1.2.1充分条件与必要条件课件
合集下载
1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件课件人教新课标
1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
课标要求:1.理解充分、必要、充要条件的意义.2.会判断条件与结论之间 的充分(必要、充要)性.
自主学习
知识探究
1.充分条件与必要条件 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由 p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
即时训练1-1:(1)(202X·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β
内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:(1)若a,b相交,则α,β一定相交;若α,β相交,则不能得出a,b相交.故选 A.
方法技能一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为 “已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是 以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q.
即时训练 2-1:(1)已知 x,y 都是非零实数,且 x>y,求证: 1 < 1 的充要条件是 xy>0; xy
1b
所以“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件,③正确.
④中,y=x2+mx+m+3有两个不同零点⇔Δ=m2-4(m+3)>0⇔m<-2或 m>6. 所以是充要条件,④正确. 答案:(3)①③④
方法技能 充分、必要、充要条件的判断方法 若 p⇒ q,q p,则 p 是 q 的充分不必要条件; 若 p q,q⇒ p,则 p 是 q 的必要不充分条件; 若 p⇒ q,q⇒ p,则 p 是 q 的充要条件; 若 p q,q p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
1.2.2 充要条件
课标要求:1.理解充分、必要、充要条件的意义.2.会判断条件与结论之间 的充分(必要、充要)性.
自主学习
知识探究
1.充分条件与必要条件 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由 p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
即时训练1-1:(1)(202X·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β
内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:(1)若a,b相交,则α,β一定相交;若α,β相交,则不能得出a,b相交.故选 A.
方法技能一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为 “已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是 以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q.
即时训练 2-1:(1)已知 x,y 都是非零实数,且 x>y,求证: 1 < 1 的充要条件是 xy>0; xy
1b
所以“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件,③正确.
④中,y=x2+mx+m+3有两个不同零点⇔Δ=m2-4(m+3)>0⇔m<-2或 m>6. 所以是充要条件,④正确. 答案:(3)①③④
方法技能 充分、必要、充要条件的判断方法 若 p⇒ q,q p,则 p 是 q 的充分不必要条件; 若 p q,q⇒ p,则 p 是 q 的必要不充分条件; 若 p⇒ q,q⇒ p,则 p 是 q 的充要条件; 若 p q,q p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
高中数学1.2.充分条件与必要条件(第一课时)优秀课件
∴p是q的既不充分也不必要条件. (2)∵x=3⇒(x+2)(x-3)=0, 而(x+2)(x-3)=0⇒x=-2或x=3. ∴p⇒q,但qp. ∴p是q的充分不必要条件.
3 a b 0 a 1,而 a 1 a b 0.
b
b
p q,但q p,p是q的充分不必要条件.
4 p : 1 x 5, q : 0 x 5,p q, 但q p.
4
3若a是有理数,则 a是无理数.
解:∵命题(1)与(2)为真命题,而(3)为假命题, ∴命题(1)与(2)中的p是q的充分条件.
能力提升 9.指出以下条件中,p是q的什么条件,q是p的什么条件. (1)p:∠C=90°;q:△ABC是直:(1)∵∠C=90°⇒△ABC为直角三角形. ∴p⇒q. ∵△ABC是直角三角形,也可能∠B=90°, ∴qp. ∵p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件. (2)∵A∩B=A⇒A⊆B, ∴pq. 又AB⇒A∩B=A,∴q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.
11.以下选项中,p是q的必要不充分条件的是( ) A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>d B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象不过第二象限 C.p:x=1,q:x2=x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上为增函数 答案:A
根底强化
1.使x(y-2)=0成立的一个充分条件是( )
A.x2+(y-2)2=0
B.(x-2)2+y2=0
C.x2+y2=1 D.x+y-2=0
解析:∵x2+(y-2)2=0⇔x=0且y=2⇒x(y-2)=0,应选A.
3 a b 0 a 1,而 a 1 a b 0.
b
b
p q,但q p,p是q的充分不必要条件.
4 p : 1 x 5, q : 0 x 5,p q, 但q p.
4
3若a是有理数,则 a是无理数.
解:∵命题(1)与(2)为真命题,而(3)为假命题, ∴命题(1)与(2)中的p是q的充分条件.
能力提升 9.指出以下条件中,p是q的什么条件,q是p的什么条件. (1)p:∠C=90°;q:△ABC是直:(1)∵∠C=90°⇒△ABC为直角三角形. ∴p⇒q. ∵△ABC是直角三角形,也可能∠B=90°, ∴qp. ∵p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件. (2)∵A∩B=A⇒A⊆B, ∴pq. 又AB⇒A∩B=A,∴q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.
11.以下选项中,p是q的必要不充分条件的是( ) A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>d B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象不过第二象限 C.p:x=1,q:x2=x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上为增函数 答案:A
根底强化
1.使x(y-2)=0成立的一个充分条件是( )
A.x2+(y-2)2=0
B.(x-2)2+y2=0
C.x2+y2=1 D.x+y-2=0
解析:∵x2+(y-2)2=0⇔x=0且y=2⇒x(y-2)=0,应选A.
