初一(上)：有理数专题复习

有理数及其运算专题
知识点一：正数与负数
正数：
负数：
一、怎样区分正数和负数？
例1. 读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数：-2，3，0，+3，1.5，-3.14，100，-1.732.
正数有：____ _____________. 负数有：__________ ______.
二、如何用正数和负数表示的量具有相反意义的量？
例2.在下列横线上填上适当的词，使前后构成意义相反的量：
（1）收入3500元，______6500元；（2）_______800米，下降240米；
（3）向北前进200米，_______300米。

练习：如果某球队一个赛季胜12场,记作+12场,那么该队这个赛季负6场,可记作_______。

如果存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作，不存不支应记作，-4万元表示。

三、正数、负数的实际生活中的应用
例3.某种面粉袋上对面粉的重量这样描述：重量（+50±0.2）kg，下面的理解正确的是（） A.一袋面粉的重量是50kg B.一袋面粉的最大重量是50.2kg
C.一袋面粉的最小重量是50.2kg
D. -0.2kg表示的是比最大重量少0.2kg
例 4.小明小学毕业了，他发现自己小学12个学期的数学成绩如下：91,89,88,93,94,90,97,94,87,94,85,86；那么他小学数学的平均成绩是多少？通过我们今天学习了正负数，你觉得有没有更简便的计算方法？
知识点二：有理数的概念及分类
有理数包含五种数：正整数、0、负整数、正分数、负分数，若将这五种数归类，可有两种方法。

（1） 按整数分数分类 （2）按正负分：
那么，你知道有理数是什么了吗？
【注意】分数包括所有有限小数，无限循环小数，假分数、带分数和百分数；正整数、0、负整数、正分数、负分数都是有理数。

1.判断，并说明理由。

（1）分数都是有理数。

（ ） （2）小数都可以写成分数。

（ ） （3）任何有理数不是整数就是分数。

（ ） （4）自然数就是正整数。

（ ） 2.把下列各数填入它所属于的集合的圈内：
15， —
91 ， —5， 152， —8
13
， 0.1， — 5.32， — 80， 123， 2.333。

正整数集合 ｛ …｝ 负整数集合 ｛ …｝ 正分数集合 ｛ …｝ 负分数集合 ｛ …｝
有理数
分数
整数
有理数
负数
正数
课堂练习：
1、在3，0，-5，-4.8,四个数中，是负整数的为（ ）
A. 0
B. 3
C. -5
D.-4.8
2. —100不是（ ） A. 整数 B. 负数 C.负整数 D.负分数
3.在12
、0、1、-2这四个数中，最小的数是（ ）
A. 1
2
B. 0
C. 1
D. -2
4.将下列各数填入属于它的集合内：20，-0.08，-231，4.5，3.14，-1，+3
4
，+5.
正整数集合｛ …｝ 负整数集合｛ …｝ 正分数集合｛ …｝ 负分数集合 ｛ …｝ 5.将下列各数填入相应的集合内：6.7，-3，0，-21
3
，π，26%，-3.17，1.676767…，-43
，2013，
整数集合 ｛ …｝ 正有理数集合 ｛ …｝ 非正有理数集合 ｛ …｝
6. -1与0之间还有负数吗？ 。

-3与-1之间的负整数有 ； -2与2之间的整数有 。

从-1到1有 个整数，它们是： ；
从-2到2有 个整数，它们是： ；从-3到3有 个整数，它们是： ；从-n 到n （n 为正整数），有 个整数。

知识点三：数轴
知识点回顾：
1、数轴的概念：
2、数轴的三要素是 1. 2. 3. 。

3、画数轴，表示数：一般的，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的 边，
与原点的距离是 个单位长度；表示数—a 的点在原点的 边，与原点的距离是 个单位长度。

练习：
1. 如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）
2. 从数轴上观察，与点A对应的数是2，则与点A距离3个单位长度所对应的数是（）
A. —1
B. 5
C.—1 或5
D. 以上答案都不对
3. 点Q从数轴上的原点开始，向右移动2个单位长度后，在向左移动7个单位长度，则此时点Q所表示的数是___ __。

4.在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是。

5.如图，一只蚂蚁从原点O出发，它先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬了3个单位长度到达点B，然后向左爬了9个单位长度到达点C。

