4.2 毕奥-萨伐尔定律和载流回路的磁场

P T
a
T点
BLA
B L A
0 I 3 (cos cos ) 4a 4
0 I (cos 0 cos ) 4a 4
方向 方向
B p BLA BLA 2.94 10 5 T
方向
练 习
求角平分线上的 B p
B
0 P c 解： 0 I B AO (cos 1 cos 2 ) I 4a a 0 I A [cos 0 cos( )] 4a 2 所以 0 I (1 cos ) B p B AO BOB 2 4c sin 2 0 I (1 cos ) 方向 同理 2 2c sin 0 I 2 BOB (1 cos ) 2 方向 4c sin 2
2
P
dB
R 二、 圆形电流的磁场．有一半径为 的载 I P 流圆环，电流强度为 ，求它轴线上任一点 的磁感应强度 ． B Id l 0 Idl sin dB dB r 解 dB 2 R 4 r o x 0 P dB// x 90
dB
0 Idl dB 4 r 2
返回
载流圆线圈轴线上的磁场
例 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线 圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相 同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的距离等 于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴线上中 点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时在两线 圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。 解 设两个线圈的半径为R， 各有N匝，每匝中的电流均 为I，且流向相同（如图）。 两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右，在圆心 O1 、O2 处磁感应强度相等， 大小都是
2 R 2 R 2 0 NI 0.716 R
8 0 NI 1 1 5 5R 2 2
载流圆线圈轴线上的磁场
此外，在P点两侧各R/4处的O1、O2 两点处磁感应强度都 等于
2 R 2 3R 2 R 2 R 4 4 0 NI 4 3 0 NI 43 3 / 2 3 0.712 2 R 17 5 R

这一经典结论与量子理论导出的结果相符。由于 电子的轨道角动量是满足量子化条件的，在玻尔 理论中，其量值等于（h/2π）d的整数倍。所以 氢原子在基态时，其轨道磁矩为
载流圆线圈轴线上的磁场
e B 2m e
eh h 2 4me
它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。 将e=1.60210-19 C，me= 9.1110-31kg ，普朗 克常量h= 6.62610-34J· s代入，可算得
IS ner 2
L me vr me 2rnr 2me nr 2 e L 2m e
载流圆线圈轴线上的磁场
角动量和磁矩的方向可分 别按右手螺旋规则确定。 因为电子运动方向与电流 方向相反，所以L和μ的 方向恰好相反，如图所示。 上式关系写成矢量式为
L
e － L 2m e
第二节 毕奥-萨伐尔定律和载流回路的磁场
一、 载流长直导线的磁场．在真空中有一长 为 L 载流直导线，导线中电流强度为 I ，求导 线附近一点 P 的磁感应强度．
0 Idl sin 解 dB 4 r2
0 B Idl sin B dB A r2 A 4 l r0ctg r r0 sin
0 I
O
R

例.无限长载流直导线弯成如图形状
L

I 20 A a 4cm 求： P、R、S、T四点的 B
解： P点 B p BLA BLA
R
a
I A
a
L
S
I
a

P T
R点
0 I 0 5 10 5 T 4a
方向
BR BLA BLA 0 I 0 I 3 1 (cos 0 cos ) (cos cos ) 4a 4 4a 4


三、 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度 有线圈n匝。
1
r
dB

R
A1
2
p
A2
dl
l
载流圆线圈轴线上的磁场
1
r
dB

A1
2
R
A2
p
l
dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作 Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
2( R l ) 2 0 R nI d l B L dB L 2 2 3/ 2 2( R l )
0
0
2
2
nI
2
1
sin d
nI (cos 2 cos 1 )
载流圆线圈轴线上的磁场
B
0 nI
2
(cos 2 cos 1 )
讨论：
（1）螺线管无限长
1 , 2 0 B 0 nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
B 0 nI / 2
0 Idl dB 4 R 2
0 I1dl 0 I1l1 B1 2 1 4 R 4 R 2
0 I 2dl 0 I 2 l2 B2 2 4 R 2 4 R 2 U U I R l s I1 l 2 I 2 l1
B B1 B2 0
q qr d r dI 2r d r 2 2 2 R R 0 d I
dB 2r 0q R 0q B dr 2 2R 0 2R
解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度 为dr的圆环作圆电流，电流强度： + + + + + + + + +o + + + + +
载流长直导线的磁场
考虑三种情况：
0 I sin 2 sin 1 B 4d
1 2 2
2

