4.2 毕奥-萨伐尔定律和载流回路的磁场
§2载流回路的磁场
dB =
µ0 R dI
2
2 x2 + R2 3/ 2 （ ）
N dI = Idx = nIdx L
各个元段在P点产生的磁感强度方向相， 各个元段在 点产生的磁感强度方向相，整 点产生的磁感强度方向相 个螺旋线圈在P点产生的磁感强度为 个螺旋线圈在 点产生的磁感强度为
B = ∫ dB =
µ0nI
2
∫
x2
µ0 Idl × r B = ∫ dB = ∫ r2 4π l
0
积分对于整个载流导线进行 电流元的磁场 + 磁场叠加原理 注意 任意载流导 体的磁场
B = ∫ dB
与
B = ∫ dB 的区别
太原理工大学物理系
dB =
µ0 Idl × r
4π
1
0
r2
毕奥— 毕奥—萨伐尔定律
例1 判断下列各点磁感强度的方向和大小. 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
解 由圆形电流磁场公式 B =
µ 0 IR 2
（x + R ） 2
2 2 3/ 2
处取长为dx的元段 距p点x处取长为 的元段，其上有 点 处取长为 的元段，其上有ndx匝线 匝线 相当于dI=nIdx的圆电流。 的圆电流。 圈，相当于 的圆电流
太原理工大学物理系
dI在P点产生的磁感强度大小为 在 点产生的磁感强度大小为
Idl
dB
dB
P *
r
θ
Idl
I
r
dB的方向 的方向 垂直于 平面 与 r 组成的
Idl sin θ dB = k 2 r
太原理工大学物理系
Idl × r 0 毕—萨定律的数学表达式 dB = k r2
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例一、毕奥-萨伐尔定律1.毕奥-萨伐尔定律:载流导线产生磁场的基本规律。
微分形式为：整个闭合回路产生的磁场是各电流元所产生的元磁场dB的叠加。
磁感应线的方向服从右手定则，如图。
二、毕奥-萨伐尔定律应用举例两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。
例1.载流长直导线的磁场解：建立如图坐标系，在载流直导线上，任取一电流元Idz，由毕-萨定律得元电流在P点产生的磁感应强度大小为：方向为垂直进入纸面。
所有电流元在P点产生的磁场方向相同，所以求总磁感强度的积分为标量积分，即：（1）由图得：,即：此外：，代入（1）可得：讨论：（1）无限长直通电导线的磁场：（2）半无限长直通电导线的磁场：（3）其他例子例2:圆形载流导线轴线上的磁场：设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细导线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的P点的磁感应强度。
解：建立坐标系如图，任取电流元，由毕-萨定律得：，方向如图：，所有dB形成锥面。
将dB进行正交分解：，则由由对称性分析得：，所以有:，因为： ,r=常量，所以：，又因为：所以：，方向：沿x轴正方向，与电流成右螺旋关系。
讨论：（1）圆心处的磁场：x=0 ，。
（2）当即P点远离圆环电流时，P点的磁感应强度为：。
例3：设有一密绕直螺线管。
半径为 R ，通电流 I。
总长度L，总匝数N（单位长度绕有n 匝线圈），试求管内部轴线上一点 P 处的磁感应强度。
解：建立坐标系，在距P 点 x 处任意截取一小段 dx ，其线圈匝数为: 电流为：。
其相当于一个圆电流，它在P点的磁感应强度为：。
因为螺线管各小段在P点的磁感应强度的方向均沿轴线向右，所以整个螺线管在P点的磁感应强度的大小为：因为：代入上式得：所以：讨论：（1）管内轴线上中点的磁场:（2）当 L>>R时，为无限长螺线管。
此时,，管内磁场。
即无限长螺线管轴线上及内部为均匀磁场，方向与轴线平行满足右手定则。
毕奥-萨伐尔定律 磁通量 磁场的高斯定理
解：（1）判断电流元产生 每个电流元产生磁场同方向
磁场的方向是否一致
z
D
2
z r 0 cot
dz
I
z
1
r
r0
x
C
o
r0 dz d 2 sin dB r0 又r * y P sin 0 Idl sin (1) 大小 dB 2 4 r
B
0 I
2πr
I
B
I
X
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2013-7-5
10
[例14-2] 圆电流轴线上的磁场。
0 Idl 解： dB sin 90 2 4 r 0 Idl B dB sin 90 2 4 r
x 因为圆线圈上各个电流元在P点产生的磁感应强度 的方向是不同的，所以只能用它的矢量表示：
第五版
四.运动电荷的磁场
7-4
毕奥-萨伐尔定律
考虑一段导体，其截面积为S，其 中载流子的密度为n，载流子带电 q，以漂移速度 v 运动。
毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4 π r3 0 nSdlqv r dB 3 4π r
P r dB Idl j Sdl nSdlqv