（1）写出A，B，C三点表示的数；
（2）根据C点在数轴上的位置回答蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？
知识点四：相反数
1. 思考：什么是相反数？
2. 几何意义：数轴上表示互为相反数的两个数的点，分别位于原点的两旁，且到原点的距离
相等。

3．注意：
（1）一个数a 的相反数是 。

（2）0的相反数是 。

（2） 如果a 与b 互为相反数，则 。

4.求一个数的相反数：在一个数前面添一个“负号”，就得到了这个数的相反数
例题一：
1.下列说法正确的是 （ ）
A.—6是相反数
B.—32与31互为相反数
C. —4是4的相反数
D. —2
1
是2的相反数
2.如果一个数可以表示成a ，那么它的相反数是（ ）
A. a
B. a 1
C. a -
D. —a
1
3.怎样进行符号的化简？
化简： +（—6）=____； —（+3
2
）=____； —（—2015）=____；
—﹝—（—8）﹞=____。

课堂练习：
1. -5的相反数是 ；-（-8）的相反数是 ；- [+（-6）]=
0的相反数是 ；a 的相反数是 ；81
-的相反数的倒数是_ _
2. 若a 和b 是互为相反数，则a b +＝（ ）
A. 2a - B . 2b C. 0 D. 任意有理数
3. 下列说法中正确的是（ ）
A 、正数和负数互为相反数
B 、任何一个数的相反数都与它本身不相同
C 、任何一个数都有它的相反数
D 、数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 4.（ⅰ）如果13a =-，那么a -＝__ ___；（ⅱ）如果 5.4a -=-，那么a ＝___ _； （ⅲ）如果6x -=-，那么x ＝_ _____; （ⅳ）9x -=，那么x ＝_ _____.
5. 2334⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
的相反数为（ ）。

A 、32+ 4
3
B 、4332--
C 、3243-
D 、4332-
6. 已知a 与b 互为相反数，b 与c 互为相反数，且6c =-,则a = 。

7．数轴上A 点表示﹣3，B 、C 两点表示的数互为相反数，且点B 到点A 的距离是2，则点C 表示的数应该是 。

8、指出下列数轴上A 、B 、C 、D 、E 、各点分别表示的是什么数，并指出各数的相反数。

课后小练：
1.下列说法正确的是（ ）
A. 2
5
-的相反数是5
B. 是相反数
C. 14-和1
5
是相反数
D. 2345-
和23
45
是相反数 2.下列所画的数轴中正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3. 若一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ）
A 、负数
B 、正数
C 、非负数
D 、非正数
5-
4. 数轴上与原点距离为3的点表示的是（ ）
A 、3
B 、－3
C 、±3
D 、6
知识点五：绝对值
1. 几何意义：
2. 绝对值的性质：
【注意】由于绝对值是用数轴上的点到原点的距离进行定义，而距离没有负数，所以|a|不可能是负数，即|a|是非负数。

绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；0的绝对值是 。

即：
()()()
000a a a a <⎧⎪==⎨
⎪>⎩
绝对值大小的比较方法：
绝对值性质
类型一、非负性和为0
例1
类型二、双解性（分类讨论）
2
绝对值化简
类型一、给范围化简
变式练习
1
2
3
题型二、给数轴化简
例2、已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|-|a+c|-|1-b|+|-a-b|
变式练习
1、已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简|a|-|a+b|+|c-a|+|b+c|．
2、a，b，c在数轴上的位置如图，化简|a|-|b|+|c|-|b-a-1|+|c-a+2|-|b-c|．
零点分段法
1、目的：无范围无限制的绝对值化简
2、零点：使绝对值为0的未知数的取值即为零点
3、方法：①寻找所有零点，并在数轴上表示
②依据零点将数轴进行分段
③分段去绝对值
变式练习：
1
1
总结①绝对值放在分子上或分母上并不影响最终结果；
②添负号也不影响最终结果，取值仍为1±
2
3
4
总结：①对字母的符号进行分类讨论
②
相互联系型：各项不再独立，相互之间有联系，不能套用第二种的
结论
5 分析：因为0＜abc ，所以只能是三负或一负两正，因为0=++c b a ，所以只能
是一负两正
总结：常见的限制条件①0=++c b a 两正一负；一正两负
②0＞abc 三正；一正两负
③
0))((=+++c a c b b a ）（二正一负；一正两负 三正）（⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=-+=-+000
4a c b b c a c b a
例题：
练习：
知识点六：倒数
含义：。

