第六章 光路计算和像差理论
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第六章 光线的光路计算及像差理论
6.1 概 述 6.2 光路计算 6.3 轴上点的球差 6.4 彗差及正弦差 6.5 像散及场曲 6.6 畸 变 6.7 色 差 6.8 波像差
6.1
概
述
实际光学系统都有一定大小的相对孔径和视 场，远远超出近轴区所限定的范围。 与近轴区成像相比必然在成像位置和像的 大小方面存在一定的差异，被称为像差。 指在光学系统中由透镜材料的特性或折射 （或反射）表面的几何形状引起实际像与理想 像的偏差。
6.2 光路计算
轴上点近轴光路计算（物在有限远，无限远）: (物体发出，经过入瞳边缘的光线） 可以求得高斯像点、基点位置、焦距等。 近轴光路计算 轴外点近轴光路计算 （物体边缘发出，经过入瞳中心的光线）： 1、子午面内光路计算 可以求得出瞳位置、理想像高等。 轴上点，一般取5个孔径： 求得实际像点的位置，对应像差； 实际光路（远轴）计算 轴外点，一般取5个视场,每个视场11个孔径： 求得实际像高，对应像差。 2、沿主光线的细光束光路计算：子午/弧矢场曲、像散 3、子午面外空间光线的光路计算：全面分析系统质量，软件设计
光学系统中对某一给定孔径的光线达到δ L’ =0的系 统称为消球差系统。
单透镜的球差与焦距、相对孔 径、透镜的形状及折射率有关。
对于给定孔径焦距和折射率的 透镜，通过改变其形状可使球 差达到最小（透镜弯曲）。
h/hmax
0.85 0.7 0.5 0.3 0.2
δL’
13
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0
球差
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性和色彩逼真度等，降低了成像质量。
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3
6.1
概
述
3、 像差产生的原因 在第一章我们曾讲过近轴光／实际光的光路计算公式。
lr i r u n i ' i n' u ' u i i ' l ' r (1 i ' ) u'
这些圆斑相互叠加的结果就形成了带 有彗星形状的光斑。
光斑的头部（尖端）较亮，至尾部亮度 逐渐减弱，称为彗星像差，简称彗差。
C E A B
2016/7/19
By’ Ay’ F
O
D
27
说 明
1）彗差是一有符号数，当交点Bபைடு நூலகம்’位于主光线之下
为“－”，当交点BT’位于主光线之上为“＋”；
彗星像斑的尖端指向视场中心的称为正彗差； 彗星像斑的尖端指向视场边缘的称为负彗差。
4
A2 yhm K 'S 0.707 4
为全孔径二级彗差的（－1／4）
3、 彗差的分布式
3 K 'T 2 n 'k u ' k 1 K 'S 2n 'k u 'k iz 其中 S II i
S
1
k
II
初级子午彗差 初级弧矢彗差 初级彗差分布系数， 也叫第二塞德和数。
6.1
概
述
二、像差谱线的选择――主要取决于接收器的光谱特性 进行像差校正时，只能校正某一波长的单色像差， 对于不同的接收器件像差谱线的选择有很大的区别。
1、目视光学系统：一般选择D光或e光校正单色像差， 对F , C光校正色差。 2、普通照相系统(胶片）：一般对F光校正单色像差， 对D, G '校正色差。 3、近红外光学系统：一般对C光校正单色像差，对d, A '校正色差。 4、对特殊光学系统（激光）：只对使用波长校正单色 像差。
h r n SinI' SinI n' U ' U I I' SinI' L' r (1 ) SinU' SinI
并且说明这二组公式最大 的区别是对于近轴光：是 用弧度值取代正弦值而得 到的。即 sin I≈ i。
但实际上这一取代并不是完全精确的，它存在着一定的误差量 值，因为它们仅仅是近似相等，从而导致实际与理想之间存在 差异。这就是像差产生的原因。