z
o
r
Idl
y
R
0 I dl sin x 2 2 2 r2 r R z 4 2 2 R 0 IR 0 I sin dl 3 2 0 2 2 4 r 2( R z ) 2
B
0 IR
2
2 2 32
2( R z )
磁场强度毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生的磁场大学物理电子教案
磁场强度毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生的磁场一、教学目标1. 理解磁场强度的概念，掌握毕奥萨伐尔定律及其应用。
2. 了解运动电荷产生磁场的原理，能运用相关知识分析实际问题。
3. 培养学生的实验操作能力，提高其科学思维和问题解决能力。
二、教学内容1. 磁场强度的定义及其表示方法。
2. 毕奥萨伐尔定律的表述及其数学形式。
3. 毕奥萨伐尔定律在直导线、圆形电流和均匀电流环中的应用。
4. 运动电荷产生磁场的原理。
5. 运动电荷产生的磁场与电流磁场的区别与联系。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解磁场强度、毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生磁场的相关概念和理论。
2. 利用示例和图示，直观展示毕奥萨伐尔定律的应用。
3. 开展讨论法，引导学生分析运动电荷产生磁场的原理及其在实际应用中的重要性。
4. 布置实验，让学生动手操作，验证毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生磁场的理论。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 实验室设备：电流表、电压表、导线、磁针等。
3. 投影仪、计算机等多媒体设备。
五、教学过程1. 引入：通过简单的磁现象，引导学生思考磁场强度的概念。
2. 讲解：讲解磁场强度的定义及其表示方法，阐述毕奥萨伐尔定律的表述和数学形式。
3. 示例：分析毕奥萨伐尔定律在直导线、圆形电流和均匀电流环中的应用，演示相关计算过程。
4. 讨论：引导学生分析运动电荷产生磁场的原理，与电流磁场的区别和联系。
5. 实验：安排学生进行实验操作，验证毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生磁场的理论。
6. 总结：对本节课的主要内容进行归纳总结，强调重点和难点。
7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对磁场强度、毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生磁场的理解和掌握情况。
2. 实验报告：评估学生在实验过程中的操作技能、数据处理和分析问题的能力。
3. 作业完成情况：检查学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学拓展1. 介绍其他磁场强度计算方法，如安培环路定律。
4.2 毕奥-萨伐尔定律和载流回路的磁场
0 I
O
R
例.无限长载流直导线弯成如图形状
L
I 20 A a 4cm 求： P、R、S、T四点的 B
解： P点 B p BLA BLA
R
a
I A
a
L
S
I
a
P T
R点
0 I 0 5 10 5 T 4a
方向
BR BLA BLA 0 I 0 I 3 1 (cos 0 cos ) (cos cos ) 4a 4 4a 4
三、 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度 有线圈n匝。
1
r
dB
R
A1
2
p
A2
dl
l
载流圆线圈轴线上的磁场
1
r
dB
A1
2
R
A2
p
l
dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作 Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
2( R l ) 2 0 R nI d l B L dB L 2 2 3/ 2 2( R l )
I
0 I B 2d 0 I B 4d
dl
L
r
(2)导线半无限长，场点与一端 的连线垂直于导线
l
(3)P点位于导线延长线上，B=0
O
d
1
2
P
dB
R 二、 圆形电流的磁场．有一半径为 的载 I P 流圆环，电流强度为 ，求它轴线上任一点 的磁感应强度 ． B Id l 0 Idl sin dB dB r 解 dB 2 R 4 r o x 0 P dB// x 90
电磁学 毕奥-萨伐尔定律
I 2 dl
e
er
38
L2单位长度受到的力的大小是
f dF12 0 I1I 2
dz
2r0
(2.2-19)
令I1 = I2 = I , 当 r0 = 1米，并且测得f = 2×10 –7牛顿/ 米时，两导线中的电流强度I 就定义为“1安培”.