注意：a的倒数是1
a（a≠0）。

0没有倒数。

例题一：填空。

1.3的倒数是；
2.-（-0.8）的倒数是。

3. -7的相反数的倒数是；
4. 2的倒数的相反数是。

5. 1的倒数是，-1的倒数是。

结论：互为倒数的两个数相乘积等于；±1的倒数就等于它。

练习：已知a、b互为倒数，c与d互为相反数，〡x〡=6，求3ab+（c+d）+x²的值。

知识点七：乘方
1.含义：
（）
）
2注意：
（1）正数的任何次幂都是。

（2）负数的奇次幂是，负数的偶次幂是。

（3）0的任何次幂都是；1的任何次幂都是。

练习：
1．在-9²中，底数是，指数是。

2. （-5）³= ； -（-〡-8〡）²= 。

知识点八：科学计数法
1.含义：把一个绝对值大于10的数表示成a×10n(其中1≤〡x〡≤10，n为正整数)
2.练习：
36000= 56710000=
-810000= -9870000=
3.练习
8.5×106=
9.257×107=
-9.2×103=
有理数的加法
知识点一有理数的加法法则
法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

（3）一个数同0相加，仍得这个数
知识点二有理数的加法步骤
（1）确定和的符号；(2)求加数的绝对值；（3）确定两个数的绝对值的和或差；
知识点三有理数加法的运算律
运算律：(1)加法交换律：a+b=b+a
(2)加法结合律：a+b+c=a+(b+c)=(a+c)+b
解读：灵活运用加法的运算律，可以使运算简便，通常有下列情形：
（1）互为相反数的两个数，可先相加得0 ；
（2）几个数相加得整数时，可先相加0；
（3） 同分母的分数可以先相加； （4） 符号相同的数可以先相加 （5） 若有小数，能凑整的先加；
（6） 两个带分数相加，可以把整数部分与分数部分分别要加。

典例分析 类型一、同号相加 例1、 计算下列各题
① (+20)+(+12) ② ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32211
③(―18) +(―16) ④ (+26)+(+18)+5
类型二、异号相加 计算下列各题
1、(+2)+(―11)
2、(―3.4)+4.3
3、6.18 +(–9.18)
4、12
+(–2
3 )
类型三、加法运算律 例3、 计算下列各题
1、3.75 + 2.5 +(–2.5)
2、 )17
13(134)174()134(-++-+-
3. ）
（）（）（）（）（）（65
-97-3125.6-21416++++++++
4. ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+++⎪⎭⎫ ⎝⎛218-312-417211321-）（
有理数的减法
知识点讲解
1. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
2. 注意“两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数． 典例分析 例1 计算： (1)(-3)-(-5)；
解：=-3+5 =2
变式练习1：(-9)-(-3) 7-（-7）
例2计算：
(1)18-(-3)； (2)(-3)-18；
变式练习2：(1)(-18)-(-3)； (2)(-3)-(-18)．
例3 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约为是8848米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米，两处高度相差多少米？
例4：1、（—36）—（—25）—（+36） 2、)6
5
(313217---
练习2、计算下列各题
1、2132⎛⎫-- ⎪⎝⎭
2、11161054⎛
⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3、30－15－（－15）－（－7） ；
4、85
1)83()81(----；
5、1111263125⎛⎫⎛⎫---+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
6、()2243110.633535⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+-----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
有理数的加减混合运算
知识点讲解
1．有理数的加减法可统一成加法． 2．因有理数混合运算的顺序：
（1） （2） （3）
例1.一架飞机进行特技表演，雷达记录起飞后的高度变化如下表：
此时飞机比起飞点高多少千米？
变式练习：计算5.5+（-3.2）+（-1.9）-2.1
例2 计算：
（1）75+（－71）－（－72） （2）（－53）+51+（－5
4
）
变式练习2：-11.5+4.5 ）（32
-5.1531-++
例3. 计算32－8
1
－（－31）＋（－83）
变式练习2：）（21-4-5.2+ ））
（（）（21
-54--32-21++
课后练习
一、填空
1．某天上午的温度是5℃，中午又上升了3℃，下午由于冷空气南下，到夜间又下降了9℃，则这天夜间的温度是 ℃。