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彗差
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6
2.5
1
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2、 彗差的级数展开（以弧矢为例）
由于彗差既与孔径相关又与视场相关，所以其展开式中明 显的含有相关的量：
2 4 3 2 KS ' A yh A yh A y h ...... 1 2 3
四、 球差分布公式
由于光学系统是由多个光组构成，而每一个折射面都将对 整个系统的球差有所贡献，而整个系统的球差值就是各个 折射面产生的球差传递到系统像空间后相加而成的，故称 每个折射面对系统总球差的贡献量值叫球差分布。 所谓的球差分布式是指构成系统的每个面对球差的贡献。 其形式为： k 1 L' S一 其中S－为每个面上的球差分布系数 2n'k U 'k sin U 'k 1
-Umax
A -U
△y’
h hmax
A’
L’
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δL’ l’
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对于单透镜来说，U越大则球差值越大。 单透镜自身不能校正球差。
入瞳 像面
a
Yb’ Ya’ YZ’
Z b
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11
单正透镜会产生负值球差；单负透镜会产生正值球差。
如果将正负透镜组合起来，能否使球差得到校正？ 这种组合光组被称为消球差光组。
2）彗差是轴外像差之一，其危害是使物面上的轴外
点成像为彗星状的弥散斑，破坏了轴外视场的成像清 晰度，且随孔径及视场的变化而变化，所以彗差属于 轴外像差。
3）由于彗差没有对称轴只能垂直度量，所以它是 垂轴像差的一种。
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入 瞳
像 面
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1、定义：表示的是轴外物点宽光束经系统成像后失对称的情况。
分类：彗差通常用子午面上和弧矢面上对称于主光线的各对 光线，经系统后的交点相对于主光线的偏离来度量，分别称为 子午彗差KT'和弧矢彗差Ks'
思考： 为什么会出现失对称的情况呢？
失对称的根源：球差
子午光线对交点离开主光线的垂直距离KT’用来表示 此光线对交点偏离主光线的程度。
K S ' YS 'YZ ' K t ' 3K S '
折射后的成像光束与主光束OBY’失去了对称性。 在折射前主光线是光束的轴线，折射后主光线 就不再是光束轴线。 不同孔径的光线在像平面上形成半径不同的相 互错开的圆斑。
C
E A B 2016/7/19
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O
D
距离主光线向点越远，形成的圆斑直 径越大。
若在近轴区内， k 1 l ' S 2 I 2n ' k U ' k 1
其中
S I luni (i i ')(i ' u ) lu h
其中SI称为初级球差分布系数，也叫第一塞德尔（Seidel）和数。
五、 单个折射面的三对无球差点（如何消球差？）
1、三对齐明点（不晕点）： 1）当L=0时，即物位于顶点处，此时 L'= 0 ，即物、像位于 顶点处； 2）当sinI −sinI’＝0时，此时有：I=I’=0，即相当于入射光线 与球面法线相重合，此时物点与像点均位于曲率中心（折射 面球心）处； 3）当sinI’－sinU＝0，或I’=U。此时：
式中第一项为初级彗差；后二项为二级彗差（孔径项，视场项），对于不同 光学系统:
小孔径小视场，彗差主要由第一项表示；（望远镜）
