:“项数”和“趋近于”。
首先，数列中的每个项都是随着项数的增加而不断增加的，而当项数不断增加时，每个项也逐渐趋近于某个值。
其次，数列极限的定义中强调了“趋近于”,也就是说，数列中的每个项并不是精确地趋近于某个值，而是逐渐靠近某个值，直到到达该值或者稍微超过该值为止。
数列极限的概念在数学中有着广泛的应用，特别是在收敛性、极限论、微积分等领域中。
数列极限的研究也是数学中的一个重要问题。