2．直接写出答案（1）（－2.8）＋(＋1.9)＝ ， (2)＝ ，
(3) ， (4)
3. 已知两个数556和2
83
-，这两个数的相反数的和是 。

4. －3
1
的绝对值是________，相反数是________，倒数是_______。

5. 已知m 是6的相反数，n 比m 的相反数小2，则m n -等于 。

6．-6与6的差的相反数是_________。

7．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是 ．
8．若a ＜0，b ＞0，a ＞b 那么a + b_____0。

1
0.75(3)4
--0(12.19)--=3(2)---=
9．绝对值小于3的所有整数的和是________。

10. 两个有理数的和为零，则这两个有理数的关系是_________．
二．选择
1．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
2. 下列计算结果中等于3的是（ ） A. 74-++ B. ()()74-++ C. 74++- D. |(+7)-(-4)|
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个数之差一定小于被减数
B. 减去一个负数，差一定大于被减数
C. 减去一个正数，差一定大于被减数
D. 0减去任何数，差都是负数
4．校、家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家北
边100米，张明同学从家里出发，向北走了50米，接着又向北走了－70米，此时张明的位置在( )
A. 在家
B. 在学校
C. 在书店
D. 不在上述地方
5．火车票上的车次号有两个意义,一是数字越小表示车速越快,1～98次为特快列车,101～
198次为直快列车,301～398次为普快列车,401～498次为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向,其中单数表示从北京开出,双数表示开往北京,根据以上规定,杭州开往北京的某一直快列车的车次号可能是( )
A ． 20
B ． 119
C ． 120
D ．319
6．一个正数的绝对值小于另一个负数的绝对值，则两数的和是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ． 0
D ．不能判断．
7．如果两个数的和是正数，那么（ ）
A ．这两个数均为正数.
B ．两个加数中，一个为正数，一个为负数，并且正数的绝对值大于负数的绝对值.
C ．一个加数为正数，一个加数为零.
D ．以上三种情况必有其一.
8．下列说法正确的是（ ）
A ． 0减去任何数差都是负数.
B ．两个数的差一定小于被减数.
C ．减去一个数，差一定大于被减数.
D ．减去一个正数，差不一定大于被减数.
14541445-+-=-+-1311131134644436
-+--=+--12342143-+-=-+- 4.5 1.7 2.5 1.8 4.5 2.5 1.8 1.7--+=-+-
9．计算（－9）－（+3）+（－5）－（－7）－3
1的值是（ ） A ． 831． B ． －932． C ． －233
2． D ．－1031． 10．下列说法正确的是（ ）
(1)正数与负数的差不一定是正数. (2) 负数与负数的差是负数.
(3)负数减去正数差为负数. (4) 正数减去负数差为正数.
A ． 1个
B ．2个
C ． 3个
D ． 4个
11．如果a+b<0，－(－a)>0那么（ ）
A ．a>0,b<0
B ．a>0,b>０
C ． a<0,b>０
D ． a<0,b<0
13．小于2005且大于－2004的所有整数的和是（ ）
A ．2004
B ．1
C ． 0
D ．－2004
14．若m 、n 是两个有理数，那么m －n 与m 比较，说法正确的是( ）
A ．m －n>m ．
B ． m －n<m ．
C ．m －n>－m ．
D ．大小关系与n 有关．
15．下列说法中下正确的是（ ）
A ．两个数的差一定小于被减数
B ．若两个数的差为0，则这两数必相等
C ．零减去一个数一定得负数
D ．一个负数减去一个负数结果仍是负数
三、 计算：
1、⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1211413 2、（－3.8）－7 3、（－3.71）－ (1.45)
4、211113423⎛⎫----- ⎪⎝⎭
5、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223143220
6、)2.2()3
2()05.1()54()31()75.1(++-+++++-++
四、解答题
1．妈妈在公元的一条东西走向的小道上训练小宝宝走路，下面数据是小宝宝走的各段路程（向东为正，向西为负，单位：米）：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.
（1）小宝宝最后是否回到了出发的位置？
（2）小宝宝离开出发点最远是多少米？
（3）如果小宝宝每走1米得一块糖，那么小宝宝一共得到多少块糖？
五、提高题：
1、计算，若|m|=8,|n|=5,求m+n 的值。

2、如果|a|=2，b= -1，那么|a ＋b|的值为。

3、已知420x y -++=，求x ，y 的值
4、有理数a b c 、、在数轴上的位置如图所示，化简0a b c -+--
0b a c。