大孔径小视场，彗差主要由第一、二项表示；（显微镜） 小孔径大视场，彗差主要由第一、三项表示；（照相物镜）
大孔径大视场，彗差主要由第一、二、三项表示。（特殊照相物镜）
同样当边缘彗差校正为零时，在0.707处有最大的剩余彗差：
n sin I n' n' sin I sin I ' n sin I '
n Lr n n' sin U L r n' r n n ' L ' r n n' sin U ' L ' r n r n'
物点位置
像点位置
这对共轭点都在球心的同一侧，所以实物成虚像，或者是虚物成实像。 二者的简单关系： n ' L ' nL
初级球差的大小与结构参数r、d、n密切相关，而高级球差的 数值则相对固定不变，所以校正球差的过程实际就是改变初级 球差，让它和后面的高级球差等大反号，“平衡”掉后面的高 级球差！ 像差校正的 基本思想！
三、球差的级数展开
在绘制球差曲线的时候，我们通常把纵坐标取为（h/hm),所 以初级球差可以表示为：
L ' A1
h h A 2 h h m m
2 4
例题1
所以刚才求最大剩余球差的过程可以描述如下： 2 h 只考虑二级的高级球差，所以有： L '初 A hm
对边缘光校正球差，即h hm， Lm ' 0时, 上式应有A1 A2。 h 2 h 4 这时候有 L ' A2 h h m m 为求极大值，将上式对h求导，并令导数为0，即 代回到 Lm ' 0时的级数展开式，有 L0.707 ' A2 4 h d L ' 0, 求得h m 0.707hm dh 2
光路计算分类：
6.3
轴上点的球差
一、分类：可在沿轴方向和垂轴方向来度量分别称为轴 向球差和垂轴球差。 （1）轴向球差又称为纵向球差，它是沿光轴方向度量 的球差，用符号δ L’ 表示。 （2）垂轴球差是过近轴光线像点A’的垂轴平面内度 量的球差。用符号δT’ 表示。 它表示由轴向球差引起的弥散圆的半径。
14
球差影响图像清晰度
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15
注意：所谓的消球差一般只是能使某一孔径带的球差为 0，而不能使各个孔径带全部为0，一般对边缘光孔径 校正球差，而此时一般在0.707口径有最大的剩余球差， 大小约为边缘光高级球差的-1/4。 当边缘口径的球差不为0时，如果存在负球差称为“校 正不足”，如果存在正球差，称为“校正过度”。
δT’= δL’ tanU’
球差是轴上点唯一的单色像差。
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8
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二、球差与孔径之间的关系 对应孔径角Umax入射光线的高度hmax被称为全孔径（边 光球差）；对应孔径角U入射光线的高度h 若h/hmax=0.7，则称为0.7孔径或0.7带光（带光球差）
2、 齐明点处的放大率
在顶点处
1)
=1
nL ' n = n'L n' n ' n 2 n r nL ' n n ' = n ' n n'L n ' n' r n
2）在球心处
3）在不晕点处
例题2
6.3
彗差及正弦差
一、 彗差（KT’、KS’）
（1）子午平面：由轴外物点和光轴所确定的平面，子午平面 内的光束称子午光束。 （2）弧矢平面：过主光线且与子午平面垂直的平面，弧矢平 面内的光束称弧矢光束。
6.1 概 述 像差的大小反映了光学系统质量的优劣。 几何像差主要有七种： 单色光像差有五种：复色光像差有两种： 球差 轴向像差(位置色差) 彗差(正弦差) 垂轴像差(倍率色差) 像散 在实际光学系统中，各种像差是同时存在的。 场曲 畸变 这些像差影响光学系统成像的清晰度、相似
三、球差的级数展开
球差是半孔径角U或光线入射高度h的函数。将其按级数展 开，并且考虑到它的轴对称性，有：
L ' A1h2 A2 h4 A3h6 ...... L ' a1U 2 a2U 4 a3U 6 ......