0
2r0
I2
f
2
1m 2 10 7 1A2
N
/
m
25
A
若两电流元关于平面A镜像对
称，证明：它们在A上的合磁 场B必垂直于A（除非B=0）
Idl r
Idl '
r'
z
dB dB'
0I 4
dl
r
r
3
0I 4
dl'r' r'3
0I 4r 3
(dl r dl 'r ')
dl
(lx
,
l
Hale Waihona Puke y,lz)
dl ' (lx ,ly ,lz )
11
2.安培定律（Amperes’ Law）
真空中，两个稳恒的电流回路L1和L2 ，
电d流F1元2 I1dIl21d对l2I2dlk2的I1作d用lr1122力e为12
在MKSA单位制中，比例常数
k 0 4
（2.2-2）
(2.2-1)
e12 I1dl1 r12
L1
I2dl2 L2
12
其中，0称为真空磁导率，它与真空介电常数e0
36
电磁相互作用宇称守恒
dB( x)
0 4
Idl e r
r2
毕奥萨伐尔定律(磁场大小)
毕奥萨伐尔定律（磁场大小）
磁场大小如何计算呢？
还是要回到那个最伟大的发现，奥斯特的发现启发说起。
1820年秋，阿拉果带着奥斯特发现电流磁效应的重要新闻回到法国，9月11日，他便在法国科学院报告了奥斯特的重要发现并演示其实验。
阿拉果的报告使法国科学家迅速做出强烈反应。
对法国科学家而言，他们受库仑的影响太深，此前一直相信电和磁之间没有联系并且对电和磁分别进行研究。
阿拉果报告之后，法国科学家立即对电和磁的相互关系进行探索。
一周后，安培就取得了重要的研究成果,1820年9月18日、9月25日和10月9日，安培在科学院会议上宣读了3篇论文，并且用实验表演了两根通电导线相互吸引和排斥的现象，同时还证明了通电螺线管也能像磁铁一样相互吸引。
毕奥紧随其后，1820年9月30日，毕奥就向法国科学院报告了他与萨伐尔的重要发现:“载流长直导线施加在磁针磁极(不论是磁南极还是磁北极) 上的力反比于磁极与导线间的距离，这也是人类首次对奥斯特效应的定量研究”。
毕奥-萨伐尔定律：在静磁学中，毕奥-萨伐尔定律（英文：Biot-SavartLaw）描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。
定律文字描述：电流元Idl 在空间某点P处产生的磁感应强度dB 的大小与电流元Idl 的大小成正比，与电流元Idl 所在处到P点的位置矢量和电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比，而与电流元Idl到P点的距离的平方成反比。
上式描述了电流元在一点产生的磁场大小，那么对于任意一段导体在一点出产生的磁感强度是如何求呢？
其实很简单，讲该任意导体看成由无数个电流元的组成，对电流元进行积分，便可求得。
综上，通过毕奥-萨伐尔定律，我们可以予以解答求解磁场定量公式。
电磁学2毕奥-萨伐尔定律
β lr
β dB
a
P
§4-3 毕奥
萨伐尔定律的应用
1. 载流直导线的磁场
dB 的方向： I dl × r 的方向
dB
的大小：
dB
=
μo
4π
I
dl sina
r2
几何关系：
I dl
sin a =sin ( 900 +β ) dl a
= cosβ l = a tgβ
β lr
dl = a sec 2β dβ r = a secβ
I dl
r
IR
θ x
y dB θ P x
By= Bz=0
Idl r z
dB
B = dB x = dB
sinθ
=
μ
4π
o
I r
2
sinθ
dl
=
μo
4π
I r
2
sinθ
dl
sinθ
=
R r
I dl
r
r = (x 2 +R2 )1 2 I R
θ x
y dB θ x
z
B=
μo
4π
I r
2
sinθ
dl
=
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
r
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
dB =
μ o I dl × r
4π r 3
=
μo
4π
I dl r2
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
毕奥萨伐尔定律、安培环路定律、磁通连续原理
认为： 磁场力 = 电流 磁感应强度
定义：磁感应强度 B (又称磁通密度)
B 0 4π
I 'd l eR l R2
0
4π