1.2.1充分条件与必要条件课件人教新课标3
若不等式p，q对应的集合分别为P，Q，利用集合间的包含
关系来判断充分条件、必要条件为:
①若P⊆Q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. ②若p是q的充分条件，即p⇒q，相当于P⊆Q，即:要使x∈Q成立， 只要x∈P就足够了——有它就行；为使x∈P成立，必须要使 x∈Q——缺它不可.
【易错误区】弄错两个集合间的关系而致误
=36成立”的充分条件.
2.对必要条件的两点说明 (1)必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结 论成立的充分条件，但不一定是结论成立的必要条件；假命题 的条件不是结论成立的充分条件，但有可能是结论成立的必要 条件.
(2)“p是q的必要条件”的理解:推出关系为q⇒p，若有q，则必 须有p；而具备了p，则不一定有q.
类型二 充分条件与必要条件的应用
【典例2】
(1)若“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件，则a=
.
(2)是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件？如
果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解题探究】1.题(1)中若x2+ax+2=0是x=1的必要条件，那么 x=1是x2+ax+2=0的什么条件，x=1是方程x2+ax+2=0的根吗？ 2.题(2)中若不等式4x+p<0与x2-x-2>0的解集分别为A，B，那 么根据条件判断A与B有何关系？ 【探究提示】1.x=1是x2+ax+2=0的充分条件，且x=1是方程 x2+ax+2=0的根. 2.若4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件，则A⊆B.
【探究提示】1.命题“若x>1，则x>2”不正确，如x=1.5满足x>1，
关系来判断充分条件、必要条件为:
①若P⊆Q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. ②若p是q的充分条件，即p⇒q，相当于P⊆Q，即:要使x∈Q成立， 只要x∈P就足够了——有它就行；为使x∈P成立，必须要使 x∈Q——缺它不可.
【易错误区】弄错两个集合间的关系而致误
=36成立”的充分条件.
2.对必要条件的两点说明 (1)必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结 论成立的充分条件，但不一定是结论成立的必要条件；假命题 的条件不是结论成立的充分条件，但有可能是结论成立的必要 条件.
(2)“p是q的必要条件”的理解:推出关系为q⇒p，若有q，则必 须有p；而具备了p，则不一定有q.
类型二 充分条件与必要条件的应用
【典例2】
(1)若“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件，则a=
.
(2)是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件？如
果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解题探究】1.题(1)中若x2+ax+2=0是x=1的必要条件，那么 x=1是x2+ax+2=0的什么条件，x=1是方程x2+ax+2=0的根吗？ 2.题(2)中若不等式4x+p<0与x2-x-2>0的解集分别为A，B，那 么根据条件判断A与B有何关系？ 【探究提示】1.x=1是x2+ax+2=0的充分条件，且x=1是方程 x2+ax+2=0的根. 2.若4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件，则A⊆B.
【探究提示】1.命题“若x>1，则x>2”不正确，如x=1.5满足x>1，
北师大版高中数学必修第一册1.2.1.1必要条件与充分条件课件
教材答疑 1.[教材2.1思考交流] 定理2是对顶角相等，也就是说，如果能确定两个角是对顶角，那么 一定可以得出这两个角相等，而一旦这两个角不相等，那么这两个角 一定不是对顶角． 定理3是全等三角形的性质定理，也就是说如果两个三角形全等，那 么一定可以得到这两个三角形的对应角相等，而一旦这两个三角形的 对应角不相等，那么这两个三角形一定不是全等三角形．
3．[多选题]如果命题“p⇒q”是真命题，则下列说法正确的是( ) A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．q是p的充分条件 D．q是p的必要条件
答案：AD
解析：根据必要条件和充分条件的含义，p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必 要条件，所以AD正确．
答案：必要
题型1 必要条件的语言表述——师生共研 例1将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言 表述： (1)平面四边形的外角和是360°；
方法归纳 用必要条件的语言表述定理的一般步骤
(1)分析定理的条件和结论； (2)将定理写成“若p，则q”的形式； (3)利用必要条件的概念来表述定理．
跟踪训练1 判断下列各组中是否有p⇒q或q⇒p成立，并用必要条件 的语言表述：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
解析：
，但两个三角形全等⇒两个三
解析：“平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则 它的外角和为360°”，所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必 要条件．
(2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同．
解析：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为 “若平面直角坐标系中的两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所 以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于x轴对称”的 必要条件．
1.2.1充分条件与必要条件课件人教新课标1
B x x2 (a 1)x a2 0, x R ,
C x x2 2ax 2a 0, x R .
若A，B，C中至少有一个不是空集，
求实数a的取值范围.
答案：
a 3 或a 1. 2
一般以下几种情况适宜使用反证法
(1)结论本身是以否定情势出现的一类命 题； (2)有关结论是以“至多”，或“至少” 的情势出现的一类命题；
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都 A
垂直，这与垂线性质矛盾.
所以，弦AB、CD不被P平分. C
O
PD B
思考：
1.用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是 增函数，那么方程f(x)=0在区间[a，b]上至多只 有一个实根.