其中的第一项称为初级球差，第二项为二级球差，第三项三级 球差，以此类推......注意，除了第一项初级球差，后面的球差 统称“高级球差”！
像面 入瞳
-KT’
1 K T ' (Ya 'Yb ' ) YZ ' 2
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弧矢彗差（Ks’） ：
Bs’是弧矢光线c’和d’ 的交点，该交点垂直 方向到主光线z’的距 离为Ks’，称为弧矢 彗差； Bs’沿光轴到 高斯像面的距离为 Xs’，称为弧矢场曲； 光线c’和d’在高斯像 面上的交点的高度相 同，为Ys’。所以， 弧矢彗差的大小为：
6.1 概 述 6.2 光路计算 6.3 轴上点的球差 6.4 彗差及正弦差 6.5 像散及场曲 6.6 畸 变 6.7 色 差 6.8 波像差
6.1
概
述
实际光学系统都有一定大小的相对孔径和视 场，远远超出近轴区所限定的范围。 与近轴区成像相比必然在成像位置和像的 大小方面存在一定的差异，被称为像差。 指在光学系统中由透镜材料的特性或折射 （或反射）表面的几何形状引起实际像与理想 像的偏差。
6.2 光路计算
轴上点近轴光路计算（物在有限远，无限远）: (物体发出，经过入瞳边缘的光线） 可以求得高斯像点、基点位置、焦距等。 近轴光路计算 轴外点近轴光路计算 （物体边缘发出，经过入瞳中心的光线）： 1、子午面内光路计算 可以求得出瞳位置、理想像高等。 轴上点，一般取5个孔径： 求得实际像点的位置，对应像差； 实际光路（远轴）计算 轴外点，一般取5个视场,每个视场11个孔径： 求得实际像高，对应像差。 2、沿主光线的细光束光路计算：子午/弧矢场曲、像散 3、子午面外空间光线的光路计算：全面分析系统质量，软件设计
光学系统中对某一给定孔径的光线达到δ L’ =0的系 统称为消球差系统。
单透镜的球差与焦距、相对孔 径、透镜的形状及折射率有关。
对于给定孔径焦距和折射率的 透镜，通过改变其形状可使球 差达到最小（透镜弯曲）。
h/hmax
0.85 0.7 0.5 0.3 0.2
δL’
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球差
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性和色彩逼真度等，降低了成像质量。
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6.1
概
述
3、 像差产生的原因 在第一章我们曾讲过近轴光／实际光的光路计算公式。
lr i r u n i ' i n' u ' u i i ' l ' r (1 i ' ) u'
这些圆斑相互叠加的结果就形成了带 有彗星形状的光斑。
光斑的头部（尖端）较亮，至尾部亮度 逐渐减弱，称为彗星像差，简称彗差。
C E A B
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说 明
1）彗差是一有符号数，当交点Bபைடு நூலகம்’位于主光线之下
为“－”，当交点BT’位于主光线之上为“＋”；
彗星像斑的尖端指向视场中心的称为正彗差； 彗星像斑的尖端指向视场边缘的称为负彗差。
4
A2 yhm K 'S 0.707 4
为全孔径二级彗差的（－1／4）
3、 彗差的分布式
3 K 'T 2 n 'k u ' k 1 K 'S 2n 'k u 'k iz 其中 S II i
S
1
k
II
初级子午彗差 初级弧矢彗差 初级彗差分布系数， 也叫第二塞德和数。
6.1
概
述
二、像差谱线的选择――主要取决于接收器的光谱特性 进行像差校正时，只能校正某一波长的单色像差， 对于不同的接收器件像差谱线的选择有很大的区别。
1、目视光学系统：一般选择D光或e光校正单色像差， 对F , C光校正色差。 2、普通照相系统(胶片）：一般对F光校正单色像差， 对D, G '校正色差。 3、近红外光学系统：一般对C光校正单色像差，对d, A '校正色差。 4、对特殊光学系统（激光）：只对使用波长校正单色 像差。
h r n SinI' SinI n' U ' U I I' SinI' L' r (1 ) SinU' SinI
并且说明这二组公式最大 的区别是对于近轴光：是 用弧度值取代正弦值而得 到的。即 sin I≈ i。