I dl (r r) l r r 3 单位 T（Wb/m2）
——毕奥—沙伐定律的积分形式
磁场对回路电流的作用力 磁场对运动电荷的作用力
F l Id l B
f qv B
B, r
BH
r H
0
H
单向电流励磁
B Br
Hc 0
Hc
H
正反电流励磁和退磁
3.2 磁通连续性原理
为了形象地描述磁场, 引入磁感应线(也称磁力线)。
➢ 磁力线有以下特点: (1) 磁力线是无头无尾的闭合曲线(或两端伸向无 穷远处)。所以磁场是涡旋场。 (2) 磁力线与载流电路互相铰链(即每条磁力线都 围绕着载流导线)。 (3) 任两条磁力线都不相交。
解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dl，
B 0 Idl eR 4π L R2
式中 R 2 2 z 2
dl eR dz sin e dz sin e R dze
B
0
4π
L1
I dz
L2 ( 2 z 2 )3 2
0I [ L1 L2 ] 4π 2 L12 2 L22
Idl 是元电流，R 是两电流元之间距离。
两载流回路间的相互作用力
上式就是真空中的安培力定律。 ➢ 安培力定律是多年经实验验证的，是电磁学基础定律。
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
安培力定律公式可改写为：
F
Id l ( μ0
l
4π
l
I
d
l R2
eR
第四章毕奥-萨筏尔定律-2
I F k tan r 2
1 k k折 2
理论分析：B.S.L dl cos dr 定律的建立 dr cos
L
R cos r
x 0, Bx
0 I
2R
若场点到圆心的距离 x远大于圆环半径R 时：
x2 R2 x2 2 x3 考虑到方向： 0 m B 2 x 3 B
0 IR 2
0 I R 2 0 m 3 2 x 2 x 3
补充例题 半径为R的薄圆盘均匀带电，总电量为q. 令此盘绕通过盘心，且垂直于盘面的轴线匀速转动， 角速度为ω.求：(1)轴线上距盘心O为x的P点处的 磁感应强度B；(2)圆盘的磁矩Pm.
0 nI
2
4、亥姆霍兹线圈
结构：一对间距等 于半径的同轴载流 圆线圈 用处：在实验室中， 当所需磁场不太强 时，常用来产生均 匀磁场 命题：证明上述线 圈在轴线中心附近 的磁场最为均匀
线圈中心O1和O2处，磁感应强度大小都为：
Bo
0 NI
2R
0 NIR 2
2( R R )
解 (1) 在圆盘上任取一半径为 r，宽度为dr的圆环，此圆环所 q d q 2 r d r , 带的电量 R2 为圆盘的电荷面密度.当此圆环以 角速度ω转动时，相当于一个面 电流，其电流大小为
q dI dq rdr 2 2 R
14
0r dI 0 q r dr dB 2 2 3/ 2 2(r x ) 2 R2 (r 2 x2 ) 3/ 2
毕奥萨伐尔定律电磁物理学
B 0I
2R
2) 无限远处 x R
电偶极子 磁偶极子
2024年1月22日1时17分
电偶极矩 磁偶极矩
pe mI
B 0 2
m x3
+ pe ql
m IS
17
也可直接计算圆心处的磁场：
任取电流元 Idl
在场点O的磁感强度方向
垂直纸面向外大小为
dB
0 Idl 4R 2
dB
0
4
Id l r
解：Idl 的在 P 点的 dB
dB
0
4
Id l r
r3
I
Idl
l
O
r
a
P
dB 0 4
Idl sin
r2
dB
L
※ 长为 L 的直导线在 P 点的 B
B
dB
L
0 4
L
Idl sin
r2
2024年1月22日1时17分
12
B
dB
L
0 4
L
Idl sin
r2
做代换：
r a
sin l actg
B 0I 2a
2) 半无限长时
B 0I 4a
2024年1月22日1时17分
I 2
Idl
l
O
r
a
P
1
dB
L
a
14
例例22载载流流圆圆线线圈轴圈线轴上线的上磁的场磁（场半径R ，载流为I）
解：电流元产生的磁场
dB 0 4
Idl r2
垂直分量相互抵消，只剩 下平行分量的标量叠加。
Idl
R O
Idl
dl
毕奥-萨伐尔定律
半无限长载流长直导线的磁场
1
π 2
2 π
BP
0I
4π r
I
o r *P
例2 圆形载流导线的磁场.
真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆
电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.