2.设U R，集合A x x2 4ax 4a 3 0, x R ,
7）已知ABC不是直角三角形，" A<B "是 "tan A tan B"的 (既不充分也不必要条件)
小结：
1、当p ＞ q时， p是q的充分条件，q是p的必要条件. 2、充分条件的特征是：当p成立时，必有q 成立，但当p不成立时，未必有q不成立.因 此要使q成立，只需要条件p即可，故称p是 q成立的充分条件. 3、必要条件的特征是：当q不成立时，必 有p不成立，但当q成立时，未必有p 成立. 因此要使p成立，必须具备条件q，故称q是 p成立的必要条件.
如果命题“若p则q”为假，则记作p q (或q p).
请同学们判断下列命题的真假，并说 明条件和结论有什么关系？
(1)x＝y x2＝y2
x2＝y2 x＝y
(2)ab = 0 a = 0
a = 0 ab = 0
(3)x2>1 x>1
课件1：1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件
必要性：当 n＝1 时，a1＝S1＝p＋q， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)． ∵p≠0 且 p≠1， ∴aan＋n 1＝ppn－n1pp－－11＝p.
又∵{an}为等比数列，∴aa21＝aan＋n 1＝p， ∴ppp＋－q1＝p，∴q＝－1. 综上可知，{an}是等比数列的充要条件是 q＝－1.
(3)等价法： 将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． 判定充分条件、必要条件时，可以与四种命题的关系结 合起来．把 p 与 q 分别记作原命题的条件与结论，则原命题 与逆命题的真假同 p 与 q 之间的关系如下：
①如果原命题为真，逆命题为假，那么 p 是 q 的充分不 必要条件；
②如果原命题为假，逆命题为真，那么 p 是 q 的必要不 充分条件；
【变式训练】 本例中的“x＜a”改为“x＞a”，其他条件不变，则 a 的最小值为多少？ 【解】 ∵x2＞1，∴x＜－1 或 x＞1， ∵“x2＞1”是“x＞a”的必要不充分条件， ∴x＞a⇒x2＞1，但 x2＞1⇒/x＞a.
如图示： ∴a≥1， ∴a 的最小值为 1.
题目类型三、充要条件的证明 例 3、 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝pn＋q(p≠0 且 p≠1)． 求证：{an}为等比数列的充要条件是 q＝－1.
由①②知，命题得证.
忽略隐含条件致误 已知关于 x 的方程 x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两 个大于 1 的实根的充要条件． 【错解】 由方程 x2－mx＋2m－3＝0 的根都大于 1，可 设方程的两根分别为 x1，x2， 故有xx11＋x2＞x2＞1，2， 即m2m＞－2， 3＞1， 解得 m＞2， 即使方程有两个大于 1 的实根的充要条件为 m＞2.
2 ． “x ＞ － 2” 是 “x ＞ 3” 的 必 要 条 件 中 ， 条 件 是 ________，结论是________．
课件7:1.2.1 充分条件与必要条件
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分条件，也非必要条件
6、使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分非必要条件是 （C ）
A.x<0 B.x≥0 必要不充分条件是_a_>_0______;
a+b>0的一个充分不必要条件是_a_>_0_且__b_>_0____.
4.下列四个结论: ①“x=y”是“x2=y2”的充分不必要条件; ②“|x|=|y|”是“x2=y2”的必要不充分条件: ③两个三角形面积相等是它们全等的必要不充分条件; ④在平面上,“一个四边形的四边相等”是“这个四边形 为菱形”的充要条件. 其中,正确的有___①__③__④_____.
5.若p:a为奇数,b是偶数, q: ab是偶数,则p是q的( A )
若A⊆B，则p是q的充分条件；若 A B，则p是q的充分不必要条 件 若B⊆A，则p是q的必要条件；若 B A，则p是q的必要不充分条 件
若A＝B，则p、q互为充要条件
若A B，且B A，则p是q的 既不充分又不必要条件
利用充分条件、必要条件求参数范围(1)是否存 在实数m， 使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？ (2)是否存在实数m， 使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件？ 【思路点拨】 解答本题可先解出每一个不等 式所对应的集合，然后根据集合间的包含关系， 求出满足条件的m的值．
课堂练习 4.已知 p : x2 3x 2 0 , q : 1 0 ,
x2 x 6
则 p 是 q 的_充_分__不__必_要_条件, p 是 q 的必__要__不_充__分_条件.
【名师点评】 本题将充分条件、必要条件的 问题，转换为集合之间的包含关系问题，体现 了转化与化归的思想，设p：A＝{x|p(x)}，q：B ＝{x|q(x)}．现有如下的联系：
1.2.1充分条件与必要条件ppt课件
新知导学 p⇒q，“若 1．如果命题“若p，则q”为真，则记为__________
p⇒ / q p则q”为假，记为__________.