但实际上这一取代并不是完全精确的，它存在着一定的误差量 值，因为它们仅仅是近似相等，从而导致实际与理想之间存在 差异。这就是像差产生的原因。
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彗差
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2.5
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2、 彗差的级数展开（以弧矢为例）
由于彗差既与孔径相关又与视场相关，所以其展开式中明 显的含有相关的量：
2 4 3 2 KS ' A yh A yh A y h ...... 1 2 3
四、 球差分布公式
由于光学系统是由多个光组构成，而每一个折射面都将对 整个系统的球差有所贡献，而整个系统的球差值就是各个 折射面产生的球差传递到系统像空间后相加而成的，故称 每个折射面对系统总球差的贡献量值叫球差分布。 所谓的球差分布式是指构成系统的每个面对球差的贡献。 其形式为： k 1 L' S一 其中S－为每个面上的球差分布系数 2n'k U 'k sin U 'k 1
-Umax
A -U
△y’
h hmax
A’
L’
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δL’ l’
10
对于单透镜来说，U越大则球差值越大。 单透镜自身不能校正球差。
入瞳 像面
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Yb’ Ya’ YZ’
Z b
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11
单正透镜会产生负值球差；单负透镜会产生正值球差。
如果将正负透镜组合起来，能否使球差得到校正？ 这种组合光组被称为消球差光组。
2）彗差是轴外像差之一，其危害是使物面上的轴外
点成像为彗星状的弥散斑，破坏了轴外视场的成像清 晰度，且随孔径及视场的变化而变化，所以彗差属于 轴外像差。
3）由于彗差没有对称轴只能垂直度量，所以它是 垂轴像差的一种。
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入 瞳
像 面
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30
1、定义：表示的是轴外物点宽光束经系统成像后失对称的情况。
分类：彗差通常用子午面上和弧矢面上对称于主光线的各对 光线，经系统后的交点相对于主光线的偏离来度量，分别称为 子午彗差KT'和弧矢彗差Ks'
思考： 为什么会出现失对称的情况呢？
失对称的根源：球差
子午光线对交点离开主光线的垂直距离KT’用来表示 此光线对交点偏离主光线的程度。
K S ' YS 'YZ ' K t ' 3K S '
折射后的成像光束与主光束OBY’失去了对称性。 在折射前主光线是光束的轴线，折射后主光线 就不再是光束轴线。 不同孔径的光线在像平面上形成半径不同的相 互错开的圆斑。
C
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By’ Ay’ F 26
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距离主光线向点越远，形成的圆斑直 径越大。
若在近轴区内， k 1 l ' S 2 I 2n ' k U ' k 1
其中
S I luni (i i ')(i ' u ) lu h
其中SI称为初级球差分布系数，也叫第一塞德尔（Seidel）和数。
五、 单个折射面的三对无球差点（如何消球差？）
1、三对齐明点（不晕点）： 1）当L=0时，即物位于顶点处，此时 L'= 0 ，即物、像位于 顶点处； 2）当sinI −sinI’＝0时，此时有：I=I’=0，即相当于入射光线 与球面法线相重合，此时物点与像点均位于曲率中心（折射 面球心）处； 3）当sinI’－sinU＝0，或I’=U。此时：
式中第一项为初级彗差；后二项为二级彗差（孔径项，视场项），对于不同 光学系统:
小孔径小视场，彗差主要由第一项表示；（望远镜）
大孔径小视场，彗差主要由第一、二项表示；（显微镜） 小孔径大视场，彗差主要由第一、三项表示；（照相物镜）