Idl
B
o
R
r
dB
pB
*
x
I
dB 0 Idl
4π r 2
解 根据对称性分析 B Bx dB sin
x2
x + + + + + + + + + + + + + + +
dB 0 2
R 2 Indx R2 x2 3/2
x Rcot
dx R csc2 d
B
dB 0nI
2
x2 x1
R2dx R2 x2 3/2
R2 x2 R2 csc2
B 0nI
2
2 R3csc2 d 1 R3 csc3 d
Idl
cos R r
R
r
dB r2 R2 x2
o
x
*p x
B 0I
4π
cosdl
l r2
dB 0
4π
Idl r2
dBx
0
4π
I cosdl
r2
B
0IR
4π r3
2π R
dl
0
B
0IR2
（2 x2 R2）32
I
R
ox
B
*x
B
0IR2
（2 x2 R2）32
稳恒电流的磁场总结汇总
1.SI J ds =⎰⎰2. 毕奥-萨伐尔定律:34Idl r dB rμπ⨯=034LI r B dl rμπ⨯=⎰3. 有限长载流导线的磁感应强度()()021021sin sin 4cos cos 4 I B z Izμθθπμββπ=-=- !!!zP 1无限长载流导线的磁感应强度 02IB zμπ=!!!4. 载流线圈在轴线上任意一点的磁感应强度()2032222IRB Rzμ=+ !!!圆心处的磁感应强度02IB Rμ=!!!5. 有限长螺线管内部任意一点的磁感应强度()021cos cos 2nIB μθθ=-无限长直螺线管内的磁感应强度 0B n I μ=!!!6. 运动电荷的磁场034q v rB rμπ⨯= 7. 磁偶极子与磁矩磁偶极子：载流线圈（任意形状）。
磁矩：m IS ISn ==其中S Sn = ，n 为面元S 的法线方向单位矢量，与I 的环绕方向成右手螺旋关系。
8. 稳恒磁场的高斯定理 0SB d s =⎰⎰9. 稳恒磁场的安培环路定理0iiLB d l Iμ=∑⎰ 两项注意:(1)虽然B的环量仅与L内的电流有关，但B本身却取决于L 内、外的所有电流。
(2) 当i I 的流动方向与L 的环绕方向成右手螺旋关系时，0i I >，反之0i I <。
10. 无限长载流圆柱体020()2()2Irr R R B Ir R rμπμπ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩11. 无限大载流平面的磁感应强度大小：02B μα=（其中α为面电流线密度）；方向：右手螺线关系。
12. 安培定律－磁场对载流体的作用dF Idl B =⨯13. 在一均匀外磁场中，如果一任意形状的有限平面曲线电流的平面垂直于外磁场，那么平面电流所受到的安培力的大小与由起点到终点连接而成的直线电流所受到的安培力一样，方向垂直于从起点到终点的连线。
推论：处于均匀外磁场中的任意平面闭合载流回路，所受到的安培力=0，但要受到一力矩的作用L m B =⨯处于非均匀外磁场中的闭合载流线圈受到的安培力≠0。
毕奥-萨伐尔定律介绍
0I
4πr
6
无限长载流长直导线的磁场
B 0I
2πr
I B
I XB
电流与磁感强度成右手螺旋关系
7
例2 圆形载流导线轴线上的磁场.
解 分析点P处磁场方向得：B Bx dBsin
Idl
cos R r
R
o
r
dB
r2 R2 x2
x
*p x
dB
0
4π
Idl r2
I
dBx
0
4π
I
cosdl
r2
Idl
2
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
×
7
Idl × 3
R
6
×
4
dB
5
0
4π
Idl
r
r3
1、5点 ：dB 0
3、7点
：dB
0 Idl
4π R2
2、4、6、8 点 ：
dB
0 Idl
4π R2
sin
450
毕奥－萨伐尔定律
3
二 毕奥－萨伐尔定律应用举例
例1 载流长直导线的磁场.