充分条件 ， q 是 p 的 2 ． 如 果 已 知 p⇒q ， 则 称 p 是 q 的 __________ 必要条件 ． __________
第一章
1.2
第1课时
充分条件、必要条件 思维导航 1．当x>3时，x>5成立吗？当x>5时，x>3成立吗？
2 ． 对 于 任 意 角 α 、 β ， 由 α>β 能 得 出 sinα>sinβ 吗 ？ 对 于
△ABC的内角A、B，当A>B时，sinA>sinB成立吗？
第一章
1.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
第一章
1.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
2．在下列横线上填上“充分”或“必要”．
(1)a>1是a>2的__________ 条件． 必要
充分 (2)a<1是a<2的__________ 条件．
第一章
1.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
第一章
1.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
牛刀小试
3 ． (2012· 浙江理， 3) 设 a∈R ，则“ a ＝ 1” 是“直线 l1 ： ax ＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＝0平行”的( A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )
1.2.1充分条件与必要条件课件人教新课标
2 p q, p是q的充分条件
3 p q, p不是q的充分条件
➢ 概念理解
例2 下列“若p，则q”情势的命题中，哪些
命题中的q是p的必要条件
即p是q的充分条件
(1)若x y,则x2 y2 (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等 (3)若a b，则ac bc
➢概念深入
原命题"若p，则q"为真命题
(2)"两条直线斜率相等" 是 " 这两条直线平行的" ___必__要_____条件
(3“) (x a)(x b) 0”是“x a”的__必__要___ 条件
(4)"sin sin "是" "的 __必__要_____ 条件
思考
（1）写出x 1的一个充分条件_______ x2
__x___3___ x 1?
(4)0 x 2.其中，可以为 x 1 1的一个充分条件 的所有序号为_（__2_）_（__3_）__（4）
分析：________ x 1 1？
________ x 0 x 2？
➢ 练习巩固
判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件， 以及p是不是q的必要条件
(1) p : tan 1 q :
➢ 探究新知
一般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过 推理可以得到q.这时，我们就说由p可推出q,
记作 p q
并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件
例如：x a2 b2 x 2ab
x a2 b2 是 x 2ab 的充分条件 x 2ab 是 x a2 b2 的必要条件
开关A闭合是灯泡B亮的充分条件 灯泡B亮是A闭合的必要条件
➢ 第一章：常用逻辑用语
3 p q, p不是q的充分条件
➢ 概念理解
例2 下列“若p，则q”情势的命题中，哪些
命题中的q是p的必要条件
即p是q的充分条件
(1)若x y,则x2 y2 (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等 (3)若a b，则ac bc
➢概念深入
原命题"若p，则q"为真命题
(2)"两条直线斜率相等" 是 " 这两条直线平行的" ___必__要_____条件
(3“) (x a)(x b) 0”是“x a”的__必__要___ 条件
(4)"sin sin "是" "的 __必__要_____ 条件
思考
（1）写出x 1的一个充分条件_______ x2
__x___3___ x 1?
(4)0 x 2.其中，可以为 x 1 1的一个充分条件 的所有序号为_（__2_）_（__3_）__（4）
分析：________ x 1 1？
________ x 0 x 2？
➢ 练习巩固
判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件， 以及p是不是q的必要条件
(1) p : tan 1 q :
➢ 探究新知
一般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过 推理可以得到q.这时，我们就说由p可推出q,
记作 p q
并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件
例如：x a2 b2 x 2ab
x a2 b2 是 x 2ab 的充分条件 x 2ab 是 x a2 b2 的必要条件
开关A闭合是灯泡B亮的充分条件 灯泡B亮是A闭合的必要条件
➢ 第一章：常用逻辑用语
课件10：1.2.1 充分条件与必要条件
(3)由 x－3，12x，x 成等比数列可得12x2＝(x－3)x，解得 x＝4 或 x＝0， 但当 x＝0 时12x＝x＝0，不符合题意，舍去，即 x 的值等于 4，即 p⇒q； 当 x＝4 时，显然 x－3，12x，x 成等比数列，即 q⇒p，故 p 是 q 的充 分且必要条件． (4)四边形的四条边相等，不一定得出该四边形为正方形，即 p⇒q； 但当四边形是正方形时，其四条边一定相等，即 q⇒p，故 p 是 q 的 必要不充分条件．
[答一答] 1．如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和 “必要”呢？ 提示：由上述定义知“p⇒q”表示有 p 必有 q，所以 p 是 q 的 充分条件，这点容易理解．但同时说 q 是 p 的必要条件是 为什么呢？q 是 p 的必要条件说明没有 q 就没有 p，q 是 p 成立的必不可少的条件，但有 q 未必一定有 p.
2．若 p 是 q 的充分条件，这样的条件 p 是唯一的吗？
提示：不唯一．如 1<x<3 是 x>0 的充分条件，又如， x>5,2<x<7 等都是 x>0 的充分条件．
3．用集合的观点如何理解充分条件与必要条件？ 提示：设 p：x∈A，q：x∈B.
