对数平均数的不等式链的几何解释及应用

对数平均数的不等式链的几何解释及应用

中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：

设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b

a b

+->>-ln ln a b a b --被称之为对数平均数.

童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地

探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.

1 对数平均数的不等关系的几何解释

反比例函数()()1

0f x x x

=

>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴， ()

,0,A a 1,,P a

a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B

b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ,T 作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫

⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，

因为ABNM ABQP

ABFE

S S S 矩形曲边梯形梯形，

所以

1

2ln ln ,b

a

dx b a

b a x

a

b

①

又1ln ln ab AUTP

a

S dx ab

a x

曲边梯形，

1

1

ln ln 2

2

ABQP b a S 曲边梯形， 11111

222

AUTP

ABCD b a S ab

a

S a

ab

ab

梯形梯形，

根据右图可知， AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形 ，所以ln ln b

a

b a ab

， ② 另外，ABQX

ABYP ABQP

ABQP

S S S S 矩形矩形曲边梯形梯形，可得：

11111ln ln ,2b a b a

b a

b a b

a

b

a

③

综上，结合重要不等式可知：

211111ln ln 2b a b

a b a

b a

b a

b a b

a b

a b

a

ab ，

即20112

ln ln a b

b a b

ab

a b a b a

a

b

. ④

2 不等式链的应用

对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．

2.1

0ln ln b a b

a a

b a

的应用

例1,,（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．

（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n ++

+与()n f n -的大小，并加以证明．

解析,,（3）因为()1x

g x x

=+， 所以()()()121111223

123

1n g g g n n n n ⎛⎫

++

+=

+++

=-+++

⎪++⎝⎭

， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g

g g n +++与()n f n -的大小，即只需比较

1

13121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b

a

时，

ln ln b a

b

b a ，即1ln ln ,

b a

b a b

令,1,a n b

n 则

1

ln 1

ln ,1

n n n

所以

1ln 2ln1ln 22<-=，1

ln 3ln 23

<-，1

,

ln(1)ln 1

n n n <+-+，

将以上各不等式左右两边相加得：()111

ln 123

1

n n +++

<++， 故()()()()12g

g g n n f n +++>-.

评注 ,本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．

当0b

a 时，

ln ln b a a b a

，即1ln ln ,b a

b a a

令,1,a

n b

n

则1

ln 1

ln ,n n

n

可得：111ln 11

23n n

. 例2 （2012年天津）已知函数

()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．

（1）（2）（略）（3）证明：()()12

ln 212*.21

n

i n n N i =-+<∈-∑ 解析 （3）易求1a =，待证不等式等价于()222

2

ln 21357

21

n n +++

+

<+-．

根据0b

a 时，

ln ln b a

b

b a

，即1ln ln ,

b a

b a b

令21,21,a n b

n 则

2

2ln 21ln 21,21

1

21

n n n n

2ln 3ln1,

3

2ln 5ln 3,

5

2ln 7ln 5,,7

2ln 21ln 21,21

1

n n n

将以上各不等式左右两边分别相加得：

()22222

ln 21357

2121

n n n ++++

+<+-+，

()122ln 212221

21n

i n i n =-+<-<-+∑.得证. 2.2

2

2

02

ln ln b b a

b

a b a

的应用