一 毕奥－萨伐尔定律
(电流元在空间产生的磁场)
dB
0
4π
Idl sin
r2
dB
0
4π
Idl
r
r3
真空磁导率 0 4 π107 N A2
r
dB
P*r
Idl
dB
Idl
I
1
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度 叠加原理
B dB
0I
dl
磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律
0 I
等效于一个圆电流 产生的磁场！
q ω I q T 2π
μ0 I μ0qω 2R 4πR
ω
圆心处： B
§3-4-1
q
磁感应强度矢量
毕奥－萨伐尔定律
大学 物理
思考：如何简化电流模型？ 提示：考虑一电流元Idl 中的运动电荷 载流子密度——n S 载流子定向运动速度—— υ q 电流元横截面的面积—— S 电流元Idl中的运动电荷数：dN = n S dl 结论：每个带电粒子的磁场 +q
大学 物理
2、电流具有磁效应
1820年，奥斯特发现电流的磁效应
§3-4-1
磁感应强度矢量
毕奥－萨伐尔定律
大学 物理
3、磁场对载流导线有力的作用
§3-4-1
磁感应强度矢量
毕奥－萨伐尔定律
大学 物理
4、磁场对运动电荷有力的作用
电子束 S +
N
§3-4-1
磁感应强度矢量
毕奥－萨伐尔定律
大学 物理
5、电流与电流之间有相互作用力
μ0 (dq )υ dB0 4π r2
R o r
μ0 σω dr 2 μ0 σω R μ0 σωR B 0 dr 2 2
§3-4-1
dr
σ 0, B 向外 σ 0, B 向里
毕奥－萨伐尔定律
磁感应强度矢量
大学 物理
Class over
作业
P294：4.4 4.9 预习
§3-4-1
r
磁感应强度矢量
毕奥－萨伐尔定律
大学 物理
μ0 Idl r dB 4π r3
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
大学物理 毕奥-萨伐尔定律的应用
各电流元的磁场方向不相同，可分解为 d B
逐对抵消，所以P 点B 的大小为：
0 B dB// dB sin L L 4
I dl L r 2 sin
I dl
R
r x
2R
d B
dB
d B//
I
O
P
0 I sin 2R d l 2 0 4r 0 I d l B dB// dB sin sin 2 L L 4 L r 0 I sin 2 4r
磁感应强度的方向与电流方向满足右手 螺旋定则。 考虑三种情况： dl (1)导线无限长，即 1 ， 2 L 2 2
r
1
0I B 2 d (2)导线半无限长，场点与一端 0I 的连线垂直于导线
l
4 d (3)P点位于导线延长线上，B=0
B
O
d
P 2 dB
3. 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为 R ，电流为 I ，每单位长度 有线圈n匝。
1
A 1
r
dB
R
p
2
A2ldl源自作业题习题（P266） 11-5 11-6 11-10 11-17
所有dB的方向相同， 所以P 点的 B 的大小为：
I
L
dl l
r
0 I d l sin B d B 2 L L 4 r
O
d
P dB
0 I d l sin B d B 2 L L 4 r
由几何关系有：
I
sin cos
r d sec
0 IS IS 3 x 2 r 3 pm r3
毕奥- 萨伐尔定律
毕奥- 萨伐尔定律
如图9- 12所示.因此，总 磁感应强度B的矢量积分可化为 标量积分
图9- 12 直线电流的磁场
毕奥- 萨伐尔定律
（1）若直线电流为无限长，即θ1=0,θ2=π，则 (9- 13)
与实验结果一致.无限长直线电流是一个理想模型， 在实际问题中，若直线电流的长度远大于到场点P的距离 a，此时直线电流就可视为无限长.直线外到带电直线距 离相等的各点磁感应强度B，其大小都相等，方向沿每点 的切向，人们称无限长直线电流在场点激发的磁场具有 轴对称性.
毕奥- 萨伐尔定律
三、 典型电流的磁场计算——毕- 萨定律的应用
电流磁场的计算类似于带电体电场分布的计算，用毕奥- 萨伐 尔定律计算磁场中各点磁感应强度的具体步骤如下：
首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一段电流元Idl， 并标出Idl到场点P的位矢r，确定两者的夹角θ（Idl，r）.
其次，根据毕奥- 萨伐尔定律，求出电流元Idl在场点P所激发 的磁感应强度dB的大小，并由右手螺旋法则决定dB的方向.
毕奥- 萨伐尔定律
（2）若直线电流为半无限长，即θ1=0， θ2=π/2（或θ1=π/2，θ2=π），则P点的B的大小 为
（3）P点在延长线上，θ=0或θ2=π， dB=0,B=0.
毕奥- 萨伐尔定律
2. 圆电流在其轴线上的磁场
设圆电流（载流线圈）半径为R,通有电流I，试计算它 在其轴线上任一点P的磁感应强度.
毕奥- 萨伐尔定律
【例9-1】
如图9-11所示，试求电流元Idl周围空间的磁感 应强度.