特别关注 1．p 是 q 的充分条件是指“p 成立可充分保证 q 成立， 但是如果没有 p，q 也可能成立”． 2．q 是 p 的必要条件是指“要使 p 成立必须要有 q 成 立”，或者说“若 q 不成立，则 p 一定不成立”；但即 使有 q 成立，p 未必会成立．
课堂讲练 类型一 用定义法判断充分条件、必要条件 例 1 指出下列各题中，p 是 q 的什么条件？(在充分不必要 条件、必要不充分条件、充分且必要条件、既不充分也不必 要条件中选出一种作答) (1)p：0<x<2，q：x<3； (2)p：函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2,2]上的最大值等于 4， q：a＝2；
课件11：1.2.1 充分条件与必要条件
跟踪训练 1 指出下列哪些命题中 p 是 q 的充分条件？ (1)在△ABC 中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. (2)对于实数 Байду номын сангаас，y，p：x＋y≠8，q：x≠2 或 y≠6. (3)在△ABC 中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B. (4)已知 x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0.
状元随笔 判断 p 是 q 的什么条件，关键是看 p 能否 推出 q，q 能否推出 p.
解：(1)∵两个三角形相似 两个三角形全等， 但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p 是 q 的必要不充分条件． (2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q， 而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q p. ∴p 是 q 的充分不必要条件．
1.2.1 充分条件与必要条件
新知初探
知识点 充分条件与必要条件
命题真假 “若 p，则 q”是真 “若 p，则 q”是假
命题
命题
推出关系 p__⇒____q
p______q
条件关系
p 是 q 的充__分__条件 q 是 p 的必 ___要_条件
p 不是 q 的_充__分_条件 q 不是 p 的_必__要_条件
2．对于任意的实数 a，b，c，在下列命题中，真命题是 () A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析：若 a＝b，则 ac＝bc；若 ac＝bc，则 a 不一定等 于 b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件． 答案：B
m>0，
所以1－m<－2， 1＋m≥10
北师大版必修第一册1.2.1必要条件与充分条件课件
真命题
定理5“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的一个充分条件
定理6“ 平行于三角形一边的直线截其他两边”是“截得其他两边所得的三角形
是一个四边形是菱形的必要条件，是菱形的重要特征，因此，性质定理是描述了数
学对象的某一类特征，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是提示
这个研究对象的某个特征，是判定一个事物的必要条件，它仅仅是从某些方面反应
事物的特征，因此，必要条件可用来区分一个事物与另外一个事物，一般地，数学
中的每个性质定理都给出了成为相应数学对象的一个必要条件。
勾股定理的逆定理 如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和那么这条边
所对的角是直角
……
01
课前预习
发现问题
(1)命题定义
可以判断真假、用文字或符号表述的陈说句叫作命题．
(2)命题真假分类
①真命题：判断为真的语句叫作真命题；
②假命题：判断为假的语句叫作假命题．
(3)命题的结构情势：一般地,一个命题由条件和结论两部分组成，
∈⇒∈
p⇒q
q是p的必要条件
01
课前预习
发现问题
从集合角度判定逻辑关系:
对于命题“若p，则q”，
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，
若A⊆B，则p⇒q， q是p的必要条件，
从集合的角度可知，小范围⇒ 大范围
，
所以说“大范围”是“小范围”的必要条件，
也可以说 “小范围”的必要条件是“大范围”
基本语言——逻辑语言,即 “常用逻用语”
问题1：阅读课本第14页第一段和第二段及课本P14-P17的标题部分，
回答下列问题：
（1）本节将要研究哪些内容？
定理5“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的一个充分条件
定理6“ 平行于三角形一边的直线截其他两边”是“截得其他两边所得的三角形
是一个四边形是菱形的必要条件，是菱形的重要特征，因此，性质定理是描述了数
学对象的某一类特征，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是提示
这个研究对象的某个特征，是判定一个事物的必要条件，它仅仅是从某些方面反应
事物的特征，因此，必要条件可用来区分一个事物与另外一个事物，一般地，数学
中的每个性质定理都给出了成为相应数学对象的一个必要条件。
勾股定理的逆定理 如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和那么这条边
所对的角是直角
……
01
课前预习
发现问题
(1)命题定义
可以判断真假、用文字或符号表述的陈说句叫作命题．
(2)命题真假分类
①真命题：判断为真的语句叫作真命题；
②假命题：判断为假的语句叫作假命题．
(3)命题的结构情势：一般地,一个命题由条件和结论两部分组成，
∈⇒∈
p⇒q
q是p的必要条件
01
课前预习
发现问题
从集合角度判定逻辑关系:
对于命题“若p，则q”，
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，
若A⊆B，则p⇒q， q是p的必要条件，
从集合的角度可知，小范围⇒ 大范围
，
所以说“大范围”是“小范围”的必要条件，
也可以说 “小范围”的必要条件是“大范围”
基本语言——逻辑语言,即 “常用逻用语”
问题1：阅读课本第14页第一段和第二段及课本P14-P17的标题部分，
回答下列问题：
（1）本节将要研究哪些内容？
高中数学 充分条件与必要条件 PPT课件 图文
⑴ p 是 q 的充分条件── 有 p 就可推出 q ;
⑵ q 是 p 的必要条件── 没有 q 就推不出 p .