大孔径大视场，彗差主要由第一、二、三项表示。（特殊照相物镜）
同样当边缘彗差校正为零时，在0.707处有最大的剩余彗差：
n sin I n' n' sin I sin I ' n sin I '
n Lr n n' sin U L r n' r n n ' L ' r n n' sin U ' L ' r n r n'
物点位置
像点位置
这对共轭点都在球心的同一侧，所以实物成虚像，或者是虚物成实像。 二者的简单关系： n ' L ' nL
初级球差的大小与结构参数r、d、n密切相关，而高级球差的 数值则相对固定不变，所以校正球差的过程实际就是改变初级 球差，让它和后面的高级球差等大反号，“平衡”掉后面的高 级球差！ 像差校正的 基本思想！
三、球差的级数展开
在绘制球差曲线的时候，我们通常把纵坐标取为（h/hm),所 以初级球差可以表示为：
L ' A1
h h A 2 h h m m
2 4
例题1
所以刚才求最大剩余球差的过程可以描述如下： 2 h 只考虑二级的高级球差，所以有： L '初 A hm
对边缘光校正球差，即h hm， Lm ' 0时, 上式应有A1 A2。 h 2 h 4 这时候有 L ' A2 h h m m 为求极大值，将上式对h求导，并令导数为0，即 代回到 Lm ' 0时的级数展开式，有 L0.707 ' A2 4 h d L ' 0, 求得h m 0.707hm dh 2
光路计算分类：
6.3
轴上点的球差
一、分类：可在沿轴方向和垂轴方向来度量分别称为轴 向球差和垂轴球差。 （1）轴向球差又称为纵向球差，它是沿光轴方向度量 的球差，用符号δ L’ 表示。 （2）垂轴球差是过近轴光线像点A’的垂轴平面内度 量的球差。用符号δT’ 表示。 它表示由轴向球差引起的弥散圆的半径。
14
球差影响图像清晰度
2016/7/19
15
注意：所谓的消球差一般只是能使某一孔径带的球差为 0，而不能使各个孔径带全部为0，一般对边缘光孔径 校正球差，而此时一般在0.707口径有最大的剩余球差， 大小约为边缘光高级球差的-1/4。 当边缘口径的球差不为0时，如果存在负球差称为“校 正不足”，如果存在正球差，称为“校正过度”。
δT’= δL’ tanU’
球差是轴上点唯一的单色像差。
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二、球差与孔径之间的关系 对应孔径角Umax入射光线的高度hmax被称为全孔径（边 光球差）；对应孔径角U入射光线的高度h 若h/hmax=0.7，则称为0.7孔径或0.7带光（带光球差）
2、 齐明点处的放大率
在顶点处
1)
=1
nL ' n = n'L n' n ' n 2 n r nL ' n n ' = n ' n n'L n ' n' r n
2）在球心处
3）在不晕点处
例题2
6.3
彗差及正弦差
一、 彗差（KT’、KS’）
（1）子午平面：由轴外物点和光轴所确定的平面，子午平面 内的光束称子午光束。 （2）弧矢平面：过主光线且与子午平面垂直的平面，弧矢平 面内的光束称弧矢光束。
6.1 概 述 像差的大小反映了光学系统质量的优劣。 几何像差主要有七种： 单色光像差有五种：复色光像差有两种： 球差 轴向像差(位置色差) 彗差(正弦差) 垂轴像差(倍率色差) 像散 在实际光学系统中，各种像差是同时存在的。 场曲 畸变 这些像差影响光学系统成像的清晰度、相似
三、球差的级数展开
球差是半孔径角U或光线入射高度h的函数。将其按级数展 开，并且考虑到它的轴对称性，有：
L ' A1h2 A2 h4 A3h6 ...... L ' a1U 2 a2U 4 a3U 6 ......
其中的第一项称为初级球差，第二项为二级球差，第三项三级 球差，以此类推......注意，除了第一项初级球差，后面的球差 统称“高级球差”！
像面 入瞳
-KT’
1 K T ' (Ya 'Yb ' ) YZ ' 2
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弧矢彗差（Ks’） ：
Bs’是弧矢光线c’和d’ 的交点，该交点垂直 方向到主光线z’的距 离为Ks’，称为弧矢 彗差； Bs’沿光轴到 高斯像面的距离为 Xs’，称为弧矢场曲； 光线c’和d’在高斯像 面上的交点的高度相 同，为Ys’。所以， 弧矢彗差的大小为：