解：计算电流元Idl周围空间的磁感应强度dB.根 据毕- 萨定律先计算dB的大小，即
毕奥- 萨伐尔定律
图9- 11 例9- 1图
磁场分布的测量实验报告
一、实验目的1. 了解电磁感应法测磁场的原理；2. 掌握用探测线圈测量载流线圈的磁场的方法；3. 验证矢量叠加原理；4. 了解亥姆霍兹线圈磁场的特点。
二、实验原理1. 电磁感应法测磁场：当导线中通有变化电流时，其周围空间必然产生变化磁场。
处在变化磁场中的闭合回路，由于通过它的磁通量发生变化，回路中将有感应电动势产生。
通过测量此感应电动势的大小就可以计算出磁场的量值。
2. 毕奥-萨伐尔定律：载流线圈在轴线（通过圆心并与线圈平面垂直的直线）上某点的磁感应强度为：\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]式中，\( B \) 为磁感应强度，\( \mu_0 \) 为真空磁导率，\( I \) 为通过线圈的电流强度，\( r \) 为圆心到该点的距离。
3. 亥姆霍兹线圈磁场：亥姆霍兹线圈是一对彼此平行且连通的共轴圆形线圈，两线圈内电流方向一致，大小相似，线圈之间距离 \( d \) 恰好等于圆形线圈半径\( R \)。
亥姆霍兹线圈中心处的磁感应强度为零，轴线附近基本是一个匀强磁场。
三、实验仪器1. 圆线圈和亥姆霍兹线圈实验平台，台面上有等距离 1.0 cm 间隔的网格线；2. 高灵敏度三位半数字式毫特斯拉计；3. 三位半数字式电流表；4. 直流稳流电源；5. 霍尔传感器探头（2只配对的 95A 型集成霍尔传感器）。
四、实验步骤1. 将亥姆霍兹线圈放置在实验平台上，调整线圈位置，使其中心与网格线对齐。
2. 连接实验仪器，包括毫特斯拉计、电流表、直流稳流电源和霍尔传感器探头。
3. 设置直流稳流电源，调节电流，使线圈中的电流强度满足实验要求。
4. 将霍尔传感器探头置于亥姆霍兹线圈中心位置，调整探头角度，使探头平面与线圈轴线平行。
5. 读取毫特斯拉计的示数，记录该点的磁感应强度。
6. 移动霍尔传感器探头，按照网格线间隔，测量亥姆霍兹线圈中心附近各点的磁感应强度。
7. 改变线圈中的电流强度，重复步骤 5 和 6，记录不同电流强度下的磁感应强度数据。
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B Id l
l
2
r0 dl d 2 sin
0 2 I sin d B 4 1 r0
r o r0
1
dB
A
0 I (cos 1 cos 2 ) 4 r0
特例：无限长导线： 1 0, 2
0 I B 2r0
2
BQ
0 NIR 2
3/ 2
0 NIR 2
2
3/ 2
载流圆线圈轴线上的磁场
在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介 乎B0、BP 之间。由此可见，在P点附近轴线上的场 强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图 中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场 强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲 线。
2 R 2 R 2 0 NI 0.716 R
8 0 NI 1 1 5 5R 2 2
载流圆线圈轴线上的磁场
此外，在P点两侧各R/4处的O1、O2 两点处磁感应强度都 等于
2 R 2 3R 2 R 2 R 4 4 0 NI 4 3 0 NI 43 3 / 2 3 0.712 2 R 17 5 R
q qr d r dI 2r d r 2 2 2 R R 0 d I
dB 2r 0q R 0q B dr 2 2R 0 2R
解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度 为dr的圆环作圆电流，电流强度： + + + + + + + + +o + + + + +
第二节 毕奥-萨伐尔定律和载流回路的磁场
一、 载流长直导线的磁场．在真空中有一长 为 L 载流直导线，导线中电流强度为 I ，求导 线附近一点 P 的磁感应强度．
0 Idl sin 解 dB 4 r2
0 B Idl sin B dB A r2 A 4 l r0ctg r r0 sin
返回
载流圆线圈轴线上的磁场
例 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线 圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相 同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的距离等 于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴线上中 点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时在两线 圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。 解 设两个线圈的半径为R， 各有N匝，每匝中的电流均 为I，且流向相同（如图）。 两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右，在圆心 O1 、O2 处磁感应强度相等， 大小都是
O1
Q1
P
Q2
O2
载流圆线圈轴线上的磁场