如何正确理解p是q的充分条件与必要条件
1、充分条件的特征是：当p成立时，必有q成
立，但当p不成立时，未必有q不成立。因此
要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成
立的充分条件。
pq
2、必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不 成立，但当q成立时，未必有p 成立。因此要使 p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要 条件。
如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 充要 条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的
条件；
既不充分也不必要
练习、判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；
四、作业
课本P12习题1.2－A组2T、3T 课本P13习题1.2－B组1T
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份，
⑵ q 是 p 的必要条件── 没有 q 就推不出 p .
如何正确理解p是q的充分条件与必要条件
1、充分条件的特征是：当p成立时，必有q成
立，但当p不成立时，未必有q不成立。因此
要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成
立的充分条件。
pq
2、必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不 成立，但当q成立时，未必有p 成立。因此要使 p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要 条件。
如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 充要 条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的
条件；
既不充分也不必要
练习、判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；
四、作业
课本P12习题1.2－A组2T、3T 课本P13习题1.2－B组1T
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份，
课件17：1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件
探究点 充要条件的证明
探究 1 a，b 中至少有一个不为零的充要条件是什么？
【提示】 a2＋b2＞0.判断p是q的什么条件，最常用的 方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法.
探究2 充要条件的证明与探求应注意哪些问题？
【提示】 (1)充要条件的证明分充分性和必要性的 证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别： ①p是q的充要条件，则 由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性； ②p的充要条件是q，则 由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.
(4)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利 用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时， 要尽可能用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法， 图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度.
跟踪训练
1.已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y －2)＝0.则p是q的________条件. 【解析】 因为p：x＝1且y＝2，则p⇒q， 又因为q：x＝1或y＝2，当x＝1，y≠2时， (x－1)2＋(y－2)2≠0，故q⇒p.因此p是q的充分不必要条件. 【答案】 充分不必要条件
于是aa－ ＋11≥≤－ 8，3， 从而可得－2≤a≤7. 故 a 的取值范围为[－2,7].
(4)由于 a＜b，当 b＜0 时，ab＞1； 当 b＞0 时，ab＜1，故若 a＜b，不一定有ba＜1； 当 a＞0，b＞0，ba＜1 时，可以推出 a＜b； 当 a＜0，b＜0，ba＜1 时，可以推出 a＞b. 因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
名师指导
1.判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命 题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若 q⇒p真，则p是q成立的必要条件.要否定p与q不能相互 推出时，可以举出一个反例进行否定.
湘教版高中数学《充分条件和必要条件》课件
一 充分条件和必要条件
例 4 试证： (1)在实数范围内，x=1是x2=1的充分而不必要条件； (2)四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件． 证明 (1)x=1⟹ x2=1，则x=1是x2=1的充分条件；由于(－1)2=1，故x2=1⇏x=1， 则x=1不是x2=1的必要条件．因此，x=1是x2=1的充分而不必要条件． (2)记p：四边形的两组对边分别相等，q：四边形为矩形． q⟹p，则p是q的必要条件；由于平行四边形的两组对边分别相等，p⇏q，则p 不是q的充分条件．因此，四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不 充分条件．
一 充分条件和必要条件
例 5 下面列出直角三角形的6条性质： ①两锐角之和等于直角； ②有且只有一条边是最长边； ③有一条边上的中线等于此条边的一半； ④有一边的平方等于另两边的平方之和； ⑤有一条边上的高分此边所成两线段的积等于此高的平方； ⑥有一条边是三角形外接圆的直径． 试指出哪些性质是三角形为直角三角形的充要条件． 解 以上除②之外，其余5条都是三角形为直角三角形的充要条件．
ax2+4x－3=0没有正的实根”也不是“a<0”的必要条件． 命题(6)为真命题； 故“a=b”是“a2=b2”的充分条件，“a2=b2”是“a=b”的必要条件．
一 充分条件和必要条件
如果既有p⟹q，又有q⟹p，就记作p⟺q．即p既是q的充分条件，又是q的 必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．当然，此时q也是 p的充分必要条件．
一 充分条件和必要条件
练习
1. 下列命题中，哪些命题是“四边形是矩形”的充分条件？
(1)四边形的对角线相等；
(2)四边形的两组对边分别相等；
(3)四边形有三个内角都为直角；
1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件课件人教新课标
2．设 p：x<3，q：－1<x<3，则 p 是 q 成立的( ) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为(－1,3) 充分条件．
答案：C
(－∞，3)，所以 p 是 q 成立的必要不
3．设 a，b 是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
|自我尝试| 1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)若 p 是 q 的充分条件，则 p 是唯一的( ) (2)“若綈 p，则綈 q”是真命题，则 p 是 q 的必要条件( )
(3)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的 命题( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
f(x)＝x－2，x2x，≥x0<，0， 所以函数 f(x)在 R 上单调递增，所以 a>b⇔
f(a)>f(b)⇔a|a|>b|b|.选 C.