(1)导线无限长，即
I
0 I B 2d 0 I B 4d
dl
L

r

(2)导线半无限长，场点与一端 的连线垂直于导线
l
(3)P点位于导线延长线上，B=0
O
d
1
Idl
由于圆形电流具有对称性，各垂直分量dB 相互抵消，所以总磁感强度 B 的大小为各个平 行分量 dB// 的代数和为
B dB// dB cos
cos R r
0 IR2 0 IR 2R B dl 3 3 0 2r 4 r
0 IR2
2
BQ
0 NIR 2
3/ 2
பைடு நூலகம்

0 NIR 2
2

3/ 2
载流圆线圈轴线上的磁场
在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介 乎B0、BP 之间。由此可见，在P点附近轴线上的场 强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图 中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场 强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲 线。
实际上，L>>R 时 ，螺线 管内部 的 磁 场近似 均匀 ， 大 小为 0 nI
0 nI
0 nI
2
B
A1
O
A2
一：载流直导线的磁场
0 I cos1 cos2 B 4 r
二：载流圆线圈轴线上的磁场
B 中心 B 轴线
2
I r B
0 I
2R
1
0 IR 2
2 2 3/ 2
2 R x 三：载流螺线管中的磁场 无限长螺管：


(不必记)
B内 0 nI，B 外 0
练 习
求圆心O点的 B 如图，
I
I
B
O R
O
R
0 I
4R
B
0 I
8R
I

R
O
2 3
I
0 I B 4 R 2R

0 I
0 I 3 B (1 ) 6R R 2
2 2 3/ 2
dB
0 R nI d l
2
载流圆线圈轴线上的磁场
l R cot
d l R csc d
2 2 2 2 2
1
r
dB

A1
2
R
A2
p
又 R l R csc
B L

0 R nI d l
2
l
dl
2( R l )
2
2 3/ 2
已知：I、c
I
例、均匀带电圆环 已知：q、R、 圆环绕轴线匀速旋转。 求圆心处的 B 解： 带电体转动，形成运流电流。 q q q I T 2 2
B
R
q


0q B 2R 4R
0 I
载流圆线圈轴线上的磁场
例 一个半径R为的塑料薄圆盘，电量+q均匀分布其上， 圆盘以角速度 绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。 求圆盘中心处的磁感应强度。
O1
Q1
P
Q2
O2
载流圆线圈轴线上的磁场
例 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相当 于一个圆电流，具有相应的磁矩，称为轨道磁矩。试 求轨道磁矩μ与轨道角动量L之间的关系，并计算氢 原子在基态时电子的轨道磁矩。
解 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆 的半径为r，转速为n。电子的运动相当于一个圆电 流，电流的量值为I=ne，圆电流的面积为S=πr2， 所以相应的磁矩为
2( R x )
2 3 2 2
载流圆线圈轴线上的磁场
0 IS B 2 ( R 2 x 2 ) 2( R 2 x 2 )
2
3 2
0 IR
3
2
讨论：
（1）在圆心处
x0
B
0I
2R
（2）在远离线圈处
载流线圈 的磁矩
x R, x r
0 B 2 0 B 2
B
B Id l
l
2
r0 dl d 2 sin
0 2 I sin d B 4 1 r0
r o r0
1
dB
A
0 I (cos 1 cos 2 ) 4 r0
特例：无限长导线： 1 0, 2
0 I B 2r0
B 9.273 1024 A m 2
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量， 电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。
IS 0 IS 3 3 x 2 r pm r3
引入 pm ISen
(3) 载流圆弧
圆心角
0 I 0 I B 2 R 2 4R
B


I
例 如图所示，两根长直导线沿半径方向接到 粗细均匀的铁质圆环上的A和B两点，并与很 远处的电源相接， 试求环中心o点处的磁感应 强度． 解 三段直导线在圆心处 B 产生的磁场为零． 2 1 o 0 Idl r dB 3 A 4 r
1.71 105 T
方向
S点
0 I 3 BLA (cos 0 cos ) 4a 4 0 I 3 B L A (cos cos ) 4a 4 B p BLA BLA 7.07 105 T
方向
L

L
R
a
I A
a
I
S
方向 方向
O1 Q1 P Q2 O2
R
R
R
载流圆线圈轴线上的磁场
B0
0 NI
2R

2R R
2

0 NIR 2
2 3/ 2

0 NI
0 NI 1 1 0.677 2R R 2 2
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为
BP 2
0 NIR 2
2 3/ 2