例 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相当 于一个圆电流，具有相应的磁矩，称为轨道磁矩。试 求轨道磁矩μ与轨道角动量L之间的关系，并计算氢 原子在基态时电子的轨道磁矩。
解 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆 的半径为r，转速为n。电子的运动相当于一个圆电 流，电流的量值为I=ne，圆电流的面积为S=πr2， 所以相应的磁矩为
2( R x )
2 3 2 2
载流圆线圈轴线上的磁场
0 IS B 2 ( R 2 x 2 ) 2( R 2 x 2 )
2
3 2
x0
B
0I
2R
（2）在远离线圈处
载流线圈 的磁矩
x R, x r
0 B 2 0 B 2
0 Idl dB 4 R 2
0 I1dl 0 I1l1 B1 2 1 4 R 4 R 2
0 I 2dl 0 I 2 l2 B2 2 4 R 2 4 R 2 U U I R l s I1 l 2 I 2 l1
B B1 B2 0
实际上，L>>R 时 ，螺线 管内部 的 磁 场近似 均匀 ， 大 小为 0 nI
0 nI
0 nI
2
B
A1
O
A2
一：载流直导线的磁场
0 I cos1 cos2 B 4 r
二：载流圆线圈轴线上的磁场
B 中心 B 轴线
2
I r B
0 I
2R
1
0 IR 2
IS 0 IS 3 3 x 2 r pm r3
引入 pm ISen
(3) 载流圆弧
圆心角
0 I 0 I B 2 R 2 4R
B
I
例 如图所示，两根长直导线沿半径方向接到 粗细均匀的铁质圆环上的A和B两点，并与很 远处的电源相接， 试求环中心o点处的磁感应 强度． 解 三段直导线在圆心处 B 产生的磁场为零． 2 1 o 0 Idl r dB 3 A 4 r
O1 Q1 P Q2 O2
R
R
R
载流圆线圈轴线上的磁场
B0
0 NI
2R
2R R
2
0 NIR 2
2 3/ 2
0 NI
0 NI 1 1 0.677 2R R 2 2
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为
BP 2
0 NIR 2
2 3/ 2
1.71 105 T
方向
S点
0 I 3 BLA (cos 0 cos ) 4a 4 0 I 3 B L A (cos cos ) 4a 4 B p BLA BLA 7.07 105 T
方向
L
L
R
a
I A
a
I
S
方向 方向
2 2 3/ 2
2 R x 三：载流螺线管中的磁场 无限长螺管：
(不必记)
B内 0 nI，B 外 0
练 习
求圆心O点的 B 如图，
I
I
B
O R
O
R
0 I
4R
B
0 I
8R
I
R
O
2 3
I
0 I B 4 R 2R
0 I
0 I 3 B (1 ) 6R R 2
2
P
dB
R 二、 圆形电流的磁场．有一半径为 的载 I P 流圆环，电流强度为 ，求它轴线上任一点 的磁感应强度 ． B Id l 0 Idl sin dB dB r 解 dB 2 R 4 r o x 0 P dB// x 90
dB
0 Idl dB 4 r 2
三、 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度 有线圈n匝。
1
r
dB
R
A1
2
p
A2
dl
l
载流圆线圈轴线上的磁场
1
r
dB
A1
2
R
A2
p
l
dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作 Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
2( R l ) 2 0 R nI d l B L dB L 2 2 3/ 2 2( R l )
Idl
由于圆形电流具有对称性，各垂直分量dB 相互抵消，所以总磁感强度 B 的大小为各个平 行分量 dB// 的代数和为
B dB// dB cos
cos R r
0 IR2 0 IR 2R B dl 3 3 0 2r 4 r
0 IR2
IS ner 2
L me vr me 2rnr 2me nr 2 e L 2m e
载流圆线圈轴线上的磁场
角动量和磁矩的方向可分 别按右手螺旋规则确定。 因为电子运动方向与电流 方向相反，所以L和μ的 方向恰好相反，如图所示。 上式关系写成矢量式为
L
e － L 2m e
0 I
O
R
例.无限长载流直导线弯成如图形状
L
I 20 A a 4cm 求： P、R、S、T四点的 B
解： P点 B p BLA BLA
R
a
I A
a
L
S
I
a
P T
R点
0 I 0 5 10 5 T 4a
方向
BR BLA BLA 0 I 0 I 3 1 (cos 0 cos ) (cos cos ) 4a 4 4a 4
2 2 3/ 2
dB
0 R nI d l
2
载流圆线圈轴线上的磁场
l R cot
d l R csc d
2 2 2 2 2
1
r
dB
A1
2
R
A2
p
又 R l R csc
B L
0 R nI d l
2
l
dl
2( R l )
2
2 3/ 2
0
0
2
2
nI
2
1
sin d
nI (cos 2 cos 1 )
载流圆线圈轴线上的磁场
B
0 nI
2
(cos 2 cos 1 )
讨论：
（1）螺线管无限长
1 , 2 0 B 0 nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
B 0 nI / 2
载流长直导线的磁场