【答案】 (1)A (2)C
方法归纳 充要条件的判断方法
判断 p 是 q 的什么条件，其实质是判断“若 p，则 q”及其 逆命题“若 q，则 p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p 是 q 的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则 p 是 q 的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则 p 是 q 的充要 条件；原命题为假，逆命题为假，则 p 是 q 的既不充分也不必要 条件，同时要注意反证法的运用.
跟踪训练 2 将“q：实数 x 满足 x2－x－6≤0”改为“q： 实数 x 满足 x2＋3x≤0”其他条件不变，求实数 a 的取值范围．
解析：由 x2－4ax＋3a2<0 且 a<0 得 3a<x<a. 所以 p：3a<x<a， 即集合 A＝{x|3a<x<a}． 由 x2＋3x≤0 得－3≤x≤0， 所以 q：－3≤x≤0， 即集合 B＝{x|－3≤x≤0}．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10
练习2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题中的p是q的必要条件？ (1) 若a+5是无理数，则a是无理数。
(2) 若（x-a）（x-b）=0，则 x=a。
分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件。 所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。
解：命题（1）（2）的逆命题都是真命题， 所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。
➢ 引导分析：
p:有3米布料
q:做一件衬衫
4
【问题探究】
例 :判断下列命题的真假。 （1）若x>a2+b2，则x>2ab 。 （2）若ab=0,则a=0。
解（1）因为若x>a2+b2 ，而a2+b2 2ab，所以可以
得到 x>2ab 。
真命题
（2）因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。 所以并不能得到a一定为0。
中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x2 –4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； 解：（命3题）（若1x）为（无2）理是数真，命则题x2，为命无题理（数3）是假命 题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件. 练习1： (1) 若两个三角形全等，则这两个三角形相似； (2) 若x > 5，则x > 10。 解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
假命题
符 号 “ ” 的 含 义源自如果命题“若p则q”为真，则记作 pq(或 qp)
如果命题“若p则q”为假，则记作 pq(或 qp5)
【问题探究】
例 :判断下列命题的真假。 （1）若x>a2+b2，则x>2ab 。 （2）若ab=0,则a=0。
解（1）因为若x>a2+b2 ，而a2+b2 2ab，所以可以
2
一、引入
事例一
➢ 音乐欣赏《我是一只鱼》 ➢ 提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就
无法生存，但只有水，够吗？
探究： p：“有水”；q：“鱼能生存”． 判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．
3
一、引入
事例二：
有一位母亲要给女儿做一 件衬衫，母亲带女儿去商店买 布，母亲问营业员：“要做一 件衬衫，应该买多少布料？” 营业员回答：“买三米足够 了！”
11
【方法小结】 判别充分条件 与必要条件
1、判别步骤：
① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。
2、判别技巧：
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
12
从集合的角度来理解充分条件、必要条件
p q，相当于P q ，即 P q 或 P、q
定义：如果命题“若p，则q”为真命题,即p q, 那么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条 件注．：
①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够 的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的形式,即 “有之必成立”。
②必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则 非p” 为真（非q=>非p）的形式，即“无之必不成立”。
§1.2 .1充分条件与必要条件
1
【实例引入】
同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时 候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。那 么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这 是我的孩子”呢？
不会了！为什么呢？ 因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证 你是她的 孩子。那么，这在数学中是一层什么样的 关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—— 充分条件与必要条件。
9
所以命题（1）中的p是q的充分条件。
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的q是p的必要条件？ (1) 若x=y，则x2=y2。 (2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等. (3) 若a>b，则ac>bc。
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命 题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
•P足以导致q,也就是 说条件p充分了； •q是p成立所 必须具 备的前提。
13
练习3，判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件； （3）sinA=sinB是A=B的充分条件； （4）ab≠0是a ≠ 0的充分条件。
答：命题（1）为真命题： 命题（2）为真命题； 命题（3）为假命题； 命题（4）为真命题。
14
能力测试
1、用符号“充分”或“必要”填空：
（1）“0<x <5”是“ x – 2 <3”的充_分_____条件。
（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形 为正方形”的必__要____条件。
（3）“xy > 0”是“ x+y = x + y ”的充__分____条件。
（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除” 的__充__分____条件。
15
练习4.用“充分”或“必要”填空，并说明理由：
1.充“a分和b条都件是；偶数”是“a+b也是偶数”的
2.
3. 4.
