圆中的分类讨论

圆中的分类讨论

由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。

一、点与圆的位置关系不唯一性

例1.若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（）。

（A）（B）（C）或（D）a+b或a－b

分析：P可能在圆内，也可能在圆外。

图1—1 图1—2

⑴P在圆内时。如图1—1。

连接O、P所在的直线交⊙O于A、B。

则PA=a，PB=b 直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b）

⑵P在圆外时。如图1—2。

此时直径AB=PA－PB=a－b，半径OA=OB=AB=（a－b）

由⑴⑵可知，应选（C）。

二、弦与弦的位置关系不唯一性

例2.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（）。

（A）7cm （B）8cm （C）7cm或1cm （D1cm

分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。

图2—1 图2—2

⑴弦AB与CD在圆心的同侧。如图2—1。

过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。

∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD

由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm

在Rt△BMO中，OM==4cm，同理ON=3cm

∴MN= OM－ON=4－3=1 cm

⑵弦AB与CD在圆心的异侧。如图2—2。

此时，MN=OM+ON=4+3=7cm 故选（C）。

例3．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。

分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。

⑴弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图3—1。

连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC=

∴OC+OD=AC∴∠AOC=90°，∠CAO=∠ACO=45°

又OA=OD=AD，∴∠DAO=60°

∴∠DAC=∠DAO－∠CAO=15°

⑵弦AC与弦AD在直径AB的异侧。

此时，∠DAC=∠DAO+∠CAO=115°

三、点在直径上的位置不唯一性

例4．已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？

分析：垂足M可能在半径OA上，也可能在半径OB上。

⑴M在半径OA上。如图4—1。

连接OC。OC=OA=AB=5cm，又OM：OA=3：5，∴OM=3cm

∵AB是直径，弦CD⊥AB

∴在Rt△OMC中，MC==4cm

又AM=OA－OM=2cm

∴在Rt△AMC中，AC===2（cm）

⑵M在半径OB上。如图4—2.

此时，AM=OA+OM=8cm

AC===4（cm）

四、弦所对圆周角的不唯一性

例5．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（）。

30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°

（A）

（B）分析：弦（不是直径）所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧，

因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。

如图5。劣弧所对的角为∠ACB，优弧所对的角为∠ADB。

由AB=0A=OB，∴∠AOB=60°

∴∠ACB=∠AOB=30°

∠ADB=（360°－∠AOB）=（360°－60°）=150°故选（D）

五、圆与圆的位置关系不唯一性

例6．如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（）。

5cm （B）11cm （C）3cm （D）11cm或5cm

（A）

（B）分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。

⑴两圆外切。如图6—1。AB=8+3=11cm

⑵两圆内切。如图6—2。AB=8－3=5cm 故选（D）

六、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性

例7．已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为。

分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。

⑴圆心在公共弦的异侧。如图7—1。

连接O A，O A。由圆的对称性，O O垂直平分公共弦AB。∴AD=AB=3

在Rt△A O D中，O D==4

在Rt△A O D中，O D==

∴O O= O D+ O D=4+

⑵圆心在公共弦的同侧。如图7—2。

此时，O O= O D－O D=4－

故这两个圆的圆心距为4+或4－。

在解一些几何问题时，常会遇到一些用常规方法很难解决的问题。这时，如果构造适当的图形来给以辅助，往往能促使问题转化，使问题中原来隐晦不清的关系和性质在新构造的环境中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题，这种解题方法称为构造法。

对于在已知条件的线上找点与已知点构成一定的角的问题，如果能根据题目的题设和结论，构造出符合题意特征的辅助圆，即把题目中的固定角转化为圆的圆周角问题，就能使问题得以顺利解决，这种方法利用数形结合，使代数与几何等知识相互渗透，综合应用，它不但能较好的达到解题的目的，还有利于培养学生分析问题的能力。请看下面的两个例题：

例1：（06东营）如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是

（A）3个（B）2个（C）1个（D）不存在