“““必四 xx≠－要边31”相=是条0等“”件是”|x；“|≠是3x“”2－的四1=边必0”形的要是充正条分方件形；条”件的；
得到 x>2ab 。
真命题
（2）因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。 所以并不能得到a一定为0。
假命题
在真命题（1）中，p足以导致q，也就是说条件p充分了。
在假命题（2）中条件p不充分。
在真命题（1）中， q 是p成立所必须具备的前提。 在假命题（2）中， q不是p成立所必须具备的前提。 6
【定义得出】
③p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它
7
们是同一个逻辑关系“p=>q”的不同表达方法。
P10练习 用符号
与
填空。
（1） x2=y2
x=y；
（2）内错角相等
两直线平行；
（3）整数a能被6整除
a的个位数字为偶数；
（4）ac=bc
a=b
8
【典例演练】
例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题
5. “两个角是对顶角”是“这两个角相等”的
充分 条件；
6. “至少有一组对应边相等”是“两个三角形全
等”必的要
条件；
7. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都不
为0)来说，“b2－4ac≥0”是“这个方程有两个正
根 8. “”a=的2必，b要=3”条是件“；a+b=5”的充分 条件；
练习2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题中的p是q的必要条件？ (1) 若a+5是无理数，则a是无理数。
(2) 若（x-a）（x-b）=0，则 x=a。
分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件。 所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。
解：命题（1）（2）的逆命题都是真命题， 所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。
➢ 引导分析：
p:有3米布料
q:做一件衬衫
4
【问题探究】
例 :判断下列命题的真假。 （1）若x>a2+b2，则x>2ab 。 （2）若ab=0,则a=0。
解（1）因为若x>a2+b2 ，而a2+b2 2ab，所以可以
得到 x>2ab 。
真命题
（2）因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。 所以并不能得到a一定为0。
中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x2 –4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； 解：（命3题）（若1x）为（无2）理是数真，命则题x2，为命无题理（数3）是假命 题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件. 练习1： (1) 若两个三角形全等，则这两个三角形相似； (2) 若x > 5，则x > 10。 解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
假命题
符 号 “ ” 的 含 义源自如果命题“若p则q”为真，则记作 pq(或 qp)
如果命题“若p则q”为假，则记作 pq(或 qp5)
【问题探究】
例 :判断下列命题的真假。 （1）若x>a2+b2，则x>2ab 。 （2）若ab=0,则a=0。
解（1）因为若x>a2+b2 ，而a2+b2 2ab，所以可以
2
一、引入
事例一
➢ 音乐欣赏《我是一只鱼》 ➢ 提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就
无法生存，但只有水，够吗？
探究： p：“有水”；q：“鱼能生存”． 判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．
3
一、引入
事例二：
有一位母亲要给女儿做一 件衬衫，母亲带女儿去商店买 布，母亲问营业员：“要做一 件衬衫，应该买多少布料？” 营业员回答：“买三米足够 了！”
11
【方法小结】 判别充分条件 与必要条件
1、判别步骤：
① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。
2、判别技巧：
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
12
从集合的角度来理解充分条件、必要条件
p q，相当于P q ，即 P q 或 P、q
定义：如果命题“若p，则q”为真命题,即p q, 那么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条 件注．：
①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够 的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的形式,即 “有之必成立”。
②必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则 非p” 为真（非q=>非p）的形式，即“无之必不成立”。
§1.2 .1充分条件与必要条件
1
【实例引入】
同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时 候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。那 么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这 是我的孩子”呢？
不会了！为什么呢？ 因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证 你是她的 孩子。那么，这在数学中是一层什么样的 关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—— 充分条件与必要条件。
9
所以命题（1）中的p是q的充分条件。
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的q是p的必要条件？ (1) 若x=y，则x2=y2。 (2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等. (3) 若a>b，则ac>bc。
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命 题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
•P足以导致q,也就是 说条件p充分了； •q是p成立所 必须具 备的前提。
13
练习3，判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件； （3）sinA=sinB是A=B的充分条件； （4）ab≠0是a ≠ 0的充分条件。
答：命题（1）为真命题： 命题（2）为真命题； 命题（3）为假命题； 命题（4）为真命题。
14
能力测试
1、用符号“充分”或“必要”填空：
（1）“0<x <5”是“ x – 2 <3”的充_分_____条件。
（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形 为正方形”的必__要____条件。
（3）“xy > 0”是“ x+y = x + y ”的充__分____条件。
（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除” 的__充__分____条件。
15
练习4.用“充分”或“必要”填空，并说明理由：
1.充“a分和b条都件是；偶数”是“a+b也是偶数”的
2.
3. 4.
“““必四 xx≠－要边31”相=是条0等“”件是”|x；“|≠是3x“”2－的四1=边必0”形的要是充正条分方件形；条”件的；
得到 x>2ab 。
真命题
（2）因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。 所以并不能得到a一定为0。
假命题
在真命题（1）中，p足以导致q，也就是说条件p充分了。
在假命题（2）中条件p不充分。
在真命题（1）中， q 是p成立所必须具备的前提。 在假命题（2）中， q不是p成立所必须具备的前提。 6
【定义得出】
③p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它
7
们是同一个逻辑关系“p=>q”的不同表达方法。
P10练习 用符号
与
填空。
（1） x2=y2
x=y；
（2）内错角相等
两直线平行；
（3）整数a能被6整除
a的个位数字为偶数；
（4）ac=bc
a=b
8
【典例演练】
例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题
5. “两个角是对顶角”是“这两个角相等”的
充分 条件；
6. “至少有一组对应边相等”是“两个三角形全
等”必的要
条件；
7. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都不
为0)来说，“b2－4ac≥0”是“这个方程有两个正
根 8. “”a=的2必，b要=3”条是件“；a+b=5”的充分 条件；